Reconocimiento de función sobreyectiva
Reconocer si una función es sobreyectiva comparando su recorrido con el codominio declarado.
Introducción
Verificar la sobreyectividad es, en el fondo, una comparación de dos conjuntos que ya sabes calcular por separado.
Explicación
Definición formal
Dada $f\colon A \to B$, se determina $\text{Rec}(f)$ mediante análisis algebraico o gráfico. Si $\text{Rec}(f) = B$, entonces $f$ es sobreyectiva; si $\text{Rec}(f) \subsetneq B$ (subconjunto propio), $f$ no es sobreyectiva.
Desarrollo didáctico
Gráficamente, esto equivale a verificar que toda recta horizontal $y=b$ con $b \in B$ corte a la curva en al menos un punto (existencia de al menos una preimagen para cada elemento del codominio).
Para $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$: toda recta horizontal corta la curva cúbica en exactamente un punto, así que $\text{Rec}(f)=\mathbb{R}=B$, y $f$ es sobreyectiva.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula o determina el recorrido de la función mediante análisis algebraico o gráfico.
- Paso 2: Identifica el codominio declarado.
- Paso 3: Compara ambos conjuntos - si son idénticos, la función es sobreyectiva; si no, no lo es.
Ejemplos
1 Determina si $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, es sobreyectiva.
- El recorrido de $x^3$ es todo $\mathbb{R}$ (toma valores positivos, negativos y cero).
- El codominio declarado también es $\mathbb{R}$.
- Son iguales, así que es sobreyectiva.
2 Determina si $f\colon \mathbb{R} \to [0,+\infty[$, $f(x)=x^2$, es sobreyectiva.
- El recorrido de $x^2$ es $[0,+\infty[$.
- El codominio declarado también es $[0,+\infty[$.
- Coinciden, así que es sobreyectiva.
3 ¿Se puede reconocer la sobreyectividad sin conocer el codominio declarado?
- La sobreyectividad depende de comparar el recorrido con el codominio; sin este último no se puede concluir.
4 ¿Toda recta horizontal debe cortar la curva en al menos un punto para que sea sobreyectiva?
- Eso garantiza que cada elemento del codominio tenga al menos una preimagen.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Analizar solo el recorrido sin comparar con el codominio declarado explícitamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir "al menos una preimagen" (sobreyectividad) con "a lo más una preimagen" (inyectividad)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que cualquier función con recorrido no acotado es automáticamente sobreyectiva sin verificar el codominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No distinguir entre el codominio del contexto y el conjunto $\mathbb{R}$ por defecto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para reconocer si una función es sobreyectiva, se calcula su recorrido y se compara con el codominio declarado; si son exactamente iguales, la función es sobreyectiva.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para reconocer sobreyectividad se compara:
Si son iguales, la función es sobreyectiva.
Respuesta: A) El recorrido con el codominio.
-
Toda recta horizontal debe cortar la curva en al menos un punto para que sea sobreyectiva.
Eso garantiza que cada elemento del codominio tenga al menos una preimagen.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué se necesita conocer para reconocer sobreyectividad?
Sin el codominio no se puede comparar con el recorrido.
Respuesta: A) El codominio declarado.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Se puede reconocer sobreyectividad sin conocer el codominio.
Es indispensable conocer el codominio para hacer la comparación.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-1$, ¿es sobreyectiva?
La función cúbica tiene recorrido todo R, igual al codominio.
Respuesta: A) Sí, su recorrido es todo $\mathbb{R}$.
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$f: \mathbb{R} \to [-1,+\infty[$, $f(x)=x^2-1$, es sobreyectiva.
El recorrido de x^2-1 es exactamente [-1,+infinito[, igual al codominio.
Respuesta: Verdadero
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Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=5$ (constante), ¿es sobreyectiva?
Con codominio R no es sobreyectiva, pero sí lo sería si el codominio se redujera exactamente a {5}.
Respuesta: D) A y C son correctas.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa garantiza que todo puesto vacante será cubierto por algún postulante. Si el codominio son los puestos, ¿qué propiedad se cumple?
Que todo elemento del codominio (puestos) tenga preimagen corresponde a sobreyectividad.
Respuesta: A) Sobreyectividad.
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Si el recorrido de una función es un subconjunto propio del codominio, la función no es sobreyectiva.
La sobreyectividad exige igualdad exacta, no solo inclusión.
Respuesta: Verdadero
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Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-5$, ¿es sobreyectiva?
Al ser una función cúbica desplazada y escalada, su recorrido sigue siendo todo R, coincidiendo con el codominio.
Respuesta: A) Sí, porque el recorrido de una función cúbica es todo $\mathbb{R}$.