Reconocimiento de función sobreyectiva
Resumen inicial
El reconocimiento gráfico de una función sobreyectiva consiste en verificar que la proyección vertical de la gráfica cubra completamente el conjunto de llegada $B$ en el eje $Y$.
Explicación en palabras simples
Para saber si una función es sobreyectiva mirando su dibujo en el plano cartesiano:
1. Mira el conjunto de llegada $B$ en el eje vertical $Y$.
2. Observa la gráfica de la función y proyecta todos sus puntos hacia el eje $Y$.
3. Criterio: Si toda la zona de $B$ en el eje $Y$ queda cubierta por la gráfica (no hay franjas vacías en $B$), la función es sobreyectiva.
4. Si hay partes de $B$ a las que no llega la curva, no es sobreyectiva.
Explicación formal
Sea $f: A \to B$ una función real con gráfica $\text{Graf}(f) \subset \mathbb{R}^2$. La proyección ortogonal sobre el eje $Y$ se define como:
$$\pi_Y(\text{Graf}(f)) = \{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in A, \, (x, y) \in \text{Graf}(f)\} = \text{Rec}(f)$$
Criterio de reconocimiento gráfico:
$$f \text{ es sobreyectiva} \Longleftrightarrow B \subseteq \pi_Y(\text{Graf}(f)) \Longleftrightarrow \forall y_0 \in B, \; (\,\mathbb{R} \times \{y_0\}\,) \cap \text{Graf}(f) \neq \emptyset$$
Esto significa que toda recta horizontal trazada a la altura de cualquier elemento $y_0 \in B$ debe cortar a la gráfica al menos una vez ($\ge 1$ corte).
La alternativa correcta es 'Al menos una vez (1 o mas veces).'. Garantiza que todo elemento de B posee preimagen.
Definiciones clave
- Proyección sobre el eje Y: Sombra o intervalo vertical ocupado por la curva cartesiana.
- Criterio de corte no vacío: Condición gráfica que exige al menos un punto de intersección para todo nivel de $B$.
Propiedades y relaciones importantes
- Contraste con inyectividad:
- Inyectiva: A lo más $1$ corte ($\le 1$).
- Sobreyectiva: Al menos $1$ corte ($\ge 1$).
- Biyectiva: Exactamente $1$ corte ($= 1$).
Ejemplo guiado
Verifica gráficamente si la función $f: \mathbb{R} \to [-4, +\infty[$ dada por $f(x) = x^2 - 4$ es sobreyectiva.
- Paso 1: Identificar el conjunto de llegada declarado: $B = [-4, +\infty[$.
- Paso 2: Observar la gráfica: es una parábola con vértice en $(0, -4)$ que abre hacia arriba.
- Paso 3: Proyectar la curva sobre el eje Y: los valores de $y$ van desde el mínimo $-4$ hacia $+\infty$.
- Paso 4: Constatar que $\text{Rec}(f) = [-4, +\infty[$, el cual coincide exactamente con $B$.
- Paso 5: Concluir que toda recta horizontal a la altura $y \ge -4$ corta a la gráfica (al menos una vez), por lo que $f$ es sobreyectiva.
La alternativa correcta es 'No, porque los niveles con y < 0 quedan completamente vacios sin interseccion.'. No cubre todo $\mathbb{R}$.
Procedimiento
- Paso 1: Delimitar en el eje $Y$ el intervalo correspondiente al codominio $B$.
- Paso 2: Trazar rectas horizontales $y = c$ para valores representativos dentro de $B$.
- Paso 3: Verificar que ninguna recta horizontal dentro de $B$ quede sin intersectar la gráfica.
- Paso 4: Concluir formalmente sobre la sobreyectividad.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Confundir la condición de corte de sobreyectividad con la de inyectividad.
- Cómo corregirlo: Para sobreyectividad se exige $\ge 1$ corte (que no quede ningún $y$ huérfano); para inyectividad se exige $\le 1$ corte (que no se repitan).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Una recta con $m \neq 0$ cubre todo el eje vertical $\mathbb{R}$, siendo sobreyectiva.
- Paso 1: $\text{Rec}(f) = ]0, +\infty[ \neq \mathbb{R}$, luego no es sobreyectiva.
- Paso 1: Cubre desde $-\infty$ hasta $+\infty$, siendo sobreyectiva en $\mathbb{R}$.
- Paso 1: Si el recorrido cubre exactamente $[-2, 2] = B$, es sobreyectiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reconocer e interpretar la sobreyectividad a partir de gráficas cartesianas.
Proyectando la curva sobre el eje Y y comprobando que cubre sin huecos todo el codominio B.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para reconocer sobreyectividad se compara:
Si son iguales, la función es sobreyectiva.
Respuesta: A) El recorrido con el codominio.
-
Toda recta horizontal debe cortar la curva en al menos un punto para que sea sobreyectiva.
Eso garantiza que cada elemento del codominio tenga al menos una preimagen.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué se necesita conocer para reconocer sobreyectividad?
Sin el codominio no se puede comparar con el recorrido.
Respuesta: A) El codominio declarado.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Se puede reconocer sobreyectividad sin conocer el codominio.
Es indispensable conocer el codominio para hacer la comparación.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-1$, ¿es sobreyectiva?
La función cúbica tiene recorrido todo R, igual al codominio.
Respuesta: A) Sí, su recorrido es todo $\mathbb{R}$.
-
$f: \mathbb{R} \to [-1,+\infty[$, $f(x)=x^2-1$, es sobreyectiva.
El recorrido de x^2-1 es exactamente [-1,+infinito[, igual al codominio.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=5$ (constante), ¿es sobreyectiva?
Con codominio R no es sobreyectiva, pero sí lo sería si el codominio se redujera exactamente a {5}.
Respuesta: D) A y C son correctas.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Una empresa garantiza que todo puesto vacante será cubierto por algún postulante. Si el codominio son los puestos, ¿qué propiedad se cumple?
Que todo elemento del codominio (puestos) tenga preimagen corresponde a sobreyectividad.
Respuesta: A) Sobreyectividad.
-
Si el recorrido de una función es un subconjunto propio del codominio, la función no es sobreyectiva.
La sobreyectividad exige igualdad exacta, no solo inclusión.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-5$, ¿es sobreyectiva?
Al ser una función cúbica desplazada y escalada, su recorrido sigue siendo todo R, coincidiendo con el codominio.
Respuesta: A) Sí, porque el recorrido de una función cúbica es todo $\mathbb{R}$.