Reconocimiento de función inyectiva
Resumen inicial
El reconocimiento gráfico de una función inyectiva se realiza mediante el criterio de la recta horizontal: ninguna recta horizontal puede cortar a la curva en más de un punto.
Explicación en palabras simples
Para saber si una función es inyectiva mirando su dibujo en el plano:
1. Imagina una línea horizontal (como una regla paralela al eje $X$).
2. Muévela de arriba hacia abajo por toda la gráfica.
3. Criterio: Si la línea horizontal toca a la curva en 2 o más puntos al mismo tiempo, la función NO es inyectiva.
4. Si en todas las alturas toca en a lo más 1 punto, la función SÍ es inyectiva.
Explicación formal
Sea $\text{Graf}(f) = \{(x, f(x)) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in \text{Dom}(f)\}$ la gráfica de la función $f$. El Criterio de la Recta Horizontal se formula formalmente como:
$$f \text{ es inyectiva} \Longleftrightarrow \forall c \in \mathbb{R}, \; |(\,\mathbb{R} \times \{c\}\,) \cap \text{Graf}(f)| \le 1$$
Interpretación y aplicaciones:
- Corte múltiple: Si para algún $c$ la intersección contiene 2 o más puntos $(x_1, c), (x_2, c)$, se tiene $f(x_1) = f(x_2) = c$ con $x_1 \neq x_2$ (falla inyectividad).
- Criterio de la derivada: Si $f$ es derivable y $f'(x) > 0$ (o $f'(x) < 0$) para todo $x$, la función es estrictamente monótona e inyectiva.
La alternativa correcta es 'Evalua si la funcion es inyectiva (a lo mas un punto de corte).'.
Definiciones clave
- Criterio de la recta horizontal: Método visual para determinar inyectividad a partir de la gráfica.
- Puntos de corte múltiple: Intersecciones que revelan preimágenes distintas asociadas a una misma imagen.
Propiedades y relaciones importantes
- Diferencia con la recta vertical: La recta vertical evalúa si la relación es función; la horizontal evalúa si es inyectiva.
- Funciones periódicas: Las funciones trigonométricas en $\mathbb{R}$ no son inyectivas al ser cortadas infinitas veces por rectas horizontales.
Ejemplo guiado
Aplica el criterio de la recta horizontal para determinar si la parábola $y = (x - 2)^2 + 1$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.
- Paso 1: Identificar el vértice de la parábola: $V(2, 1)$, que abre hacia arriba.
- Paso 2: Trazar la recta horizontal $y = 5$.
- Paso 3: Resolver $(x - 2)^2 + 1 = 5 \implies (x - 2)^2 = 4 \implies x - 2 = \pm 2$.
- Paso 4: Obtener las preimágenes: $x_1 = 4$ y $x_2 = 0$. La recta horizontal corta en $(0, 5)$ y $(4, 5)$ (2 puntos).
- Paso 5: Concluir que la función NO es inyectiva en $\mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'Que la funcion no es inyectiva.'. Existen 3 preimágenes con la misma imagen.
Procedimiento
- Paso 1: Analizar la gráfica de la función en su dominio correspondiente.
- Paso 2: Trazar rectas horizontales imaginarias $y = c$ para diferentes valores de $c$.
- Paso 3: Contar el número de intersecciones entre cada recta horizontal y la gráfica.
- Paso 4: Si existe alguna recta que corte en 2 o más puntos, concluir que no es inyectiva; si todas cortan en $\le 1$ punto, es inyectiva.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Usar la recta vertical para justificar que una función es inyectiva.
- Cómo corregirlo: La recta vertical comprueba que sea función; la recta horizontal es la que comprueba la inyectividad.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Al ser una recta no horizontal, toda línea $y = c$ la intersecta una sola vez.
- Paso 1: Todos los puntos tienen $y = 5$, fallando rotundamente la inyectividad.
- Paso 1: Las oscilaciones repiten las mismas alturas $y$, no es inyectiva.
- Paso 1: Para $y > 0$ corta 1 vez; para $y \le 0$ corta 0 veces ($\le 1$ punto), es inyectiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Reconocer e identificar funciones inyectivas a partir de su representación gráfica.
Aplicando el criterio de la recta horizontal y verificando que el número máximo de intersecciones sea menor o igual a uno.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una función constante cumple el criterio de la línea horizontal.
La recta horizontal correspondiente al valor constante coincide con toda la gráfica.
Respuesta: Falso
-
El criterio de la línea horizontal verifica:
Si toda recta horizontal corta la curva en a lo más un punto, la función es inyectiva.
Respuesta: A) Inyectividad.
-
¿Cuál curva NO cumple el criterio de la línea horizontal?
Una recta horizontal por encima del vértice corta la parábola en dos puntos.
Respuesta: A) Una parábola completa.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El criterio de la línea horizontal es distinto del criterio de la línea vertical.
El vertical verifica si es función; el horizontal verifica inyectividad.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Una circunferencia completa no cumple el criterio de la línea horizontal.
Existen rectas horizontales que la cortan en dos puntos.
Respuesta: Verdadero
-
Al aplicar el criterio de la línea horizontal a $y=|x|$, ¿qué se concluye?
Para y=3, tanto x=3 como x=-3 satisfacen |x|=3, violando la inyectividad.
Respuesta: A) No es inyectiva, pues para $y>0$ hay dos valores de $x$.
-
Aplica el criterio de la línea horizontal a $f(x)=5x-1$.
Toda recta horizontal corta a esta recta en exactamente un punto.
Respuesta: A) Cumple el criterio, es inyectiva.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un gráfico de altura de un proyectil versus tiempo muestra una parábola completa. ¿La función altura(tiempo) es inyectiva?
Una recta horizontal por debajo del vértice corta la parábola en dos puntos, correspondientes a dos instantes con igual altura.
Respuesta: A) No, porque la misma altura se alcanza en dos instantes distintos (subida y bajada).
-
Una función estrictamente creciente en todo su dominio es siempre inyectiva.
Si es estrictamente creciente, valores distintos de x nunca producen la misma imagen.
Respuesta: Verdadero
-
El gráfico de temperatura corporal durante un día muestra que sube y luego baja. ¿Es la función temperatura(hora) inyectiva en ese día completo?
Al subir y bajar, la curva repite alturas, violando el criterio de la línea horizontal.
Respuesta: A) No, porque hay horas distintas con la misma temperatura.