Reconocimiento de función inyectiva
Reconocer visualmente si una función es inyectiva aplicando el criterio de la línea horizontal.
Introducción
Así como la línea vertical detecta si algo es función, otra línea (la horizontal) revela si esa función es inyectiva.
Explicación
Definición formal
Sea $f$ una función con gráfica $G_f$. $f$ es inyectiva si y solo si para todo $b \in \mathbb{R}$, la recta horizontal $y=b$ interseca a $G_f$ en a lo más un punto. Esto es la traducción gráfica directa de la condición algebraica de inyectividad.
Desarrollo didáctico
Cada recta horizontal $y=b$ representa "todos los puntos con la misma imagen $b$". Si la curva tiene dos puntos con esa altura, dos valores distintos de $x$ comparten esa imagen, violando la inyectividad.
Una parábola falla el criterio (una recta horizontal por encima del vértice la corta en dos puntos), mientras que una recta con pendiente distinta de cero, o una curva estrictamente creciente o decreciente en todo su dominio, lo cumple.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Imagina o traza rectas horizontales a lo largo de todo el recorrido visible de la curva.
- Paso 2: Cuenta cuántas veces cada recta horizontal corta la curva.
- Paso 3: Si alguna recta corta la curva en más de un punto, la función no es inyectiva.
- Paso 4: Si toda recta horizontal corta la curva en a lo más un punto, la función es inyectiva.
Ejemplos
1 Aplica el criterio de la línea horizontal a $f(x)=x^2$.
- Para $y=4$, tanto $x=2$ como $x=-2$ satisfacen la ecuación.
- Una recta horizontal en $y=4$ corta la curva en dos puntos.
- No es inyectiva.
2 Aplica el criterio de la línea horizontal a $f(x)=-3x+2$.
- Cualquier recta horizontal $y=b$ corta a esta recta en exactamente un punto.
- Es inyectiva.
3 ¿Una función constante cumple el criterio de la línea horizontal?
- La recta horizontal correspondiente al valor constante coincide con toda la gráfica, cortándola en infinitos puntos.
4 ¿El criterio de la línea horizontal verifica inyectividad o existencia de función?
- El criterio de la línea vertical verifica si es función; el de la línea horizontal verifica inyectividad.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el criterio de la línea horizontal con el de la línea vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el criterio solo a una parte de la curva, sin revisar todo el recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir inyectividad basándose en la apariencia general sin verificar rigurosamente cada altura."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que toda parábola completa es inyectiva por ser una curva "simple"."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **criterio de la línea horizontal** establece que una función es inyectiva si y solo si ninguna recta horizontal corta su gráfica en más de un punto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una función constante cumple el criterio de la línea horizontal.
La recta horizontal correspondiente al valor constante coincide con toda la gráfica.
Respuesta: Falso
-
El criterio de la línea horizontal verifica:
Si toda recta horizontal corta la curva en a lo más un punto, la función es inyectiva.
Respuesta: A) Inyectividad.
-
¿Cuál curva NO cumple el criterio de la línea horizontal?
Una recta horizontal por encima del vértice corta la parábola en dos puntos.
Respuesta: A) Una parábola completa.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El criterio de la línea horizontal es distinto del criterio de la línea vertical.
El vertical verifica si es función; el horizontal verifica inyectividad.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Una circunferencia completa no cumple el criterio de la línea horizontal.
Existen rectas horizontales que la cortan en dos puntos.
Respuesta: Verdadero
-
Al aplicar el criterio de la línea horizontal a $y=|x|$, ¿qué se concluye?
Para y=3, tanto x=3 como x=-3 satisfacen |x|=3, violando la inyectividad.
Respuesta: A) No es inyectiva, pues para $y>0$ hay dos valores de $x$.
-
Aplica el criterio de la línea horizontal a $f(x)=5x-1$.
Toda recta horizontal corta a esta recta en exactamente un punto.
Respuesta: A) Cumple el criterio, es inyectiva.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un gráfico de altura de un proyectil versus tiempo muestra una parábola completa. ¿La función altura(tiempo) es inyectiva?
Una recta horizontal por debajo del vértice corta la parábola en dos puntos, correspondientes a dos instantes con igual altura.
Respuesta: A) No, porque la misma altura se alcanza en dos instantes distintos (subida y bajada).
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Una función estrictamente creciente en todo su dominio es siempre inyectiva.
Si es estrictamente creciente, valores distintos de x nunca producen la misma imagen.
Respuesta: Verdadero
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El gráfico de temperatura corporal durante un día muestra que sube y luego baja. ¿Es la función temperatura(hora) inyectiva en ese día completo?
Al subir y bajar, la curva repite alturas, violando el criterio de la línea horizontal.
Respuesta: A) No, porque hay horas distintas con la misma temperatura.