Reconocimiento de función biyectiva
Reconocer si una función es biyectiva aplicando conjuntamente los criterios de las líneas vertical, horizontal y de sobreyectividad.
Introducción
Reconocer una biyección exige pasar dos pruebas seguidas; si falla cualquiera de las dos, ya no hay biyección.
Explicación
Definición formal
Dada $f\colon A \to B$, se determina inyectividad verificando que toda recta horizontal corte la gráfica en a lo más un punto, y sobreyectividad verificando que toda recta horizontal corte la gráfica en al menos un punto. Si ambas condiciones se cumplen para todo $y \in B$, cada recta horizontal corta la gráfica en exactamente un punto, y $f$ es biyectiva.
Desarrollo didáctico
En la práctica, conviene verificar primero la condición más restrictiva o más fácil de descartar; si una función ya no es inyectiva, no hace falta seguir revisando la sobreyectividad.
Para $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$: cada recta horizontal corta la curva exactamente en un punto (ni cero ni dos), confirmando que es biyectiva.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica la inyectividad (a lo más una preimagen por cada elemento del codominio).
- Paso 2: Si es inyectiva, verifica la sobreyectividad (al menos una preimagen por cada elemento del codominio).
- Paso 3: Si ambas se cumplen, la función es biyectiva; si falla alguna, no lo es.
Ejemplos
1 Determina si $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, es biyectiva.
- Cada recta horizontal corta la curva en exactamente un punto.
- Es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.
- Es biyectiva.
2 Determina si $f\colon \mathbb{R} \to [0,+\infty[$, $f(x)=x^2$, es biyectiva.
- Aunque es sobreyectiva (recorrido igual al codominio), no es inyectiva, pues $f(2)=f(-2)=4$.
- Al fallar la inyectividad, no es biyectiva.
3 ¿Es suficiente verificar solo la sobreyectividad para concluir biyectividad?
- También se debe verificar la inyectividad; ambas condiciones son necesarias.
4 ¿Toda recta horizontal debe cortar la gráfica exactamente una vez en una función biyectiva?
- Ni cero veces (fallaría sobreyectividad) ni dos o más veces (fallaría inyectividad).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Verificar solo una de las dos condiciones y concluir biyectividad prematuramente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir "exactamente un punto" con "al menos un punto" al aplicar el criterio combinado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No ajustar el codominio antes de evaluar sobreyectividad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el criterio de la línea horizontal incorrectamente como si fuera vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para reconocer una función biyectiva, se verifica primero la inyectividad (criterio de la línea horizontal o algebraico) y luego la sobreyectividad (comparación de recorrido y codominio); ambas deben cumplirse.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para reconocer biyectividad se debe verificar:
Ambas condiciones deben confirmarse.
Respuesta: A) Inyectividad y sobreyectividad.
-
En una función biyectiva, toda recta horizontal corta la gráfica exactamente una vez.
Ni cero veces (fallaría sobreyectividad) ni dos o más (fallaría inyectividad).
Respuesta: Verdadero
-
Si una función falla la inyectividad, ¿es necesario seguir revisando la sobreyectividad para descartar biyectividad?
Una sola condición fallida es suficiente para descartar la biyectividad.
Respuesta: A) No, basta con que falle una condición para descartar biyectividad.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Es suficiente verificar solo la sobreyectividad para concluir biyectividad.
También se debe verificar la inyectividad.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, es biyectiva.
Cumple ambas condiciones simultáneamente.
Respuesta: A) Sí, cada recta horizontal la corta exactamente una vez.
-
$f: \mathbb{R} \to [0,+\infty[$, $f(x)=x^2$, es biyectiva.
Es sobreyectiva pero no inyectiva (f(2)=f(-2)), así que falla la biyectividad.
Respuesta: Falso
-
Determina si $f: [0,+\infty[ \to [0,+\infty[$, $f(x)=x^2$, es biyectiva.
Con dominio restringido a valores no negativos, x^2 se vuelve inyectiva, y su recorrido sigue siendo [0,+infinito[, coincidiendo con el codominio.
Respuesta: A) Sí, al restringir el dominio a los no negativos se logra inyectividad y sobreyectividad.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si un sistema de reservas permite que dos pasajeros distintos ocupen el mismo asiento, la función pasajero-asiento no es biyectiva.
Al compartir imagen (asiento), se viola la inyectividad, condición necesaria para biyectividad.
Respuesta: Verdadero
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Un sistema de reservas asigna a cada asiento un único pasajero, y todo pasajero recibe exactamente un asiento (sin sobrecupo ni asientos vacíos). ¿Qué tipo de correspondencia es esta?
La asignación uno a uno perfecta, sin excepciones en ninguna dirección, es exactamente una biyección.
Respuesta: A) Biyectiva.
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En una biblioteca, cada libro se asigna a un único estante, y cada estante contiene exactamente un libro. ¿Qué se puede afirmar sobre esta correspondencia?
La correspondencia uno a uno en ambas direcciones (libro-estante y estante-libro) es exactamente una biyección, lo que garantiza la existencia de inversa.
Respuesta: A) Es biyectiva, permitiendo definir una función inversa.