Reconocimiento de función biyectiva

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

El reconocimiento gráfico de una función biyectiva establece que toda recta horizontal trazada a la altura de cualquier elemento del codominio $B$ debe cortar a la gráfica en exactamente un punto.

Explicación en palabras simples

El reconocimiento gráfico de una función biyectiva establece que toda recta horizontal trazada a la altura de cualquier elemento del codominio $B$ debe cortar a la gráfica en exactamente un punto

Para saber si una gráfica representa una función biyectiva:
1. Toma cualquier nivel horizontal $y$ dentro del conjunto de llegada $B$.
2. Traza una línea horizontal imaginaria en esa altura.
3. Criterio de Biyectividad: La línea debe cortar a la gráfica en exactamente UN punto (ni cero veces, ni dos veces; exactamente una vez).

Si esto ocurre para todos los niveles de $B$, la función es biyectiva.

Explicación formal

Dada una función $f: A \to B$, el criterio de reconocimiento gráfico de biyectividad unifica los dos teoremas de corte:
$$f \text{ es biyectiva} \Longleftrightarrow \forall y_0 \in B, \; |(\,\mathbb{R} \times \{y_0\}\,) \cap \text{Graf}(f)| = 1$$

Desglose:
- Existencia ($\ge 1$ corte): Garantiza la sobreyectividad (no hay niveles vacíos en $B$).
- Unicidad ($\le 1$ corte): Garantiza la inyectividad (no hay niveles cortados más de una vez).

Comprueba tu avance ¿Cuántas veces debe cortar toda recta horizontal dentro del codominio B para que la función sea biyectiva?

Definiciones clave

  • Criterio de corte único: Condición geométrica donde cada recta horizontal en $B$ intersecta a la curva una única vez.
  • Correspondencia biunívoca gráfica: Geometría donde a cada altura $y$ le corresponde una única coordenada horizontal $x$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Monotonía y continuidad: Toda función continua y estrictamente monótona en un intervalo $[a, b]$ es biyectiva sobre $[f(a), f(b)]$.
  • Reflexión invertible: Su gráfica puede reflejarse sobre $y = x$ dando otra función válida.

Ejemplo guiado

Ejemplo El reconocimiento gráfico de una función biyectiva establece que toda recta horizontal trazada a la altura de cualquier elemento del codominio $B$ debe cortar a la gráfica en exactamente un punto

Determina si la gráfica de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = 2x + 6$ es biyectiva mediante el criterio de corte horizontal.

  • Paso 1: Observar que la gráfica es una recta con pendiente $m = 2 > 0$.
  • Paso 2: Tomar una altura cualquiera $y_0 \in \mathbb{R}$ y trazar la recta horizontal $y = y_0$.
  • Paso 3: Resolver $2x + 6 = y_0 \implies x = \frac{y_0 - 6}{2}$ (solución real única).
  • Paso 4: Constatar que para cualquier $y_0 \in \mathbb{R}$ la recta horizontal corta en exactamente un punto $\left(\frac{y_0 - 6}{2}, y_0\right)$.
  • Paso 5: Concluir que $f$ es biyectiva en $\mathbb{R}$.
Comprueba tu avance ¿Qué tipo de rectas en el plano cartesiano representan siempre funciones biyectivas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$?

Procedimiento

  • Paso 1: Delimitar el codominio $B$ en el eje vertical $Y$.
  • Paso 2: Trazar rectas horizontales imaginarias a través de todo el rango de $B$.
  • Paso 3: Verificar que cada recta horizontal corte a la curva en exactamente un punto.
  • Paso 4: Concluir la biyectividad de la función.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Confundir la prueba de biyectividad con la prueba de existencia de función (recta vertical).
  • Cómo corregirlo: La recta vertical evalúa si es función; la recta horizontal en $B$ con corte único evalúa si es biyectiva.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Es biyectiva $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = -x + 5$?
2 La gráfica de $y = x^2$ en $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ corta a $y = 4$ en 2 puntos y a $y = -1$ en 0 puntos. ¿Es biyectiva?
3 Para $f: [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ con $f(x) = x^2$, ¿es biyectiva?
4 ¿Es $f(x) = x^3$ biyectiva en $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No verificar la unicidad del corte."
"Evaluar rectas fuera del codominio declarado."
"Confundir la prueba de biyectividad con la de inyectividad pura."
"Una función es biyectiva si y solo si toda recta horizontal en su codominio corta a la gráfica exactamente una vez."
"Toda recta oblicua y = mx + n con m != 0 es una función biyectiva de R en R."

Al terminar debes poder

Resumen El reconocimiento gráfico de una función biyectiva establece que toda recta horizontal trazada a la altura de cualquier elemento del codominio $B$ debe cortar a la gráfica en exactamente un punto

🎯 QUÉ Objetivo

Reconocer funciones biyectivas a partir de su comportamiento gráfico.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Comprobando el criterio de intersección única con cualquier recta horizontal dentro del codominio B.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / Tipos de Funciones y Función Inversa

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para reconocer biyectividad se debe verificar:

  2. En una función biyectiva, toda recta horizontal corta la gráfica exactamente una vez.

  3. Si una función falla la inyectividad, ¿es necesario seguir revisando la sobreyectividad para descartar biyectividad?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Es suficiente verificar solo la sobreyectividad para concluir biyectividad.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Determina si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, es biyectiva.

  2. $f: \mathbb{R} \to [0,+\infty[$, $f(x)=x^2$, es biyectiva.

  3. Determina si $f: [0,+\infty[ \to [0,+\infty[$, $f(x)=x^2$, es biyectiva.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si un sistema de reservas permite que dos pasajeros distintos ocupen el mismo asiento, la función pasajero-asiento no es biyectiva.

  2. Un sistema de reservas asigna a cada asiento un único pasajero, y todo pasajero recibe exactamente un asiento (sin sobrecupo ni asientos vacíos). ¿Qué tipo de correspondencia es esta?

  3. En una biblioteca, cada libro se asigna a un único estante, y cada estante contiene exactamente un libro. ¿Qué se puede afirmar sobre esta correspondencia?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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