Definición de función sobreyectiva

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

Una función $f: A \to B$ es sobreyectiva (o epiyectiva) si su recorrido coincide exactamente con todo el conjunto de llegada o codominio $B$: $\text{Rec}(f) = B$.

Explicación en palabras simples

Una función $f: A \to B$ es sobreyectiva (o epiyectiva) si su recorrido coincide exactamente con todo el conjunto de llegada o codominio $B$: $\text{Rec}(f) = B$

Una función es sobreyectiva (o epiyectiva) cuando no sobra ningún elemento en el conjunto de llegada $B$:
- Cada elemento $y$ del codominio tiene al menos una preimagen $x$ que le apunta.
- Todo el conjunto de llegada es alcanzado por la función (el Recorrido es igual al Codominio).

Por ejemplo, si el codominio declarado es $\mathbb{R}$, una función afín $f(x) = 2x + 1$ es sobreyectiva porque puede dar como resultado cualquier número real.

Explicación formal

Sea $f: A \to B$ una función entre conjuntos no vacíos. Se define formalmente que $f$ es sobreyectiva (o epiyectiva) si y solo si:
$$\forall y \in B, \; \exists x \in A \text{ tal que } f(x) = y \Longleftrightarrow \text{Rec}(f) = B$$

Aspectos formales fundamentales:
- Dependencia del codominio: La sobreyectividad no es una propiedad intrínseca de la fórmula algebraica, sino de la terna $(A, B, f)$.
- Ajuste de sobreyectividad: Toda función $f: A \to B$ se puede transformar en sobreyectiva redefiniendo su codominio como $B' = \text{Rec}(f)$.

Comprueba tu avance ¿Cuál es la condición matemática exacta para que una función f: A -> B sea sobreyectiva?

Definiciones clave

  • Función sobreyectiva / epiyectiva: Función donde todo elemento del codominio es imagen de al menos una preimagen.
  • Codominio ($B$) vs Recorrido ($\text{Rec}(f)$): El codominio es el conjunto de llegada declarado; el recorrido es el subconjunto de valores efectivamente alcanzados.

Propiedades y relaciones importantes

  • Preimágenes no vacías: $\forall y \in B, \; f^{-1}(\{y\}) \neq \emptyset$.
  • Composición sobreyectiva: Si $f: A \to B$ y $g: B \to C$ son sobreyectivas, su composición $g \circ f$ es sobreyectiva.

Ejemplo guiado

Ejemplo Una función $f: A \to B$ es sobreyectiva (o epiyectiva) si su recorrido coincide exactamente con todo el conjunto de llegada o codominio $B$: $\text{Rec}(f) = B$

Determina si la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = 3x - 5$ es sobreyectiva.

  • Paso 1: Tomar un elemento arbitrario $y \in \mathbb{R}$ (del conjunto de llegada).
  • Paso 2: Plantear la ecuación $f(x) = y \implies 3x - 5 = y$.
  • Paso 3: Despejar la preimagen: $3x = y + 5 \implies x = \frac{y + 5}{3}$.
  • Paso 4: Verificar que para todo $y \in \mathbb{R}$, el valor $x = \frac{y + 5}{3}$ es un número real perteneciente al dominio $\mathbb{R}$.
  • Paso 5: Concluir que $\text{Rec}(f) = \mathbb{R} = B$, por lo que $f$ es sobreyectiva.
Comprueba tu avance Para $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $g(x) = x^2$, ¿por qué NO es sobreyectiva?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el conjunto de llegada o codominio $B$ fijado en la definición de la función.
  • Paso 2: Igualar la regla a $y$ ($y = f(x)$) y despejar la variable $x$ en términos de $y$.
  • Paso 3: Analizar si para todo $y \in B$ la expresión de $x$ existe y pertenece al dominio $A$.
  • Paso 4: Concluir si $\text{Rec}(f) = B$ (sobreyectiva) o $\text{Rec}(f) \subset B$ (no sobreyectiva).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Analizar la sobreyectividad sin fijarse en el conjunto de llegada $B$.
  • Cómo corregirlo: La sobreyectividad siempre depende de $B$; por ejemplo, $f(x) = x^2$ es sobreyectiva si $B = [0, +\infty[$, pero no lo es si $B = \mathbb{R}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Es $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = -4x + 7$ sobreyectiva?
2 Para $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $h(x) = |x|$, ¿es sobreyectiva?
3 Si $g: \mathbb{R} \to [0, +\infty[$ con $g(x) = x^2$, ¿es sobreyectiva?
4 ¿Es $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = x^3 - 2$ sobreyectiva?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Creer que una función no sobreyectiva no es una función válida."
"Evaluar sobreyectividad sin considerar el conjunto de llegada declarado."
"Una función es sobreyectiva si y solo si su recorrido es igual a todo su codominio."
"Toda función afín con m != 0 definida de R en R es sobreyectiva."
"Confundir codominio con recorrido."

Al terminar debes poder

Resumen Una función $f: A \to B$ es sobreyectiva (o epiyectiva) si su recorrido coincide exactamente con todo el conjunto de llegada o codominio $B$: $\text{Rec}(f) = B$

🎯 QUÉ Objetivo

Definir, analizar y comprobar la sobreyectividad de funciones en diversos dominios y codominios.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Calculando el recorrido efectivo de la función y verificando algebraicamente su coincidencia total con el conjunto de llegada Rec(f) = B.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / Tipos de Funciones y Función Inversa

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Una función es sobreyectiva si:

  2. La sobreyectividad depende del codominio elegido.

  3. ¿Qué igualdad de conjuntos exige la sobreyectividad?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Toda función con recorrido infinito es automáticamente sobreyectiva.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Es $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+2$, sobreyectiva?

  2. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, es sobreyectiva.

  3. ¿Es $f: \mathbb{R} \to [0,+\infty[$, $f(x)=|x|$, sobreyectiva?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Si un codominio declarado es más amplio que el recorrido real de una función, esa función no es sobreyectiva.

  2. Un sistema de asignación de cupos garantiza que todo cupo disponible sea asignado a algún postulante. ¿Qué propiedad describe esto?

  3. Si se redefine el codominio de $f(x)=x^2$ de $\mathbb{R}$ a $[0,+\infty[$, ¿qué cambia respecto a la sobreyectividad?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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