Definición de función inyectiva
Comprender la inyectividad como la propiedad de que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
Introducción
Hay funciones donde nunca dos entradas distintas producen la misma salida: cada resultado "delata" exactamente de qué entrada vino. Esa propiedad se llama inyectividad.
Explicación
Definición formal
Una función $f\colon A \to B$ es inyectiva (o uno a uno) si para todo $x_1, x_2 \in A$, $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. Equivalentemente, $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$: no existen dos elementos distintos del dominio con la misma imagen.
Desarrollo didáctico
La forma más práctica de verificarlo algebraicamente es plantear la ecuación $f(x_1)=f(x_2)$ y comprobar que la única solución posible es $x_1=x_2$.
Para $f(x)=2x+1$: si $2x_1+1=2x_2+1$, entonces $2x_1=2x_2$, y por tanto $x_1=x_2$. Se confirma que $f$ es inyectiva. En cambio, para $g(x)=x^2$: $g(2)=g(-2)=4$ con $2\neq-2$, así que $g$ no es inyectiva.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Plantea la ecuación $f(x_1)=f(x_2)$.
- Paso 2: Resuelve algebraicamente esa ecuación.
- Paso 3: Si la única solución es $x_1=x_2$, la función es inyectiva.
- Paso 4: Si existen soluciones con $x_1 \neq x_2$, la función no es inyectiva.
Ejemplos
1 Determina si $f(x)=5x-3$ es inyectiva.
- Se plantea $5x_1-3=5x_2-3$.
- $5x_1=5x_2 \Rightarrow x_1=x_2$.
- Es inyectiva.
2 Determina si $f(x)=x^2$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.
- Se observa que $f(3)=9$ y $f(-3)=9$.
- Aunque $3 \neq -3$, comparten la misma imagen.
- No es inyectiva.
3 ¿Una función inyectiva puede tener dos elementos distintos del dominio con la misma imagen?
- Eso violaría directamente la definición de inyectividad.
4 ¿Toda función lineal $f(x)=mx+n$ con $m\neq0$ es inyectiva?
- Al resolver $mx_1+n=mx_2+n$ se obtiene $x_1=x_2$ siempre que $m\neq0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir inyectividad con sobreyectividad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Verificar la inyectividad con solo un par de valores en vez de la ecuación general."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que toda función creciente o decreciente en algún tramo es automáticamente inyectiva en todo su dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No considerar restricciones de dominio al evaluar la inyectividad de una función cuadrática."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una función $f\colon A \to B$ es **inyectiva** si elementos distintos del dominio tienen siempre imágenes distintas; equivalentemente, si $f(x_1)=f(x_2)$ implica $x_1=x_2$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una función es inyectiva si:
Esa es la definición de inyectividad.
Respuesta: A) Elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
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$f(x)=x^2$ es inyectiva en todo $\mathbb{R}$.
f(2)=f(-2)=4, violando la inyectividad.
Respuesta: Falso
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¿Cómo se verifica algebraicamente la inyectividad?
Ese es el método algebraico estándar.
Respuesta: A) Resolviendo $f(x_1)=f(x_2)$ y viendo si implica $x_1=x_2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Toda función lineal $f(x)=mx+n$ con $m\neq0$ es inyectiva.
Al resolver mx1+n=mx2+n se obtiene x1=x2 siempre que m sea distinto de cero.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es $f(x)=-7x+2$ inyectiva?
Es una función afín con m=-7, distinta de cero.
Respuesta: A) Sí, por tener pendiente distinta de cero.
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$f(x)=5$ (función constante) es inyectiva.
Todos los valores de x comparten la misma imagen 5, violando la inyectividad.
Respuesta: Falso
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Verifica si $f(x)=x^3$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.
La función cúbica es estrictamente creciente en todo R, así que es inyectiva.
Respuesta: A) Sí, porque $x_1^3=x_2^3$ implica $x_1=x_2$.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un sistema asigna a cada empleado un número de RUT único. ¿Qué propiedad de función cumple esta asignación?
Cada empleado (dominio) tiene un RUT (imagen) único y distinto al de cualquier otro, cumpliendo inyectividad.
Respuesta: A) Inyectividad, porque empleados distintos tienen RUT distintos.
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Si dos personas distintas pueden compartir el mismo apellido, la función 'persona-apellido' no es inyectiva.
Si dos elementos distintos del dominio comparten imagen, la función no es inyectiva.
Respuesta: Verdadero
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Un profesor asigna una única fila del salón a cada estudiante. Si dos estudiantes distintos nunca comparten fila, ¿qué propiedad describe esto?
Estudiantes distintos (dominio) reciben filas distintas (imagen), cumpliendo la condición de inyectividad.
Respuesta: A) Inyectividad.