Definición de función inyectiva
Resumen inicial
Una función es inyectiva o uno a uno si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas en el codominio: $f(a) = f(b) \implies a = b$.
Explicación en palabras simples
Una función es inyectiva (o uno a uno) cuando nunca dos entradas distintas dan el mismo resultado:
- Cada imagen $y$ tiene a lo más una sola preimagen $x$.
- No hay dos flechas del dominio que apunten al mismo elemento de llegada.
Por ejemplo, $f(x) = 3x$ es inyectiva porque números distintos siempre dan resultados distintos. Pero $g(x) = x^2$ en los reales no es inyectiva, porque $(-3)^2 = 9$ y $3^2 = 9$ (dos entradas distintas dan la misma salida $9$).
Explicación formal
Sea $f: A \to B$ una función real. Se define formalmente que $f$ es inyectiva si y solo si satisface cualquiera de las dos condiciones lógicamente equivalentes:
1. Condición directa: $\forall x_1, x_2 \in A, \; x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$.
2. Condición contrapositiva: $\forall x_1, x_2 \in A, \; f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
Propiedades analíticas:
- Inyectividad de funciones afines: Toda función $f(x) = mx + n$ con $m \neq 0$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.
- Monotonía estricta: Si $f$ es estrictamente creciente o decreciente en un intervalo $I$, entonces es inyectiva en $I$.
La alternativa correcta es 'f(a) = f(b) implica necesariamente que a = b.'. Es la definición contrapositiva de inyectividad.
Definiciones clave
- Función inyectiva (1 a 1): Aplicación donde ninguna imagen es compartida por múltiples preimágenes.
- Contrapositiva de inyectividad: Demostración algebraica asumiendo $f(a) = f(b)$ para concluir $a = b$.
Propiedades y relaciones importantes
- Unicidad de preimagen: Cada elemento del recorrido posee cardinalidad de preimágenes $|f^{-1}(\{y\})| = 1$.
- Composición inyectiva: Si $f$ y $g$ son inyectivas, su composición $g \circ f$ es inyectiva.
Ejemplo guiado
Demuestra algebraicamente si la función afín $f(x) = 4x - 9$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.
- Paso 1: Plantear la hipótesis de partida: suponer $f(a) = f(b)$ para dos reales $a, b \in \mathbb{R}$.
- Paso 2: Sustituir en la regla de la función: $4a - 9 = 4b - 9$.
- Paso 3: Sumar 9 a ambos lados de la igualdad: $4a = 4b$.
- Paso 4: Dividir ambos miembros por 4: $a = b$.
- Paso 5: Concluir formalmente que $f$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'Porque preimagenes distintas como x = 2 y x = -2 tienen la misma imagen y = 3.'. Falla la condición de unicidad de imagen.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la igualdad $f(a) = f(b)$ con dos variables hipotéticas $a$ y $b$.
- Paso 2: Desarrollar algebraicamente cancelando términos constantes y factores.
- Paso 3: Verificar si se deduce de manera única que $a = b$.
- Paso 4: Si surgen soluciones alternativas (como $a = -b$), la función no es inyectiva.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Afirmar que una función es inyectiva probando solo con dos números particulares.
- Cómo corregirlo: La demostración debe ser general para todo $a, b \in \text{Dom}(f)$ mediante álgebra ($f(a) = f(b) \implies a = b$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $-5a = -5b \implies a = b$, luego es inyectiva.
- Paso 1: Las preimágenes $-4$ y $4$ comparten la misma imagen $4$, no es inyectiva.
- Paso 1: Al extraer raíz cúbica real: $a^3 = b^3 \implies a = b$.
- Paso 1: Al no haber preimágenes negativas, $a^2 = b^2 \implies a = b$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Comprender, definir y demostrar formalmente la inyectividad de funciones reales.
Aplicando el criterio algebraico contrapositivo f(a) = f(b) ⟹ a = b y analizando la unicidad de preimágenes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una función es inyectiva si:
Esa es la definición de inyectividad.
Respuesta: A) Elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.
-
$f(x)=x^2$ es inyectiva en todo $\mathbb{R}$.
f(2)=f(-2)=4, violando la inyectividad.
Respuesta: Falso
-
¿Cómo se verifica algebraicamente la inyectividad?
Ese es el método algebraico estándar.
Respuesta: A) Resolviendo $f(x_1)=f(x_2)$ y viendo si implica $x_1=x_2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Toda función lineal $f(x)=mx+n$ con $m\neq0$ es inyectiva.
Al resolver mx1+n=mx2+n se obtiene x1=x2 siempre que m sea distinto de cero.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es $f(x)=-7x+2$ inyectiva?
Es una función afín con m=-7, distinta de cero.
Respuesta: A) Sí, por tener pendiente distinta de cero.
-
$f(x)=5$ (función constante) es inyectiva.
Todos los valores de x comparten la misma imagen 5, violando la inyectividad.
Respuesta: Falso
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Verifica si $f(x)=x^3$ es inyectiva en $\mathbb{R}$.
La función cúbica es estrictamente creciente en todo R, así que es inyectiva.
Respuesta: A) Sí, porque $x_1^3=x_2^3$ implica $x_1=x_2$.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un sistema asigna a cada empleado un número de RUT único. ¿Qué propiedad de función cumple esta asignación?
Cada empleado (dominio) tiene un RUT (imagen) único y distinto al de cualquier otro, cumpliendo inyectividad.
Respuesta: A) Inyectividad, porque empleados distintos tienen RUT distintos.
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Si dos personas distintas pueden compartir el mismo apellido, la función 'persona-apellido' no es inyectiva.
Si dos elementos distintos del dominio comparten imagen, la función no es inyectiva.
Respuesta: Verdadero
-
Un profesor asigna una única fila del salón a cada estudiante. Si dos estudiantes distintos nunca comparten fila, ¿qué propiedad describe esto?
Estudiantes distintos (dominio) reciben filas distintas (imagen), cumpliendo la condición de inyectividad.
Respuesta: A) Inyectividad.