Definición de función biyectiva
Resumen inicial
Una función es biyectiva si es simultáneamente inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva (sobre todo el codominio), estableciendo una correspondencia biunívoca perfecta.
Explicación en palabras simples
Una función es biyectiva cuando cumple las dos condiciones al mismo tiempo:
1. Es inyectiva: A entradas distintas corresponden salidas distintas (no hay repeticiones).
2. Es sobreyectiva: Todo el conjunto de llegada está cubierto (no sobra nada).
Esto significa que cada elemento de entrada tiene una pareja única en la salida, y cada elemento de salida tiene una pareja única en la entrada (un emparejamiento perfecto uno a uno).
Explicación formal
Sea $f: A \to B$ una función. Se define formalmente que $f$ es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente:
$$f \text{ es biyectiva} \Longleftrightarrow (\forall x_1, x_2 \in A, \, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2) \;\land\; (\text{Rec}(f) = B)$$
Propiedad de existencia y unicidad:
$$f \text{ es biyectiva} \Longleftrightarrow \forall y \in B, \; \exists! x \in A \text{ tal que } f(x) = y$$
Donde $\exists!$ denota existe un único elemento preimagen.
La alternativa correcta es 'Debe ser inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva (cubrir todo el codominio).'.
Definiciones clave
- Función biyectiva: Aplicación que establece una biyección o correspondencia biunívoca entre dos conjuntos.
- Unicidad global: Cada elemento del codominio posee exactamente una única preimagen en el dominio.
Propiedades y relaciones importantes
- Condición de invertibilidad: $f$ posee función inversa $f^{-1}: B \to A$ si y solo si $f$ es biyectiva.
- Cardinalidad: Si $A$ y $B$ son finitos, $f: A \to B$ biyectiva implica $|A| = |B|$.
Ejemplo guiado
Demuestra que la función afín $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = 5x - 4$ es biyectiva.
- Paso 1: Demostrar inyectividad: suponer $f(a) = f(b) \implies 5a - 4 = 5b - 4 \implies 5a = 5b \implies a = b$ (es inyectiva).
- Paso 2: Demostrar sobreyectividad: para todo $y \in \mathbb{R}$, $y = 5x - 4 \implies x = \frac{y + 4}{5} \in \mathbb{R}$ (es sobreyectiva).
- Paso 3: Como cumple ambas propiedades de forma simultánea, concluir que $f$ es biyectiva en $\mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'Biyectiva en todos los numeros reales.'. Cumple inyectividad y sobreyectividad en $\mathbb{R}$.
Procedimiento
- Paso 1: Probar analíticamente la inyectividad ($f(a) = f(b) \implies a = b$).
- Paso 2: Probar analíticamente la sobreyectividad (despejar $x$ y verificar $\text{Rec}(f) = B$).
- Paso 3: Si ambas pruebas son afirmativas, declarar la función como biyectiva.
- Paso 4: Si falla al menos una de las dos condiciones, no es biyectiva.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Concluir que una función es biyectiva verificando solo que es inyectiva.
- Cómo corregirlo: La biyectividad exige obligatoriamente ambas pruebas: inyectividad Y sobreyectividad.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Al tener $m = -3 \neq 0$, es biyección de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.
- Paso 1: No es inyectiva ($g(-1)=g(1)=2$) ni sobreyectiva (no toma valores $< 1$).
- Paso 1: En $[0, +\infty[$ es inyectiva y su recorrido es $[1, +\infty[ = B$.
- Paso 1: Cumple trivially $a = b$ y $\text{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Definir, clasificar y demostrar la biyectividad de funciones reales.
Comprobando simultáneamente las condiciones de inyectividad y sobreyectividad analítica o gráfica.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una función biyectiva es:
Ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente.
Respuesta: A) Inyectiva y sobreyectiva a la vez.
-
Toda función inyectiva es automáticamente biyectiva.
También debe ser sobreyectiva para ser biyectiva.
Respuesta: Falso
-
¿Cuál función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es biyectiva?
Es afín con m distinto de cero, inyectiva y sobreyectiva en R.
Respuesta: A) $f(x)=3x-2$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Una función biyectiva debe ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.
Ambas condiciones son necesarias a la vez.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+9$, biyectiva?
Es afín con pendiente distinta de cero, cumpliendo ambas condiciones en R.
Respuesta: A) Sí, es inyectiva y sobreyectiva.
-
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, es biyectiva.
No es inyectiva, por lo que no puede ser biyectiva.
Respuesta: Falso
-
Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2$, ¿es biyectiva?
La función cúbica desplazada mantiene ambas propiedades sobre todo R.
Respuesta: A) Sí, es inyectiva (cúbica creciente) y sobreyectiva (recorrido R).
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un sistema asigna a cada ciudadano un único número de identificación, y cada número disponible es asignado a exactamente un ciudadano. ¿Qué propiedad describe esta correspondencia?
Se cumple unicidad de asignación (inyectividad) y que todo número disponible se use (sobreyectividad), es decir, biyectividad.
Respuesta: A) Biyectividad.
-
Una función biyectiva establece una correspondencia uno a uno perfecta entre dominio y codominio.
Es exactamente la interpretación intuitiva de biyectividad.
Respuesta: Verdadero
-
En un evento con asientos numerados, cada boleto tiene un único asiento asignado y cada asiento tiene exactamente un boleto. ¿Qué propiedad describe esta asignación?
Unicidad en ambas direcciones (boleto-asiento y asiento-boleto) corresponde exactamente a una biyección.
Respuesta: A) Biyectividad.