Cálculo algebraico de la función inversa

Resumen inicial

El cálculo algebraico de la función inversa consiste en escribir $y = f(x)$, despejar la variable $x$ en términos de $y$, e intercambiar las variables para obtener $f^{-1}(x)$.

Explicación en palabras simples

$El cálculo algebraico de la función inversa consiste en escribir $y = f(x)$, despejar la variable $x$ en términos de $y$, e intercambiar las variables para obtener $f^{-1}(x)$$

Para encontrar la fórmula de la función inversa paso a paso:
1. Paso 1: Cambias $f(x)$ por la letra $y$ (escribes $y = \text{fórmula}$).
2. Paso 2: Despejas la letra $x$ completamente usando operaciones inversas.
3. Paso 3: Intercambias las letras: donde dice $x$ pones $f^{-1}(x)$, y donde dice $y$ pones $x$.

Por ejemplo, para $f(x) = 2x + 6$:
$y = 2x + 6 \implies y - 6 = 2x \implies x = \frac{y - 6}{2} \implies f^{-1}(x) = \frac{x - 6}{2}$.

Explicación formal

Dada una función biyectiva $f: A \to B$ con regla de correspondencia $y = f(x)$, el cálculo de la expresión analítica de $f^{-1}: B \to A$ sigue el algoritmo de transposición de variables:
1. Ecuación explícita inicial: $y = f(x)$.
2. Aislamiento de la preimagen: $x = f^{-1}(y) = g(y)$.
3. Relabeling estándar: Intercambio formal de variables mudas $(x \leftrightarrow y)$ para expresar la función en la variable independiente convencional $x$:
$$f^{-1}(x) = g(x)$$

Casos canónicos:
- Función afín: $f(x) = mx + n \implies f^{-1}(x) = \frac{x - n}{m} = \frac{1}{m}x - \frac{n}{m}$.
- Función homográfica racional: $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \implies f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}$.

Definiciones clave

Algoritmo de inversión: Procedimiento algebraico estructurado de despeje y cambio de variables.
Variable muda: Símbolo algebraico que representa la entrada independiente de la función.

Propiedades y relaciones importantes

Pendiente recíproca: La pendiente de la inversa de una función afín es el inverso multiplicativo de la pendiente original: $m_{\text{inv}} = \frac{1}{m}$.
Inversión de operaciones: Multiplicaciones se vuelven divisiones y sumas se vuelven restas en orden jerárquico invertido.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El cálculo algebraico de la función inversa consiste en escribir $y = f(x)$, despejar la variable $x$ en términos de $y$, e intercambiar las variables para obtener $f^{-1}(x)$$

Calcula la función inversa de $f(x) = \frac{3x - 5}{2}$ y evalúa $f^{-1}(8)$.

Paso 1: Escribir la ecuación con $y$: $y = \frac{3x - 5}{2}$.
Paso 2: Multiplicar por 2 a ambos lados: $2y = 3x - 5$.
Paso 3: Sumar 5: $2y + 5 = 3x$.
Paso 4: Dividir por 3: $x = \frac{2y + 5}{3}$.
Paso 5: Intercambiar variables: $f^{-1}(x) = \frac{2x + 5}{3}$.
Paso 6: Evaluar en $x = 8$: $f^{-1}(8) = \frac{2(8) + 5}{3} = \frac{16 + 5}{3} = \frac{21}{3} = 7$.

Procedimiento

Paso 1: Sustituir $f(x)$ por $y$ en la fórmula dada.
Paso 2: Despejar algebraicamente la variable $x$ aplicando las operaciones inversas respetando la jerarquía.
Paso 3: Intercambiar las letras $x$ e $y$.
Paso 4: Escribir la respuesta final como $f^{-1}(x)$ y especificar su dominio si corresponde.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir la inversa simplemente invirtiendo la fracción como $f^{-1}(x) = \frac{1}{2x + 6}$.
Cómo corregirlo: La inversa se obtiene despejando la variable $x$, no calculando el recíproco algebraico de la expresión.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Para obtener la función inversa se despeja x en términos de y y se intercambian las variables."

"Cometer errores de signo en el despeje de la incógnita x."

"Olvidar hacer el cambio de variables al final."

"La inversa de una función afín con pendiente m tiene pendiente 1/m."

"Calcular el recíproco 1/f(x) en lugar de despejar."

Al terminar debes poder

$Resumen El cálculo algebraico de la función inversa consiste en escribir $y = f(x)$, despejar la variable $x$ en términos de $y$, e intercambiar las variables para obtener $f^{-1}(x)$$

Calcular y simplificar algebraicamente la fórmula de la función inversa f^(-1)(x).

Despejando rigurosamente la preimagen x a partir de la ecuación y = f(x) e intercambiando las variables.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para calcular la inversa de $f(x)$, el primer paso es:
Ese es el primer paso del método algebraico estándar.

Respuesta: A) Reemplazar $f(x)$ por $y$.
El último paso al calcular una inversa es intercambiar $x$ e $y$.
¿Qué se debe despejar al calcular la inversa de $y=f(x)$?
Se despeja x para luego intercambiar las variables.

Respuesta: A) $x$ en función de $y$.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Calcular la inversa es lo mismo que calcular $\frac{1}{f(x)}$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Calcula la inversa de $f(x)=4x-8$.
y=4x-8; x=(y+8)/4; intercambiando: f^-1(x)=(x+8)/4.

Respuesta: A) $f^{-1}(x)=\frac{x+8}{4}$
La inversa de $f(x)=x+10$ es $f^{-1}(x)=x-10$.
Calcula la inversa de $f(x)=\frac{2x-3}{5}$.
y=(2x-3)/5; 5y=2x-3; x=(5y+3)/2; intercambiando: f^-1(x)=(5x+3)/2.

Respuesta: A) $f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{2}$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Una fórmula convierte grados Celsius a Fahrenheit según $F(C)=1{,}8C+32$. ¿Cuál es la fórmula inversa, que convierte de Fahrenheit a Celsius?
Despejando C en F=1,8C+32: F-32=1,8C, C=(F-32)/1,8.

Respuesta: A) $C(F)=\frac{F-32}{1{,}8}$
El costo de un servicio se modela por $C(x)=250x+1500$. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular las unidades $x$ a partir de un costo dado $C$?
Despejando x de C=250x+1500: C-1500=250x, x=(C-1500)/250, que es la función inversa.

Respuesta: A) $x=\frac{C-1500}{250}$
Si $f(x)=6x+12$, entonces $f^{-1}(x)=\frac{x-12}{6}$.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación