Cálculo algebraico de la función inversa
Calcular algebraicamente la fórmula de la función inversa de una función invertible.
Introducción
Calcular una inversa es, en el fondo, resolver una pequeña ecuación con un truco de notación al final.
Explicación
Definición formal
Dada una función biyectiva $y=f(x)$, calcular $f^{-1}$ consiste en despejar $x$ de la ecuación $y=f(x)$ para obtener $x=g(y)$, y luego renombrar las variables intercambiando $x$ e $y$: $f^{-1}(x)=g(x)$.
Desarrollo didáctico
El intercambio final de variables es solo una convención de notación, ya que por costumbre se escribe la variable independiente como $x$.
Para $f(x)=3x-6$: se escribe $y=3x-6$, se despeja $x=\frac{y+6}{3}$, y se intercambian las variables para obtener $f^{-1}(x)=\frac{x+6}{3}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Reemplaza $f(x)$ por $y$ en la fórmula original.
- Paso 2: Despeja $x$ en función de $y$.
- Paso 3: Intercambia los nombres $x$ e $y$ en la expresión obtenida.
- Paso 4: El resultado es $f^{-1}(x)$.
Ejemplos
1 Calcula la inversa de $f(x)=2x+5$.
- $y=2x+5$.
- Despejando - $x=\frac{y-5}{2}$.
- Intercambiando variables - $f^{-1}(x)=\frac{x-5}{2}$.
2 Calcula la inversa de $f(x)=\frac{x}{4}-1$.
- $y=\frac{x}{4}-1$.
- Despejando - $x=4(y+1)=4y+4$.
- Intercambiando variables - $f^{-1}(x)=4x+4$.
3 ¿El paso final de calcular una inversa es intercambiar $x$ e $y$?
- Es la convención estándar para expresar la inversa en términos de la variable $x$.
4 ¿Calcular la inversa siempre requiere despejar $x$ de la ecuación $y=f(x)$?
- Ese despeje es el paso algebraico central para obtener la fórmula de la inversa.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el paso final de intercambiar las variables $x$ e $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores algebraicos al despejar $x$ en ecuaciones con fracciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el cálculo de la inversa con calcular $\frac{1}{f(x)}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar el resultado componiendo $f$ con $f^{-1}$ obtenida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular la inversa de $f(x)$, se reemplaza $f(x)$ por $y$, se despeja $x$ en función de $y$, y finalmente se intercambian los nombres de las variables para obtener $f^{-1}(x)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para calcular la inversa de $f(x)$, el primer paso es:
Ese es el primer paso del método algebraico estándar.
Respuesta: A) Reemplazar $f(x)$ por $y$.
-
El último paso al calcular una inversa es intercambiar $x$ e $y$.
Es la convención estándar para expresar la inversa en términos de x.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué se debe despejar al calcular la inversa de $y=f(x)$?
Se despeja x para luego intercambiar las variables.
Respuesta: A) $x$ en función de $y$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Calcular la inversa es lo mismo que calcular $\frac{1}{f(x)}$.
Son conceptos completamente distintos.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula la inversa de $f(x)=4x-8$.
y=4x-8; x=(y+8)/4; intercambiando: f^-1(x)=(x+8)/4.
Respuesta: A) $f^{-1}(x)=\frac{x+8}{4}$
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La inversa de $f(x)=x+10$ es $f^{-1}(x)=x-10$.
Restar 10 revierte exactamente sumar 10.
Respuesta: Verdadero
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Calcula la inversa de $f(x)=\frac{2x-3}{5}$.
y=(2x-3)/5; 5y=2x-3; x=(5y+3)/2; intercambiando: f^-1(x)=(5x+3)/2.
Respuesta: A) $f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{2}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una fórmula convierte grados Celsius a Fahrenheit según $F(C)=1{,}8C+32$. ¿Cuál es la fórmula inversa, que convierte de Fahrenheit a Celsius?
Despejando C en F=1,8C+32: F-32=1,8C, C=(F-32)/1,8.
Respuesta: A) $C(F)=\frac{F-32}{1{,}8}$
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El costo de un servicio se modela por $C(x)=250x+1500$. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular las unidades $x$ a partir de un costo dado $C$?
Despejando x de C=250x+1500: C-1500=250x, x=(C-1500)/250, que es la función inversa.
Respuesta: A) $x=\frac{C-1500}{250}$
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Si $f(x)=6x+12$, entonces $f^{-1}(x)=\frac{x-12}{6}$.
y=6x+12; x=(y-12)/6; intercambiando variables se confirma la fórmula.
Respuesta: Verdadero