Determinación de paridad de una función desde su fórmula
Determinar algebraicamente si una función es par, impar, o ninguna de las dos, a partir de su fórmula.
Introducción
No toda función es par ni impar; muchas simplemente no cumplen ninguna de las dos condiciones. El procedimiento algebraico revela cuál es el caso.
Explicación
Definición formal
Dada una función $f$, se calcula $f(-x)$ mediante sustitución algebraica. Si $f(-x)=f(x)$, la función es par. Si $f(-x)=-f(x)$, la función es impar. Si no se cumple ninguna de las dos igualdades, la función no es ni par ni impar.
Desarrollo didáctico
El proceso completo tiene tres posibles conclusiones, y es fundamental revisar ambas comparaciones antes de descartar totalmente la paridad.
Si $f(x)=x^2+x$: $f(-x)=x^2-x$. Esto no coincide con $f(x)=x^2+x$ (no es par) ni con $-f(x)=-x^2-x$ (no es impar). Se concluye que no es ni par ni impar.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula $f(-x)$ sustituyendo $-x$ en la fórmula.
- Paso 2: Compara el resultado con $f(x)$; si coinciden, es par.
- Paso 3: Si no coincide, compara con $-f(x)$; si coinciden, es impar.
- Paso 4: Si no coincide con ninguna, la función no es ni par ni impar.
Ejemplos
1 Determina la paridad de $f(x)=3x^4-2x^2$.
- $f(-x)=3x^4-2x^2=f(x)$.
- Es par.
2 Determina la paridad de $f(x)=7x^5-x$.
- $f(-x)=-7x^5+x=-(7x^5-x)=-f(x)$.
- Es impar.
3 ¿Puede una función no ser ni par ni impar?
- Muchas funciones, especialmente las que mezclan términos pares e impares con constantes, no cumplen ninguna de las dos condiciones.
4 ¿La función constante distinta de cero es impar?
- $f(-x)=c$ pero $-f(x)=-c$, que solo coinciden si $c=0$; para $c\neq0$ no es impar (aunque sí es par).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Concluir imparidad al observar solo exponentes impares, sin comparar formalmente con $-f(x)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Detenerse tras descartar paridad sin verificar la posibilidad de imparidad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al calcular $f(-x)$ en términos con exponentes impares."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir "no es par" con "es impar", cuando en realidad puede no ser ninguna de las dos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para determinar la paridad de una función desde su fórmula, se calcula $f(-x)$ y se compara con $f(x)$ y con $-f(x)$; según cuál coincidencia se obtenga, la función es par, impar o ninguna de las dos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para determinar la paridad de una función desde su fórmula, el primer paso es:
Se sustituye -x en la fórmula y se compara con f(x) y -f(x).
Respuesta: A) Calcular $f(-x)$
-
Una función puede no ser ni par ni impar.
Muchas funciones que mezclan términos pares e impares con constantes no cumplen ninguna condición.
Respuesta: Verdadero
-
Si al calcular $f(-x)$ no coincide ni con $f(x)$ ni con $-f(x)$, se concluye que:
Al no cumplir ninguna de las dos condiciones, la función queda fuera de ambas categorías.
Respuesta: A) La función no es ni par ni impar
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=3x^4-2x^2$ es una función par.
f(-x)=3x^4-2x^2=f(x).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina la paridad de $f(x)=7x^5-x$.
f(-x)=-7x^5+x=-(7x^5-x)=-f(x), por lo tanto es impar.
Respuesta: A) Es impar
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Determina la paridad de $f(x)=x^2+x$.
f(-x)=x^2-x, que no coincide ni con f(x)=x^2+x ni con -f(x)=-x^2-x.
Respuesta: A) No es ni par ni impar
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La función $f(x)=5$ (constante) es par.
f(-x)=5=f(x) para todo x, por lo que es par.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La única función que es simultáneamente par e impar es la función nula $f(x)=0$.
Solo f(x)=0 satisface f(-x)=f(x) y f(-x)=-f(x) al mismo tiempo.
Respuesta: Verdadero
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Determina la paridad de $f(x)=x^3+2x^2$.
f(-x)=-x^3+2x^2, que no coincide con f(x) ni con -f(x)=-x^3-2x^2.
Respuesta: A) No es ni par ni impar
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¿Cuál es el error frecuente al concluir imparidad de una función?
Los términos constantes u otros detalles pueden romper la paridad aunque los exponentes sean impares.
Respuesta: A) Observar solo exponentes impares sin comparar formalmente con $-f(x)$