Definición de función parte entera

Resumen inicial

La función parte entera (o función piso) asigna a cada número real $x$ el mayor número entero menor o igual que $x$: $f(x) = \lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\}$.

Explicación en palabras simples

$La función parte entera (o función piso) asigna a cada número real $x$ el mayor número entero menor o igual que $x$: $f(x) = \lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\}$$

La función parte entera (que se anota como $\lfloor x \rfloor$ o $[x]$) es como una máquina de truncar números hacia la izquierda en la recta numérica:
- Para números positivos, simplemente le quitas los decimales: $\lfloor 3,8 \rfloor = 3$, $\lfloor 7,1 \rfloor = 7$.
- Para números enteros, se queda igual: $\lfloor 5 \rfloor = 5$, $\lfloor -4 \rfloor = -4$.
- ¡Mucho cuidado con los negativos! Busca el entero que está a la izquierda: $\lfloor -2,3 \rfloor = -3$ (porque $-3 \le -2,3 < -2$).

Explicación formal

La función parte entera (función piso / floor function) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ se define formalmente como:
$$\lfloor x \rfloor = k \Longleftrightarrow k \le x < k + 1, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Propiedades fundamentales:
- Dominio y Recorrido: $\text{Dom}(\lfloor \cdot \rfloor) = \mathbb{R}$, $\text{Rec}(\lfloor \cdot \rfloor) = \mathbb{Z}$.
- Identidad en enteros: $\lfloor x \rfloor = x \Longleftrightarrow x \in \mathbb{Z}$.
- Acotación: $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ y $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
- Aditividad con enteros: $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n, \quad \forall n \in \mathbb{Z}$.
- Parte fraccionaria (mantisa): $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \in [0, 1[$.

Definiciones clave

Función parte entera / piso $\lfloor x \rfloor$: Mayor entero menor o igual que $x$.
Parte fraccionaria $\{x\}$: Diferencia $x - \lfloor x \rfloor$, acotada en el intervalo semiabierto $[0, 1[$.

Propiedades y relaciones importantes

Monotonía no decreciente: $x_1 \le x_2 \implies \lfloor x_1 \rfloor \le \lfloor x_2 \rfloor$.
No inyectiva ni sobreyectiva en $\mathbb{R}$: Es sobreyectiva sobre $\mathbb{Z}$, pero no sobre $\mathbb{R}$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La función parte entera (o función piso) asigna a cada número real $x$ el mayor número entero menor o igual que $x$: $f(x) = \lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\}$$

Calcula el valor de la función parte entera para los siguientes valores de $x$:
1) $x = 5.82$
2) $x = 0.45$
3) $x = -1.3$
4) $x = -4.0$

Paso 1: Para $x = 5.82$: $5 \le 5.82 < 6 \implies \lfloor 5.82 \rfloor = 5$.
Paso 2: Para $x = 0.45$: $0 \le 0.45 < 1 \implies \lfloor 0.45 \rfloor = 0$.
Paso 3: Para $x = -1.3$: $-2 \le -1.3 < -1 \implies \lfloor -1.3 \rfloor = -2$ (el entero menor inmediato).
Paso 4: Para $x = -4.0$: como es entero exacto, $\lfloor -4.0 \rfloor = -4$.

Procedimiento

Paso 1: Ubicar el número real $x$ en la recta numérica.
Paso 2: Identificar los dos números enteros consecutivos $k$ y $k+1$ tales que $k \le x < k+1$.
Paso 3: Tomar el entero inferior $k$ como el valor de $\lfloor x \rfloor$.
Paso 4: Si $x$ es entero exacto, el resultado es el mismo número $x$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Decir que $\lfloor -2.8 \rfloor = -2$ simplemente borrando los decimales.
Cómo corregirlo: Para números negativos, truncar hacia abajo significa ir hacia la izquierda en la recta numérica ($-3 \le -2.8 < -2$, luego el resultado es $-3$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El dominio de la función parte entera son los reales R y su recorrido son los enteros Z."

"La función parte entera asigna a cada real el mayor entero menor o igual a él."

"Truncar números negativos hacia cero en vez de hacia -infinito."

"Confundir parte entera con la regla del redondeo."

"Asumir que el recorrido contiene números decimales."

Al terminar debes poder

$Resumen La función parte entera (o función piso) asigna a cada número real $x$ el mayor número entero menor o igual que $x$: $f(x) = \lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb{Z} \mid k \le x\}$$

Comprender, definir y evaluar la función parte entera en números reales positivos, negativos y nulos.

Aplicando la condición k ≤ x < k + 1 para identificar el mayor entero k = ⌊x⌋.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La función parte entera $\lfloor x \rfloor$ se define como:
Esa es la definición formal de la función parte entera.

Respuesta: A) El mayor entero menor o igual a $x$
Si $x$ ya es un entero, $\lfloor x \rfloor = x$.
Para números negativos no enteros, la parte entera:
El redondeo hacia abajo va en la dirección opuesta a la intuición de truncar decimales cuando x es negativo.

Respuesta: A) Redondea hacia el entero más negativo (más abajo)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$\lfloor 8{,}3 \rfloor = 8$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Calcula $\lfloor -2{,}4 \rfloor$.
El mayor entero menor o igual a -2,4 es -3, no -2.

Respuesta: A) $-3$
Calcula $\lfloor -3{,}2 \rfloor$.
El mayor entero menor o igual a -3,2 es -4.

Respuesta: A) $-4$
$\lfloor 6 \rfloor = 6$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

¿Cuál es el error frecuente al calcular la parte entera de un número negativo?
Truncar decimales sin ajustar por el signo negativo produce un resultado incorrecto.

Respuesta: A) Truncar los decimales sin considerar el signo
$\lfloor -0{,}5 \rfloor$ es igual a:
El mayor entero menor o igual a -0,5 es -1.

Respuesta: A) $-1$
La parte entera es equivalente al redondeo matemático estándar al entero más cercano.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación