Definición de función par

Resumen inicial

Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$.

Explicación en palabras simples

Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$

Una función es par cuando meter un número negativo o su positivo da exactamente el mismo resultado:
$$f(-x) = f(x)$$

Por ejemplo, para $f(x) = x^2$:
- Si evalúas en $x = 3$, obtienes $3^2 = 9$.
- Si evalúas en $x = -3$, obtienes $(-3)^2 = 9$.

¡Ambos dan $9$! En el gráfico, el eje vertical $Y$ actúa como un espejo perfecto.

Explicación formal

Sea $f: D \to \mathbb{R}$ una función con dominio simétrico ($x \in D \implies -x \in D$). Se define que $f$ es una función par si y solo si:
$$f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D$$

Propiedades analíticas:
- Invarianza par: Los polinomios con únicamente potencias de exponente par ($x^0, x^2, x^4, \dots$) son funciones pares.
- Suma y producto: La suma de funciones pares es par; el producto de dos funciones pares es par.
- Derivada: La derivada de una función par derivable es una función impar ($f'(-x) = -f'(x)$).

Definiciones clave

Función par: Aplicación que satisface $f(-x) = f(x)$ para todo elemento del dominio.
Dominio simétrico: Conjunto $D \subseteq \mathbb{R}$ tal que $\forall x \in D \implies -x \in D$.

Propiedades y relaciones importantes

Simetría axial: Su gráfica es invariante bajo reflexión respecto a la recta $x = 0$ (eje $Y$).
Pares simétricos: Si $(a, b) \in \text{Graf}(f)$, entonces $(-a, b) \in \text{Graf}(f)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$

Demuestra algebraicamente si la función $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$ es una función par en $\mathbb{R}$.

Paso 1: Verificar el dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, el cual es simétrico respecto al origen.
Paso 2: Evaluar la función en $-x$: $f(-x) = 3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 7$.
Paso 3: Aplicar propiedades de potencias: $(-x)^4 = x^4$ y $(-x)^2 = x^2$.
Paso 4: Simplificar la expresión: $f(-x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$.
Paso 5: Comparar con la función original: como $f(-x) = f(x)$, concluir que $f$ es una función par.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que el dominio de la función sea simétrico respecto al origen.
Paso 2: Sustituir cada aparición de $x$ por $(-x)$ usando paréntesis obligatorios.
Paso 3: Desarrollar las potencias y simplificar signos.
Paso 4: Comprobar si la expresión simplificada coincide exactamente con la fórmula original $f(x)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar que el término constante (ej: $+7$) tiene exponente par ($7x^0$) y pensar que afecta la paridad.
Cómo corregirlo: Las constantes no cambian de signo al evaluar $f(-x)$, por lo que preservan la paridad par.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una función es par si f(-x) = f(x) para todo elemento de su dominio simétrico."

"Cometer errores de signo al no usar paréntesis en (-x)^n."

"No verificar la simetría del dominio."

"Confundir la paridad de funciones con los números pares e impares."

"La gráfica de toda función par es simétrica respecto al eje de ordenadas Y."

Al terminar debes poder

Resumen Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$

Definir, demostrar y evaluar la paridad par en funciones reales.

Comprobando la simetría del dominio y verificando algebraicamente la identidad f(-x) = f(x).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Una función $f$ es par si para todo $x$ del dominio se cumple:
Esa es la definición algebraica de función par.

Respuesta: A) $f(-x)=f(x)$
Toda función constante $f(x)=c$ es par.
Para que tenga sentido verificar si $f$ es par, el dominio debe ser:
Si x está en el dominio, -x también debe estarlo para poder comparar f(-x) con f(x).

Respuesta: A) Simétrico respecto al origen

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=x^2$ es una función par.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina si $f(x)=x^4-5$ es par.
f(-x)=(-x)^4-5=x^4-5=f(x), por lo tanto es par.

Respuesta: A) Sí, porque f(-x)=x^4-5=f(x)
Determina si $g(x)=x^2+3x$ es par.
g(-x)=(-x)^2+3(-x)=x^2-3x, que no coincide con g(x)=x^2+3x.

Respuesta: A) No, porque g(-x)=x^2-3x, distinto de g(x)
$h(x)=2x^6-x^2+1$ es una función par.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si $f$ es par y $f(3)=7$, ¿cuál es el valor de $f(-3)$?
Por definición de función par, f(-3)=f(3)=7.

Respuesta: A) 7
¿Cuál de las siguientes funciones es par?
f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x); las demás no cumplen la condición.

Respuesta: A) $f(x)=x^2-4$
Si $f$ es par, entonces $f(-x)-f(x)=0$ para todo $x$ del dominio.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación