Definición de función par
Comprender la definición algebraica de función par mediante la condición $f(-x)=f(x)$.
Introducción
Hay funciones donde no importa si entras con un número o con su opuesto: siempre obtienes exactamente el mismo resultado. Esa característica define a las funciones pares.
Explicación
Definición formal
Una función $f$ con dominio simétrico respecto al origen (si $x \in \text{Dom}(f)$, entonces $-x \in \text{Dom}(f)$) es par si $f(-x) = f(x)$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$.
Desarrollo didáctico
Para verificar algebraicamente, se sustituye $-x$ en la fórmula de la función y se simplifica, comparando el resultado con la fórmula original.
Si $f(x)=x^2$: $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$. Se confirma que es par. En cambio, para $g(x)=x^3$: $g(-x)=(-x)^3=-x^3 \neq g(x)$, por lo que no es par.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Sustituye $-x$ en cada aparición de la variable de la función.
- Paso 2: Simplifica la expresión resultante.
- Paso 3: Compara el resultado con la fórmula original de $f(x)$.
- Paso 4: Si son idénticas, la función es par.
Ejemplos
1 Determina si $f(x)=x^4-3$ es par.
- $f(-x)=(-x)^4-3=x^4-3$.
- Coincide exactamente con $f(x)$.
- Es par.
2 Determina si $f(x)=x^2+x$ es par.
- $f(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x$.
- No coincide con $f(x)=x^2+x$.
- No es par.
3 ¿Toda función constante es par?
- $f(-x)=c=f(x)$ para toda constante $c$, cumpliendo la definición.
4 ¿La condición $f(-x)=f(x)$ debe cumplirse solo para algunos valores de $x$?
- Debe cumplirse para todo $x$ del dominio, no solo para algunos valores particulares.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Verificar la condición de paridad con solo un valor numérico en vez de algebraicamente para todo $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir función par con función que solo tiene exponentes pares en su fórmula (no siempre es equivalente si hay términos mixtos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar elevar correctamente potencias impares al sustituir $-x$, perdiendo el signo negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir "función par" con "número par"."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una función $f$ es **par** si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ del dominio; es decir, evaluar en un valor y en su opuesto siempre produce la misma imagen.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una función $f$ es par si para todo $x$ del dominio se cumple:
Esa es la definición algebraica de función par.
Respuesta: A) $f(-x)=f(x)$
-
Toda función constante $f(x)=c$ es par.
f(-x)=c=f(x) para todo x, cumpliendo la definición.
Respuesta: Verdadero
-
Para que tenga sentido verificar si $f$ es par, el dominio debe ser:
Si x está en el dominio, -x también debe estarlo para poder comparar f(-x) con f(x).
Respuesta: A) Simétrico respecto al origen
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$f(x)=x^2$ es una función par.
f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina si $f(x)=x^4-5$ es par.
f(-x)=(-x)^4-5=x^4-5=f(x), por lo tanto es par.
Respuesta: A) Sí, porque f(-x)=x^4-5=f(x)
-
Determina si $g(x)=x^2+3x$ es par.
g(-x)=(-x)^2+3(-x)=x^2-3x, que no coincide con g(x)=x^2+3x.
Respuesta: A) No, porque g(-x)=x^2-3x, distinto de g(x)
-
$h(x)=2x^6-x^2+1$ es una función par.
h(-x)=2x^6-x^2+1=h(x), pues todos los exponentes son pares.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si $f$ es par y $f(3)=7$, ¿cuál es el valor de $f(-3)$?
Por definición de función par, f(-3)=f(3)=7.
Respuesta: A) 7
-
¿Cuál de las siguientes funciones es par?
f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x); las demás no cumplen la condición.
Respuesta: A) $f(x)=x^2-4$
-
Si $f$ es par, entonces $f(-x)-f(x)=0$ para todo $x$ del dominio.
De f(-x)=f(x) se obtiene directamente f(-x)-f(x)=0.
Respuesta: Verdadero