Definición de función par

Resumen inicial

Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$.

Explicación en palabras simples

Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$

Una función es par cuando meter un número negativo o su positivo da exactamente el mismo resultado:
$$f(-x) = f(x)$$

Por ejemplo, para $f(x) = x^2$:
- Si evalúas en $x = 3$, obtienes $3^2 = 9$.
- Si evalúas en $x = -3$, obtienes $(-3)^2 = 9$.

¡Ambos dan $9$! En el gráfico, el eje vertical $Y$ actúa como un espejo perfecto.

Explicación formal

Sea $f: D \to \mathbb{R}$ una función con dominio simétrico ($x \in D \implies -x \in D$). Se define que $f$ es una función par si y solo si:
$$f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D$$

Propiedades analíticas:
- Invarianza par: Los polinomios con únicamente potencias de exponente par ($x^0, x^2, x^4, \dots$) son funciones pares.
- Suma y producto: La suma de funciones pares es par; el producto de dos funciones pares es par.
- Derivada: La derivada de una función par derivable es una función impar ($f'(-x) = -f'(x)$).

Definiciones clave

Función par: Aplicación que satisface $f(-x) = f(x)$ para todo elemento del dominio.
Dominio simétrico: Conjunto $D \subseteq \mathbb{R}$ tal que $\forall x \in D \implies -x \in D$.

Propiedades y relaciones importantes

Simetría axial: Su gráfica es invariante bajo reflexión respecto a la recta $x = 0$ (eje $Y$).
Pares simétricos: Si $(a, b) \in \text{Graf}(f)$, entonces $(-a, b) \in \text{Graf}(f)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$

Demuestra algebraicamente si la función $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$ es una función par en $\mathbb{R}$.

Paso 1: Verificar el dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, el cual es simétrico respecto al origen.
Paso 2: Evaluar la función en $-x$: $f(-x) = 3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 7$.
Paso 3: Aplicar propiedades de potencias: $(-x)^4 = x^4$ y $(-x)^2 = x^2$.
Paso 4: Simplificar la expresión: $f(-x) = 3x^4 - 2x^2 + 7$.
Paso 5: Comparar con la función original: como $f(-x) = f(x)$, concluir que $f$ es una función par.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que el dominio de la función sea simétrico respecto al origen.
Paso 2: Sustituir cada aparición de $x$ por $(-x)$ usando paréntesis obligatorios.
Paso 3: Desarrollar las potencias y simplificar signos.
Paso 4: Comprobar si la expresión simplificada coincide exactamente con la fórmula original $f(x)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar que el término constante (ej: $+7$) tiene exponente par ($7x^0$) y pensar que afecta la paridad.
Cómo corregirlo: Las constantes no cambian de signo al evaluar $f(-x)$, por lo que preservan la paridad par.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir la paridad de funciones con los números pares e impares."

"Una función es par si f(-x) = f(x) para todo elemento de su dominio simétrico."

"Cometer errores de signo al no usar paréntesis en (-x)^n."

"No verificar la simetría del dominio."

"La gráfica de toda función par es simétrica respecto al eje de ordenadas Y."

Al terminar debes poder

Resumen Una función es par si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría respecto al eje vertical $Y$

Definir, demostrar y evaluar la paridad par en funciones reales.

Comprobando la simetría del dominio y verificando algebraicamente la identidad f(-x) = f(x).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Una función $f$ es par si para todo $x$ del dominio se cumple:
Esa es la definición algebraica de función par.

Respuesta: A) $f(-x)=f(x)$
Toda función constante $f(x)=c$ es par.
Para que tenga sentido verificar si $f$ es par, el dominio debe ser:
Si x está en el dominio, -x también debe estarlo para poder comparar f(-x) con f(x).

Respuesta: A) Simétrico respecto al origen

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=x^2$ es una función par.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina si $f(x)=x^4-5$ es par.
f(-x)=(-x)^4-5=x^4-5=f(x), por lo tanto es par.

Respuesta: A) Sí, porque f(-x)=x^4-5=f(x)
Determina si $g(x)=x^2+3x$ es par.
g(-x)=(-x)^2+3(-x)=x^2-3x, que no coincide con g(x)=x^2+3x.

Respuesta: A) No, porque g(-x)=x^2-3x, distinto de g(x)
$h(x)=2x^6-x^2+1$ es una función par.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si $f$ es par y $f(3)=7$, ¿cuál es el valor de $f(-3)$?
Por definición de función par, f(-3)=f(3)=7.

Respuesta: A) 7
¿Cuál de las siguientes funciones es par?
f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x); las demás no cumplen la condición.

Respuesta: A) $f(x)=x^2-4$
Si $f$ es par, entonces $f(-x)-f(x)=0$ para todo $x$ del dominio.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación