Definición de función impar

Resumen inicial

Una función es impar si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría central de $180^\circ$ respecto al origen $(0, 0)$.

Explicación en palabras simples

$Una función es impar si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría central de $180^\circ$ respecto al origen $(0, 0)$$

Una función es impar cuando cambiar el signo de la entrada hace cambiar exactamente el signo de la salida:
$$f(-x) = -f(x)$$

Por ejemplo, para $f(x) = x^3$:
- Si evalúas en $x = 2$, obtienes $2^3 = 8$.
- Si evalúas en $x = -2$, obtienes $(-2)^3 = -8$.

¡El resultado es el opuesto exacto ($-8$ en vez de $8$)!
Además, si una función impar está definida en $x = 0$, pasa obligatoriamente por el origen $(0, 0)$.

Explicación formal

Sea $f: D \to \mathbb{R}$ una función con dominio simétrico ($x \in D \implies -x \in D$). Se define que $f$ es una función impar si y solo si:
$$f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in D$$

Propiedades analíticas:
- Cero en el origen: Si $0 \in D$, entonces $f(-0) = -f(0) \implies f(0) = -f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0$.
- Polinomios impares: Polinomios compuestos exclusivamente por potencias de exponente impar ($x^1, x^3, x^5, \dots$) sin término constante son funciones impares.
- Suma y producto: La suma de impares es impar; el producto de dos funciones impares es una función par ($- \times - = +$).

Definiciones clave

Función impar: Aplicación que satisface $f(-x) = -f(x)$ en todo su dominio simétrico.
Simetría central: Invarianza bajo una rotación puntual de media vuelta ($180^\circ$) en torno al origen.

Propiedades y relaciones importantes

Pares simétricos opuestos: Si $(a, b) \in \text{Graf}(f)$, entonces $(-a, -b) \in \text{Graf}(f)$.
Integral simétrica: La integral de una función impar continua en $[-a, a]$ es siempre idéntica a cero.

Ejemplo guiado

$Ejemplo Una función es impar si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría central de $180^\circ$ respecto al origen $(0, 0)$$

Demuestra algebraicamente si la función $f(x) = 2x^5 - 7x^3 + 4x$ es impar en $\mathbb{R}$.

Paso 1: Verificar el dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, simétrico respecto al origen.
Paso 2: Evaluar la función en $-x$: $f(-x) = 2(-x)^5 - 7(-x)^3 + 4(-x)$.
Paso 3: Aplicar potencias impares: $(-x)^5 = -x^5$, $(-x)^3 = -x^3$, $(-x) = -x$.
Paso 4: Simplificar: $f(-x) = -2x^5 + 7x^3 - 4x$.
Paso 5: Factorizar el signo negativo: $f(-x) = -(2x^5 - 7x^3 + 4x) = -f(x)$.
Paso 6: Concluir que $f$ es formalmente una función impar.

Procedimiento

Paso 1: Comprobar la simetría del dominio respecto al cero.
Paso 2: Evaluar la función en $(-x)$ colocando paréntesis en cada variable.
Paso 3: Desarrollar los signos algebraicos.
Paso 4: Factorizar un signo negativo global y comparar con la expresión $-f(x)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Pensar que $f(x) = 3x + 2$ es impar porque $3x$ es de grado 1.
Cómo corregirlo: Al evaluar $f(-x) = -3x + 2$, esto no es igual a $-(3x + 2) = -3x - 2$ debido al $+2$. Para ser impar, no puede tener término constante distinto de cero.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Toda función impar definida en x = 0 satisface f(0) = 0."

"Olvidar que f(0) debe ser 0 en toda función impar definida en el origen."

"Una función es impar si f(-x) = -f(x) para todo x en su dominio."

"Creer que funciones afines con intercepto no nulo son impares."

"Asumir que el producto de impares sigue siendo impar."

Al terminar debes poder

$Resumen Una función es impar si su dominio es simétrico respecto al origen y satisface $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$, lo que equivale geométricamente a una simetría central de $180^\circ$ respecto al origen $(0, 0)$$

Definir, demostrar y evaluar funciones impares.

Verificando la condición algebraica f(-x) = -f(x) y constatando que f(0) = 0 cuando 0 pertenece al dominio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Una función $f$ es impar si para todo $x$ del dominio se cumple:
Esa es la definición algebraica de función impar.

Respuesta: A) $f(-x)=-f(x)$
La función identidad $f(x)=x$ es impar.
La condición $f(-x)=-f(x)$ es equivalente a:
Sumando f(x) a ambos lados de f(-x)=-f(x) se obtiene f(-x)+f(x)=0.

Respuesta: A) $f(-x)+f(x)=0$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=x^3$ es una función impar.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina si $f(x)=4x^3-x$ es impar.
f(-x)=4(-x)^3-(-x)=-4x^3+x=-(4x^3-x)=-f(x).

Respuesta: A) Sí, porque f(-x)=-4x^3+x=-f(x)
Determina si $g(x)=x^3+2$ es impar.
g(-x)=(-x)^3+2=-x^3+2, mientras que -g(x)=-(x^3+2)=-x^3-2; no coinciden.

Respuesta: A) No, porque -g(x)=-x^3-2 no coincide con g(-x)=-x^3+2
$h(x)=3x^5-2x$ es una función impar.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si $f$ es impar y $f(2)=5$, ¿cuál es el valor de $f(-2)$?
Por definición de función impar, f(-2)=-f(2)=-5.

Respuesta: A) $-5$
Si $0$ pertenece al dominio de una función impar $f$, entonces necesariamente $f(0)=0$.
¿Cuál de las siguientes funciones es impar?
f(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x); las demás no cumplen la condición.

Respuesta: A) $f(x)=x^3-x$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación