Definición de función impar
Comprender la definición algebraica de función impar mediante la condición $f(-x)=-f(x)$.
Introducción
En otras funciones, evaluar en el opuesto de un número produce exactamente el opuesto del resultado original: ese comportamiento define a las funciones impares.
Explicación
Definición formal
Una función $f$ con dominio simétrico respecto al origen es impar si $f(-x) = -f(x)$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$. Equivalentemente, $f(-x) + f(x) = 0$ para todo $x$.
Desarrollo didáctico
El procedimiento de verificación es análogo al de las funciones pares: sustituir $-x$, simplificar, y esta vez comparar con $-f(x)$ (la fórmula original con signo cambiado).
Si $f(x)=x^3$: $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$. Se confirma que es impar. En cambio, para $g(x)=x^2+1$: $g(-x)=x^2+1=g(x) \neq -g(x)$, por lo que no es impar.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Sustituye $-x$ en cada aparición de la variable de la función.
- Paso 2: Simplifica la expresión resultante.
- Paso 3: Calcula $-f(x)$, es decir, la fórmula original con el signo cambiado.
- Paso 4: Compara ambos resultados - si coinciden, la función es impar.
Ejemplos
1 Determina si $f(x)=5x^3-2x$ es impar.
- $f(-x)=5(-x)^3-2(-x)=-5x^3+2x$.
- $-f(x)=-(5x^3-2x)=-5x^3+2x$.
- Coinciden, es impar.
2 Determina si $f(x)=x^3+1$ es impar.
- $f(-x)=(-x)^3+1=-x^3+1$.
- $-f(x)=-(x^3+1)=-x^3-1$.
- No coinciden, no es impar.
3 ¿La función identidad $f(x)=x$ es impar?
- $f(-x)=-x=-f(x)$, cumpliendo la definición.
4 ¿Toda función impar cumple $f(0)=0$ si $0$ pertenece al dominio?
- De $f(-0)=-f(0)$ se obtiene $f(0)=-f(0)$, lo que solo es posible si $f(0)=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la condición $f(-x)=-f(x)$ con $f(-x)=f(x)$ (paridad)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar cambiar el signo de toda la expresión al calcular $-f(x)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que una función con exponentes impares en su fórmula es automáticamente impar sin verificar términos constantes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar la condición para todo $x$, sino solo para un valor particular."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una función $f$ es **impar** si $f(-x) = -f(x)$ para todo $x$ del dominio; es decir, la imagen del opuesto de $x$ es el opuesto de la imagen de $x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una función $f$ es impar si para todo $x$ del dominio se cumple:
Esa es la definición algebraica de función impar.
Respuesta: A) $f(-x)=-f(x)$
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La función identidad $f(x)=x$ es impar.
f(-x)=-x=-f(x), cumpliendo la definición.
Respuesta: Verdadero
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La condición $f(-x)=-f(x)$ es equivalente a:
Sumando f(x) a ambos lados de f(-x)=-f(x) se obtiene f(-x)+f(x)=0.
Respuesta: A) $f(-x)+f(x)=0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$f(x)=x^3$ es una función impar.
f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina si $f(x)=4x^3-x$ es impar.
f(-x)=4(-x)^3-(-x)=-4x^3+x=-(4x^3-x)=-f(x).
Respuesta: A) Sí, porque f(-x)=-4x^3+x=-f(x)
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Determina si $g(x)=x^3+2$ es impar.
g(-x)=(-x)^3+2=-x^3+2, mientras que -g(x)=-(x^3+2)=-x^3-2; no coinciden.
Respuesta: A) No, porque -g(x)=-x^3-2 no coincide con g(-x)=-x^3+2
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$h(x)=3x^5-2x$ es una función impar.
h(-x)=-3x^5+2x=-(3x^5-2x)=-h(x), pues todos los exponentes son impares.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $f$ es impar y $f(2)=5$, ¿cuál es el valor de $f(-2)$?
Por definición de función impar, f(-2)=-f(2)=-5.
Respuesta: A) $-5$
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Si $0$ pertenece al dominio de una función impar $f$, entonces necesariamente $f(0)=0$.
De f(-0)=-f(0) se sigue f(0)=-f(0), lo que obliga a f(0)=0.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de las siguientes funciones es impar?
f(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x); las demás no cumplen la condición.
Respuesta: A) $f(x)=x^3-x$