Representación mediante diagrama sagital
Resumen inicial
Representar una función mediante un diagrama sagital consiste en ilustrar mediante flechas las asignaciones entre dos diagramas de Venn.
Explicación en palabras simples
Un diagrama sagital (o diagrama de flechas) es una forma muy visual de entender una función:
- Dibujas dos óvalos: el de la izquierda es el conjunto de partida $A$ y el de la derecha es el conjunto de llegada $B$.
- Trazas flechas que van desde los elementos de $A$ hacia sus imágenes en $B$.
Regla de oro visual: De CADA elemento del óvalo izquierdo debe salir EXACTAMENTE UNA flecha.
Explicación formal
Un diagrama sagital es un grafo bipartito dirigido que representa la relación $f \subseteq A \times B$:
$$\forall x \in A, \ \text{deg}^{+}(x) = 1$$
Donde $\text{deg}^{+}(x)$ representa el grado de salida (número de flechas emitidas por el nodo $x$).
Propiedades visuales:
- Existencia: Ningún elemento de $A$ puede quedar sin flecha de salida.
- Unicidad: Ningún elemento de $A$ puede emitir 2 o más flechas.
- Codominio vs Recorrido: El óvalo $B$ completo es el codominio; los elementos de $B$ que reciben flechas forman el recorrido.
La alternativa correcta es 'La relación no es una función porque viola la unicidad de imagen.'. Cada preimagen debe tener una sola flecha de salida.
Definiciones clave
- Diagrama sagital: Representación esquemática con flechas dirigida entre dos conjuntos.
- Grado de salida: Cantidad de flechas que parten desde un elemento del conjunto inicial.
Propiedades y relaciones importantes
- Inyectividad visual: Cada elemento de llegada recibe a lo más una flecha.
- Sobreyectividad visual: Todos los elementos de llegada reciben al menos una flecha.
Ejemplo guiado
En un diagrama sagital de $A = \{1, 2, 3\}$ en $B = \{a, b, c, d\}$, las flechas son: $1 \to a$, $2 \to b$, $3 \to b$. Determina si es función, y escribe su dominio, codominio y recorrido.
- Paso 1: Comprobar el conjunto de partida $A$: de $1, 2, 3$ sale exactamente una flecha por cada uno. SÍ es función.
- Paso 2: Dominio: $\text{Dom}(f) = A = \{1, 2, 3\}$.
- Paso 3: Codominio: $\text{Codom}(f) = B = \{a, b, c, d\}$.
- Paso 4: Recorrido (solo los que reciben flecha): $\text{Rec}(f) = \{a, b\}$.
La alternativa correcta es 'Exclusivamente los elementos que reciben al menos una flecha.'.
Procedimiento
- Paso 1: Dibujar los óvalos del conjunto de partida $A$ y del conjunto de llegada $B$.
- Paso 2: Ubicar los elementos correspondientes en cada óvalo.
- Paso 3: Trazar las flechas desde cada preimagen hacia su respectiva imagen.
- Paso 4: Verificar que cada elemento de $A$ emita una y solo una flecha hacia $B$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Creer que no es función cuando sobran elementos en el óvalo de llegada $B$ sin recibir flechas.
- Cómo corregirlo: En el óvalo de llegada $B$ pueden sobrar elementos; donde es obligatorio que todos los elementos tengan flecha única es en el conjunto de partida $A$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Cada entrada emite una sola flecha.
- Paso 2: Cumple la condición de función perfectamente.
- Paso 1: El elemento $3 \in A$ no tiene imagen.
- Paso 2: Falla la existencia en el dominio declarado.
- Paso 1: El único elemento que recibe flecha es el $20$.
- Paso 2: $\text{Rec}(f) = \{20\}$.
- Paso 1: No hay convergencia de flechas, por ende cada imagen proviene de una única preimagen.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Representar e interpretar funciones mediante diagramas sagitales de flechas.
Trazando flechas dirigidas y comprobando que cada elemento del conjunto de partida emita una sola asignación hacia el codominio.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un diagrama sagital, una correspondencia es función si:
El criterio de función en un diagrama sagital se verifica contando las flechas que salen de cada elemento del dominio.
Respuesta: B) De cada elemento del conjunto de partida sale exactamente una flecha.
-
Un elemento del conjunto de llegada puede recibir varias flechas y el diagrama seguir siendo función.
Compartir imagen entre varios elementos del dominio no afecta la definición de función.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué indica que un elemento del dominio tenga dos flechas salientes?
Dos flechas salientes de un mismo elemento violan la unicidad de imagen.
Respuesta: A) Que la correspondencia no es función.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un elemento del dominio sin ninguna flecha saliente indica que la correspondencia no es función.
Se viola la condición de existencia para ese elemento.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si todos los elementos de $A=\{1,2,3,4\}$ tienen exactamente una flecha saliente, el diagrama representa una función.
Se cumplen existencia y unicidad para todo el dominio.
Respuesta: Verdadero
-
En un diagrama sagital con $A=\{1,2,3\}$, el elemento 2 tiene dos flechas salientes. ¿Qué se concluye?
Dos flechas salientes de un mismo elemento del dominio violan la unicidad.
Respuesta: A) No representa una función.
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En un diagrama sagital, dos elementos distintos de $A$ apuntan al mismo elemento de $B$. ¿Es esto compatible con una función?
Compartir imagen es válido; lo único prohibido es que un elemento del dominio tenga más de una flecha saliente.
Respuesta: A) Sí, siempre que cada uno de esos elementos de $A$ tenga solo esa flecha.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En un diagrama sagital 'país → capital', es esperable que sea función, porque cada país tiene una única capital oficial.
Cada elemento del dominio (país) tiene exactamente una flecha saliente hacia su capital, cumpliendo la definición de función.
Respuesta: Verdadero
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En un diagrama sagital 'libro → autores', varios libros pueden tener más de un autor. ¿Por qué esta correspondencia usualmente NO es función?
Al permitir varios autores por libro, algunos elementos del dominio tendrían más de una imagen, rompiendo la condición de unicidad.
Respuesta: A) Porque un libro con varios autores tendría más de una flecha saliente, violando unicidad.
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Un diagrama sagital modela 'trabajador → departamento en que trabaja'. Si un trabajador tuviera flechas hacia dos departamentos distintos, ¿qué situación reflejaría en la organización?
Dos flechas salientes del mismo trabajador implican dos asignaciones distintas, violando la unicidad exigida para que la correspondencia sea función.
Respuesta: A) Que el trabajador está asignado simultáneamente a dos departamentos, lo cual rompería la función.