Representación mediante diagrama sagital
Interpretar y construir diagramas sagitales, verificando si representan correctamente una función.
Introducción
Un diagrama sagital dibuja los dos conjuntos como nubes de puntos, y flechas que conectan cada elemento del dominio con su imagen: literalmente, "sagital" significa "de flechas".
Explicación
Definición formal
Un diagrama sagital de una correspondencia $f$ entre conjuntos $A$ y $B$ dibuja ambos conjuntos como colecciones de puntos, y traza una flecha desde cada $x \in A$ hacia cada elemento $y \in B$ tal que $(x,y) \in f$. Es función si y solo si de cada punto de $A$ sale exactamente una flecha.
Desarrollo didáctico
El criterio visual es simple: cuenta cuántas flechas salen de cada elemento del conjunto de partida.
Si de algún elemento de $A$ no sale ninguna flecha, falla la existencia. Si de algún elemento salen dos o más flechas hacia elementos distintos de $B$, falla la unicidad. Si de cada elemento sale exactamente una flecha, el diagrama representa una función.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Observa cada elemento del conjunto de partida (dominio).
- Paso 2: Cuenta cuántas flechas salen de cada uno de esos elementos.
- Paso 3: Si algún elemento no tiene flecha saliente, o tiene más de una, el diagrama no representa función.
- Paso 4: Si cada elemento tiene exactamente una flecha saliente, es función.
Ejemplos
1 En un diagrama sagital de $A=\{1,2,3\}$ a $B=\{4,5,6\}$, cada elemento de $A$ tiene exactamente una flecha saliente. ¿Representa una función?
- Se cumple la condición de una sola flecha por elemento del dominio.
- Representa una función.
2 En un diagrama sagital de $A=\{1,2,3\}$ a $B$, el elemento 3 no tiene ninguna flecha saliente. ¿Representa una función?
- Falla la condición de existencia, pues el elemento 3 no tiene imagen asignada.
- No representa una función.
3 ¿Puede una función tener dos flechas apuntando al mismo elemento de $B$?
- Distintos elementos del dominio pueden compartir la misma imagen sin violar la definición de función.
4 ¿Puede un elemento del dominio tener dos flechas salientes en una función?
- Esto violaría directamente la condición de unicidad de imagen.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Contar flechas que llegan a un elemento de $B$ en vez de contar las que salen de $A$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir un elemento sin flecha saliente con un elemento sin flecha entrante."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que todo elemento de $B$ debe recibir al menos una flecha."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No revisar todos los elementos del dominio antes de concluir si es función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un **diagrama sagital** representa una correspondencia entre dos conjuntos mediante flechas que van desde cada elemento del conjunto de partida hacia su imagen en el conjunto de llegada.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En un diagrama sagital, una correspondencia es función si:
El criterio de función en un diagrama sagital se verifica contando las flechas que salen de cada elemento del dominio.
Respuesta: B) De cada elemento del conjunto de partida sale exactamente una flecha.
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Un elemento del conjunto de llegada puede recibir varias flechas y el diagrama seguir siendo función.
Compartir imagen entre varios elementos del dominio no afecta la definición de función.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué indica que un elemento del dominio tenga dos flechas salientes?
Dos flechas salientes de un mismo elemento violan la unicidad de imagen.
Respuesta: A) Que la correspondencia no es función.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Un elemento del dominio sin ninguna flecha saliente indica que la correspondencia no es función.
Se viola la condición de existencia para ese elemento.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si todos los elementos de $A=\{1,2,3,4\}$ tienen exactamente una flecha saliente, el diagrama representa una función.
Se cumplen existencia y unicidad para todo el dominio.
Respuesta: Verdadero
-
En un diagrama sagital con $A=\{1,2,3\}$, el elemento 2 tiene dos flechas salientes. ¿Qué se concluye?
Dos flechas salientes de un mismo elemento del dominio violan la unicidad.
Respuesta: A) No representa una función.
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En un diagrama sagital, dos elementos distintos de $A$ apuntan al mismo elemento de $B$. ¿Es esto compatible con una función?
Compartir imagen es válido; lo único prohibido es que un elemento del dominio tenga más de una flecha saliente.
Respuesta: A) Sí, siempre que cada uno de esos elementos de $A$ tenga solo esa flecha.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En un diagrama sagital 'país → capital', es esperable que sea función, porque cada país tiene una única capital oficial.
Cada elemento del dominio (país) tiene exactamente una flecha saliente hacia su capital, cumpliendo la definición de función.
Respuesta: Verdadero
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En un diagrama sagital 'libro → autores', varios libros pueden tener más de un autor. ¿Por qué esta correspondencia usualmente NO es función?
Al permitir varios autores por libro, algunos elementos del dominio tendrían más de una imagen, rompiendo la condición de unicidad.
Respuesta: A) Porque un libro con varios autores tendría más de una flecha saliente, violando unicidad.
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Un diagrama sagital modela 'trabajador → departamento en que trabaja'. Si un trabajador tuviera flechas hacia dos departamentos distintos, ¿qué situación reflejaría en la organización?
Dos flechas salientes del mismo trabajador implican dos asignaciones distintas, violando la unicidad exigida para que la correspondencia sea función.
Respuesta: A) Que el trabajador está asignado simultáneamente a dos departamentos, lo cual rompería la función.