Representación de una función mediante pares ordenados
Representar una función como un conjunto de pares ordenados y verificar que cumpla la definición de función.
Introducción
Un conjunto de pares ordenados es la forma más directa de mostrar una función: cada par $(x,y)$ dice exactamente qué entrada produce qué salida.
Explicación
Definición formal
Formalmente, una función $f: A \to B$ puede identificarse con el conjunto de pares ordenados $\{(x, f(x)) : x \in A\} \subseteq A \times B$. Esta representación es válida como función si y solo si ningún valor de $x$ se repite asociado a distintos valores de $y$.
Desarrollo didáctico
Cuando el dominio es finito, listar todos los pares ordenados es una representación completa y exacta de la función, sin necesidad de fórmula ni gráfico.
El conjunto $\{(1,3), (2,5), (3,7)\}$ representa una función: cada primer componente aparece una sola vez, con una única imagen asociada.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Lista todos los pares ordenados que definen la correspondencia.
- Paso 2: Verifica que cada valor de $x$ aparezca a lo más una vez con cada imagen.
- Paso 3: Si se cumple, el conjunto de pares representa una función válida.
Ejemplos
1 Determina si $\{(1,4), (2,4), (3,6)\}$ representa una función.
- Cada valor de x (1, 2, 3) aparece una sola vez.
- No importa que dos imágenes coincidan (4 se repite), eso no afecta la definición.
- Es una función.
2 Determina si $\{(2,5), (2,9), (3,1)\}$ representa una función.
- El valor x=2 aparece dos veces con imágenes distintas (5 y 9).
- No es una función.
3 ¿El orden en que se listan los pares ordenados afecta si representan una función?
- Lo que importa es la unicidad de imagen para cada x, no el orden de la lista.
4 ¿Dos pares ordenados con la misma segunda componente pueden coexistir en una función?
- La unicidad exige una sola imagen por cada x, pero no prohíbe compartir imágenes entre distintos x.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la repetición de una imagen (permitida) con la repetición de un valor de $x$ (prohibida)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar cuidadosamente todos los pares al buscar valores de $x$ repetidos en listas extensas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que el conjunto debe estar ordenado numéricamente para ser función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ignorar pares con componentes iguales, como $(3,3)$, pensando que no son válidos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una función puede representarse explícitamente como un **conjunto de pares ordenados** $(x, y)$, donde cada primera componente $x$ aparece asociada a un único segundo componente $y = f(x)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para que un conjunto de pares ordenados represente una función, se requiere que:
Esa es la condición de unicidad de imagen exigida a las funciones.
Respuesta: B) Ningún valor de $x$ se repita asociado a distinto $y$.
-
El conjunto $\{(1,2),(2,2),(3,2)\}$ representa una función.
Cada valor de x aparece una sola vez, aunque todas las imágenes coincidan; eso es válido.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál conjunto de pares ordenados NO representa una función?
El valor x=1 aparece dos veces con distinta imagen (2 y 4).
Respuesta: C) $\{(1,2),(1,4),(3,6)\}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El orden en que se listan los pares ordenados afecta si representan o no una función.
Lo que importa es la unicidad de imagen, no el orden de la lista.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El conjunto $\{(2,3),(4,3),(2,7)\}$ representa una función?
El valor x=2 está asociado tanto a 3 como a 7.
Respuesta: A) No, porque x=2 aparece con dos imágenes distintas.
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El conjunto $\{(-1,3),(0,1),(1,-1),(2,-3)\}$ representa una función.
Cada valor de x aparece una sola vez.
Respuesta: Verdadero
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Si el conjunto $\{(1,a),(2,5),(1,7)\}$ debe representar una función, ¿qué condición debe cumplir $a$?
Como x=1 aparece dos veces, ambas imágenes deben coincidir para no violar la unicidad; se necesita a=7.
Respuesta: A) $a = 7$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El conjunto de pares (código de producto, precio) puede representar una función aunque varios productos compartan el mismo precio.
Compartir la misma imagen (precio) entre distintos códigos no afecta la definición de función.
Respuesta: Verdadero
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Un sistema registra pares (RUT, nombre de titular). Si un mismo RUT apareciera con dos nombres distintos en el sistema, ¿qué se puede concluir?
Si la correspondencia RUT-nombre debe ser función, un mismo RUT con dos nombres distintos rompe la unicidad y señala una inconsistencia de datos.
Respuesta: A) Que hay un error en el sistema, pues viola la unicidad esperada de esa correspondencia.
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En un registro de pares (día, temperatura máxima), ¿por qué esta correspondencia debe ser una función?
El concepto físico de 'temperatura máxima del día' garantiza un único valor por día, cumpliendo la unicidad exigida.
Respuesta: A) Porque cada día tiene una única temperatura máxima registrada.