Representación de una función mediante pares ordenados

Resumen inicial

Representar una función mediante pares ordenados consiste en expresarla como un conjunto de tuplas $(x, y)$ donde cada primera componente tiene una única segunda componente.

Explicación en palabras simples

Representar una función mediante pares ordenados consiste en expresarla como un conjunto de tuplas $(x, y)$ donde cada primera componente tiene una única segunda componente

Una función puede escribirse directamente como una lista o conjunto de pares ordenados $(x, y)$.

Por ejemplo: $f = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6)\}$.
- El primer número es siempre la entrada $x$ (preimagen).
- El segundo número es siempre la salida $y$ (imagen).

Para que sea una función válida, ningún primer número puede repetirse con una salida distinta.

Explicación formal

Una función $f: A \to B$ se formaliza en teoría de conjuntos como un subconjunto del producto cartesiano $A \times B$:
$$f = \{(x, y) \in A \times B \mid y = f(x)\}$$

Condición de validez funcional:
$$(x, y_1) \in f \ \land \ (x, y_2) \in f \implies y_1 = y_2$$

$\text{Dom}(f) = \{x \in A \mid \exists y \in B, \ (x, y) \in f\}$
$\text{Rec}(f) = \{y \in B \mid \exists x \in A, \ (x, y) \in f\}$

Definiciones clave

Par ordenado $(x, y)$: Tupla matemática donde el orden importa: $x$ es la preimagen e $y$ es la imagen.
Conjunto relacional: Colección de pares que define explícitamente las asignaciones de la función.

Propiedades y relaciones importantes

Unicidad de asignación: Primeras componentes idénticas deben tener segundas componentes idénticas.
Extracción de conjuntos: Las primeras coordenadas forman el dominio y las segundas forman el recorrido.

Ejemplo guiado

Ejemplo Representar una función mediante pares ordenados consiste en expresarla como un conjunto de tuplas $(x, y)$ donde cada primera componente tiene una única segunda componente

Determina si el conjunto $S = \{(1, 5), (2, 8), (3, 8), (4, 11)\}$ representa una función. Si es así, escribe su dominio y su recorrido.

Paso 1: Revisar las primeras componentes: $1, 2, 3, 4$. Ninguna se repite con diferente salida.
Paso 2: Observar que la imagen $8$ se repita para $x = 2$ y $x = 3$ es completamente válido.
Paso 3: Concluir que $S$ SÍ es una función.
Paso 4: Dominio: $\text{Dom}(f) = \{1, 2, 3, 4\}$.
Paso 5: Recorrido: $\text{Rec}(f) = \{5, 8, 11\}$.

Procedimiento

Paso 1: Examinar la lista de pares ordenados $(x, y)$.
Paso 2: Comprobar que no existan dos pares con la misma primera componente $x$ y distinta segunda componente $y$.
Paso 3: Reunir todas las primeras componentes para escribir el dominio.
Paso 4: Reunir todas las segundas componentes sin duplicados para escribir el recorrido.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Creer que un conjunto no es función porque se repite un número en la segunda posición (ej: $(1, 4)$ y $(2, 4)$).
Cómo corregirlo: La condición de función prohíbe repetir la primera componente con distinta salida; la segunda componente sí puede repetirse.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El dominio y el recorrido se extraen de las primeras y segundas componentes del conjunto de pares respectivamente."

"Invertir el orden de las componentes en el par ordenado."

"Una función puede representarse formalmente como un conjunto de pares ordenados (x, y)."

"Duplicar elementos al listar el recorrido en notación de conjuntos."

"Descalificar funciones cuando varias preimágenes comparten la misma imagen."

Al terminar debes poder

Resumen Representar una función mediante pares ordenados consiste en expresarla como un conjunto de tuplas $(x, y)$ donde cada primera componente tiene una única segunda componente

Representar e interpretar funciones mediante conjuntos de pares ordenados.

Verificando la unicidad de las primeras componentes y extrayendo formalmente el dominio y recorrido.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para que un conjunto de pares ordenados represente una función, se requiere que:
Esa es la condición de unicidad de imagen exigida a las funciones.

Respuesta: B) Ningún valor de $x$ se repita asociado a distinto $y$.
El conjunto $\{(1,2),(2,2),(3,2)\}$ representa una función.
¿Cuál conjunto de pares ordenados NO representa una función?
El valor x=1 aparece dos veces con distinta imagen (2 y 4).

Respuesta: C) $\{(1,2),(1,4),(3,6)\}$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El orden en que se listan los pares ordenados afecta si representan o no una función.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿El conjunto $\{(2,3),(4,3),(2,7)\}$ representa una función?
El valor x=2 está asociado tanto a 3 como a 7.

Respuesta: A) No, porque x=2 aparece con dos imágenes distintas.
El conjunto $\{(-1,3),(0,1),(1,-1),(2,-3)\}$ representa una función.
Si el conjunto $\{(1,a),(2,5),(1,7)\}$ debe representar una función, ¿qué condición debe cumplir $a$?
Como x=1 aparece dos veces, ambas imágenes deben coincidir para no violar la unicidad; se necesita a=7.

Respuesta: A) $a = 7$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El conjunto de pares (código de producto, precio) puede representar una función aunque varios productos compartan el mismo precio.
Un sistema registra pares (RUT, nombre de titular). Si un mismo RUT apareciera con dos nombres distintos en el sistema, ¿qué se puede concluir?
Si la correspondencia RUT-nombre debe ser función, un mismo RUT con dos nombres distintos rompe la unicidad y señala una inconsistencia de datos.

Respuesta: A) Que hay un error en el sistema, pues viola la unicidad esperada de esa correspondencia.
En un registro de pares (día, temperatura máxima), ¿por qué esta correspondencia debe ser una función?
El concepto físico de 'temperatura máxima del día' garantiza un único valor por día, cumpliendo la unicidad exigida.

Respuesta: A) Porque cada día tiene una única temperatura máxima registrada.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación