Determinación del recorrido desde un gráfico
Determinar el recorrido de una función proyectando su gráfica sobre el eje vertical.
Introducción
Si el dominio es la sombra sobre el suelo, el recorrido es la sombra sobre la pared: todas las alturas que la curva efectivamente alcanza.
Explicación
Definición formal
Dado el gráfico $G_f = \{(x, f(x))\}$ de una función $f$, el recorrido corresponde a la proyección ortogonal de $G_f$ sobre el eje $y$: $\text{Rec}(f) = \{y \in \mathbb{R} : \exists\, x,\ (x,y) \in G_f\}$.
Desarrollo didáctico
Visualmente, observa las alturas mínima y máxima que alcanza la curva, prestando atención a si esos extremos se incluyen (puntos sólidos) o se excluyen (puntos abiertos), y a posibles huecos en el recorrido.
Si una parábola con vértice en $(2, -5)$ abre hacia arriba y no tiene cota superior, el recorrido es $[-5, +\infty[$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la altura mínima (más baja) alcanzada por la curva.
- Paso 2: Identifica la altura máxima (más alta) alcanzada por la curva.
- Paso 3: Verifica si esos extremos están incluidos (puntos sólidos) o excluidos (puntos abiertos).
- Paso 4: Expresa el recorrido como intervalo, considerando también posibles huecos intermedios.
Ejemplos
1 Una curva alcanza como máximo $y=6$ (incluido) y como mínimo $y=-2$ (incluido), sin interrupciones. Determina el recorrido.
- Ambos extremos están incluidos y no hay huecos intermedios.
- Recorrido: $[-2, 6]$.
2 El vértice de una parábola está en $(3, -4)$ y la parábola abre hacia arriba sin cota superior. Determina el recorrido.
- La altura mínima es $-4$, alcanzada en el vértice.
- No existe cota superior, pues la parábola crece indefinidamente.
- Recorrido: $[-4, +\infty[$.
3 ¿El recorrido se obtiene proyectando la curva sobre el eje horizontal?
- Esa proyección da el dominio; el recorrido se obtiene proyectando sobre el eje vertical.
4 ¿Un punto abierto en la altura máxima de una curva indica que esa altura pertenece al recorrido?
- Un punto abierto marca la exclusión de esa altura específica del recorrido.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Proyectar la curva sobre el eje horizontal en vez del vertical, confundiendo recorrido con dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ignorar que una curva puede tener un salto o hueco en su rango de alturas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que toda curva no acotada tiene recorrido $\mathbb{R}$ completo, sin analizar el comportamiento real."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el valor máximo o mínimo visible en el recuadro del gráfico con el verdadero extremo del recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El recorrido de una función representada gráficamente se obtiene proyectando la totalidad de la curva sobre el eje vertical ($y$), identificando todos los valores de ordenada efectivamente alcanzados.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El recorrido de una función representada gráficamente se obtiene:
El recorrido corresponde a las alturas (valores de y) efectivamente alcanzadas por la curva.
Respuesta: B) Proyectando la curva sobre el eje vertical.
-
Un punto abierto en la altura máxima de una curva indica que esa altura pertenece al recorrido.
Un punto abierto marca la exclusión de esa altura específica del recorrido.
Respuesta: Falso
-
Si una parábola tiene vértice en $(2,-3)$ y abre hacia arriba sin cota superior, ¿cuál es su recorrido?
La altura mínima es -3 (incluida, vértice), sin cota superior.
Respuesta: A) $[-3,+\infty[$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido se lee proyectando la curva sobre el eje horizontal.
Esa proyección corresponde al dominio; el recorrido se lee sobre el eje vertical.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Una curva alcanza como máximo $y=10$ (punto abierto) y mínimo $y=2$ (punto sólido), sin interrupciones. Determina el recorrido.
El mínimo 2 está incluido (sólido) y el máximo 10 está excluido (abierto).
Respuesta: A) $[2,10[$
-
Si el vértice de una parábola que abre hacia abajo está en $(0,5)$, entonces el recorrido es $]-\infty,5]$.
El vértice marca la altura máxima (5, incluida), sin cota inferior al abrir hacia abajo.
Respuesta: Verdadero
-
Una curva tiene un hueco puntual en $y=4$, alcanzando todos los demás valores entre $y=0$ y $y=8$ (ambos incluidos). Determina el recorrido.
Se excluye únicamente el valor puntual y=4 del intervalo cubierto.
Respuesta: A) $[0,8] - \{4\}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El gráfico de la altura de una pelota lanzada muestra que nunca sube de 20 metros ni baja del suelo (0 metros). ¿Cuál es el recorrido de la función altura, en este contexto?
El recorrido corresponde a todas las alturas efectivamente alcanzadas, entre el suelo y la altura máxima, ambas incluidas.
Respuesta: A) $[0,20]$
-
Si el gráfico de ganancias de una empresa nunca muestra valores negativos, se puede afirmar que el recorrido de la función ganancia está contenido en $[0,+\infty[$.
La observación gráfica de que las alturas nunca bajan de cero permite acotar el recorrido por abajo en 0.
Respuesta: Verdadero
-
Un gráfico de temperatura corporal en función del tiempo nunca baja de 35°C ni sube de 42°C durante todo el registro. ¿Qué representa el intervalo $[35,42]$ en este contexto?
El intervalo de alturas observadas en el gráfico corresponde exactamente al recorrido de la función en ese contexto.
Respuesta: A) El recorrido de la función temperatura durante el registro.