Determinación del recorrido desde un gráfico
Resumen inicial
Determinar el recorrido desde un gráfico consiste en identificar el intervalo de valores que la curva cubre a lo largo del eje vertical $Y$.
Explicación en palabras simples
Para encontrar el recorrido a partir de un gráfico:
1. Miras la curva de abajo hacia arriba sobre el eje vertical $Y$.
2. Buscas el punto más bajo que alcanza la curva (mínimo) y el punto más alto (máximo).
3. Te fijas si los extremos están incluidos (•) o excluidos (○).
El intervalo entre la altura mínima y la altura máxima sobre el eje $Y$ es el recorrido de la función.
Explicación formal
El recorrido (o rango/imagen) de una función a partir de su gráfica es la proyección ortogonal de $\text{Graf}(f)$ sobre el eje de ordenadas:
$$\text{Rec}(f) = \pi_Y(\text{Graf}(f)) = \{y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in \text{Dom}(f) \text{ tal que } (x, y) \in \text{Graf}(f)\}$$
Criterios de lectura vertical:
- Parábolas con vértice $(h, k)$:
- Si abre hacia arriba ($a > 0$): $\text{Rec}(f) = [k, +\infty[$.
- Si abre hacia abajo ($a < 0$): $\text{Rec}(f) = ]-\infty, k]$.
- Asíntotas horizontales en $y = L$: Excluyen el valor $L$ del recorrido si la curva no lo cruza.
La alternativa correcta es '[-3, 7['. Mínimo en -3 incluido y máximo en 7 excluido.
Definiciones clave
- Proyección vertical: Sombra proyectada por la curva sobre el eje $Y$.
- Extremo vertical: Valor mínimo (cota inferior) o máximo (cota superior) alcanzado por la función.
Propiedades y relaciones importantes
- Eje de ordenadas: El recorrido se mide siempre de abajo hacia arriba en $Y$.
- Vértice cuadrático: La ordenada $k$ del vértice fija el inicio o fin del recorrido.
Ejemplo guiado
La gráfica de una función cuadrática tiene su vértice en el punto $(2, -5)$ y sus ramas se abren hacia arriba indefinidamente. Determina su recorrido.
- Paso 1: Localizar el punto más bajo de la curva: el vértice en $(2, -5)$.
- Paso 2: Extraer la ordenada (altura) del punto más bajo: $y_{\text{mín}} = -5$.
- Paso 3: Dado que el vértice es un punto sólido de la curva, el $-5$ está incluido: $[-5$.
- Paso 4: Observar que las ramas crecen sin límite hacia arriba: $+\infty[$.
- Paso 5: Escribir el recorrido: $\text{Rec}(f) = [-5, +\infty[$.
La alternativa correcta es 'Todos los números reales R'. Las rectas no horizontales cubren todo el eje vertical.
Procedimiento
- Paso 1: Localizar el punto o cota más baja de la curva y leer su ordenada $y_{\text{mín}}$.
- Paso 2: Verificar si el valor mínimo está incluido (punto cerrado) o excluido.
- Paso 3: Localizar el punto o cota más alta de la curva y leer su ordenada $y_{\text{máx}}$.
- Paso 4: Revisar si existen asíntotas horizontales o franjas verticales sin gráfica para escribir el intervalo del recorrido.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Usar la coordenada $x$ del vértice (ej: $x = 2$) en vez de la coordenada $y$ (ej: $y = -5$) al definir el recorrido de una parábola.
- Cómo corregirlo: El recorrido es la altura, por lo que siempre debes tomar la segunda componente $y$ de los puntos extremos.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: El punto más alto es $y = 8$.
- Paso 2: La curva desciende hacia $-\infty$.
- Paso 3: $\text{Rec}(f) = ]-\infty, 8]$.
- Paso 1: Ordenada mínima: $y = -4$ (abierto).
- Paso 2: Ordenada máxima: $y = 5$ (cerrado).
- Paso 3: $\text{Rec}(f) = ]-4, 5]$.
- Paso 1: La gráfica solo ocupa una única altura: $-6$.
- Paso 2: $\text{Rec}(f) = \{-6\}$.
- Paso 1: El punto más bajo es el vértice con altura $y = 3$.
- Paso 2: Las ramas suben al infinito: $[3, +\infty[$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Determinar el recorrido de funciones a partir de su representación gráfica.
Proyectando la curva sobre el eje vertical Y e identificando cotas mínimas y máximas y puntos extremos incluidos o excluidos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El recorrido de una función representada gráficamente se obtiene:
El recorrido corresponde a las alturas (valores de y) efectivamente alcanzadas por la curva.
Respuesta: B) Proyectando la curva sobre el eje vertical.
-
Un punto abierto en la altura máxima de una curva indica que esa altura pertenece al recorrido.
Un punto abierto marca la exclusión de esa altura específica del recorrido.
Respuesta: Falso
-
Si una parábola tiene vértice en $(2,-3)$ y abre hacia arriba sin cota superior, ¿cuál es su recorrido?
La altura mínima es -3 (incluida, vértice), sin cota superior.
Respuesta: A) $[-3,+\infty[$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido se lee proyectando la curva sobre el eje horizontal.
Esa proyección corresponde al dominio; el recorrido se lee sobre el eje vertical.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Una curva alcanza como máximo $y=10$ (punto abierto) y mínimo $y=2$ (punto sólido), sin interrupciones. Determina el recorrido.
El mínimo 2 está incluido (sólido) y el máximo 10 está excluido (abierto).
Respuesta: A) $[2,10[$
-
Si el vértice de una parábola que abre hacia abajo está en $(0,5)$, entonces el recorrido es $]-\infty,5]$.
El vértice marca la altura máxima (5, incluida), sin cota inferior al abrir hacia abajo.
Respuesta: Verdadero
-
Una curva tiene un hueco puntual en $y=4$, alcanzando todos los demás valores entre $y=0$ y $y=8$ (ambos incluidos). Determina el recorrido.
Se excluye únicamente el valor puntual y=4 del intervalo cubierto.
Respuesta: A) $[0,8] - \{4\}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El gráfico de la altura de una pelota lanzada muestra que nunca sube de 20 metros ni baja del suelo (0 metros). ¿Cuál es el recorrido de la función altura, en este contexto?
El recorrido corresponde a todas las alturas efectivamente alcanzadas, entre el suelo y la altura máxima, ambas incluidas.
Respuesta: A) $[0,20]$
-
Si el gráfico de ganancias de una empresa nunca muestra valores negativos, se puede afirmar que el recorrido de la función ganancia está contenido en $[0,+\infty[$.
La observación gráfica de que las alturas nunca bajan de cero permite acotar el recorrido por abajo en 0.
Respuesta: Verdadero
-
Un gráfico de temperatura corporal en función del tiempo nunca baja de 35°C ni sube de 42°C durante todo el registro. ¿Qué representa el intervalo $[35,42]$ en este contexto?
El intervalo de alturas observadas en el gráfico corresponde exactamente al recorrido de la función en ese contexto.
Respuesta: A) El recorrido de la función temperatura durante el registro.