Determinación del dominio desde un gráfico
Resumen inicial
Determinar el dominio desde un gráfico consiste en identificar el intervalo de valores que la curva cubre a lo largo del eje horizontal $X$.
Explicación en palabras simples
Para encontrar el dominio a partir de un gráfico:
1. Miras la curva de izquierda a derecha sobre el eje horizontal $X$.
2. Encuentras el valor de $x$ donde empieza la gráfica y el valor donde termina.
3. Te fijas en los puntos de los extremos:
- Si tiene un punto negro o relleno (•), el corchete se cierra hacia adentro (incluido).
- Si tiene un punto blanco o hueco (○), el corchete se abre hacia afuera (excluido).
- Si tiene flechas en los extremos, significa que la función continúa hacia $-\infty$ o $+\infty$.
Explicación formal
El dominio de una función visualizada en el plano cartesiano es la proyección ortogonal de $\text{Graf}(f)$ sobre el eje de abscisas:
$$\text{Dom}(f) = \pi_X(\text{Graf}(f)) = \{x \in \mathbb{R} \mid \exists y \in \mathbb{R} \text{ tal que } (x, y) \in \text{Graf}(f)\}$$
Reglas de lectura de intervalos:
- Extremo cerrado: $\bullet \implies x \in [a, \dots$
- Extremo abierto: $\circ \implies x \in ]a, \dots$
- Asíntota vertical en $x = c$: La proyección se interrumpe en $c$, escribiéndose $\mathbb{R} \setminus \{c\}$ o $]-\infty, c[ \cup ]c, +\infty[$.
La alternativa correcta es 'Todos los números reales R'. Las flechas indican extensión infinita en ambas direcciones.
Definiciones clave
- Proyección horizontal: Sombra proyectada por la curva sobre el eje $X$.
- Extremo acotado: Límite visual de la gráfica definido por puntos incluidos o excluidos.
Propiedades y relaciones importantes
- Continuidad vs Discontinuidad: Saltos o huecos en la curva reducen el dominio.
- Independencia de la altura: La forma vertical de la curva no altera la lectura horizontal del dominio.
Ejemplo guiado
Una función está graficada en el plano comenzando en el punto $(-4, -2)$ con círculo cerrado (•) y terminando en el punto $(5, 6)$ con círculo abierto (○), sin cortes intermedios. Determina su dominio.
- Paso 1: Identificar el extremo izquierdo sobre el eje X: $x = -4$.
- Paso 2: Identificar el tipo de punto en $x = -4$: círculo cerrado (•) $\implies$ corchete cerrado $[-4$.
- Paso 3: Identificar el extremo derecho sobre el eje X: $x = 5$.
- Paso 4: Identificar el tipo de punto en $x = 5$: círculo abierto (○) $\implies$ corchete abierto $5[$.
- Paso 5: Escribir el intervalo del dominio: $\text{Dom}(f) = [-4, 5[$.
La alternativa correcta es ']-2, 4]'. Círculo abierto en -2 (excluido) y cerrado en 4 (incluido).
Procedimiento
- Paso 1: Localizar el extremo izquierdo de la gráfica y leer su abscisa $x_1$.
- Paso 2: Determinar si $x_1$ está incluido (círculo cerrado) o excluido (círculo abierto).
- Paso 3: Localizar el extremo derecho de la gráfica y leer su abscisa $x_2$, verificando su inclusión.
- Paso 4: Revisar si existen cortes, huecos o asíntotas verticales intermedias para excluirlos del intervalo final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Leer las coordenadas del eje $Y$ al buscar el dominio.
- Cómo corregirlo: El dominio se lee exclusivamente sobre el eje horizontal $X$. El eje $Y$ se reserva para el recorrido.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Extremo izquierdo en $x = -3$ cerrado.
- Paso 2: Extremo derecho en $x = 2$ cerrado.
- Paso 3: $\text{Dom}(f) = [-3, 2]$.
- Paso 1: La curva existe para todo número real excepto en la asíntota $x = 1$.
- Paso 2: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- Paso 1: Comienza en $x = 0$ incluido y se extiende a la derecha: $[0, +\infty[$.
- Paso 1: El intervalo $[-5, 5]$ se interrumpe en la abscisa del hueco: $x = 2$.
- Paso 2: $\text{Dom}(f) = [-5, 5] \setminus \{2\}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Determinar el dominio de funciones a partir de su representación gráfica.
Proyectando la curva sobre el eje horizontal X e identificando extremos acotados, puntos abiertos y asíntotas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El dominio de una función representada gráficamente se obtiene:
El dominio corresponde a los valores de x efectivamente cubiertos por la curva.
Respuesta: B) Proyectando la curva sobre el eje horizontal.
-
Un punto abierto en el extremo de una curva indica que ese valor pertenece al dominio.
Un punto abierto marca la exclusión de ese valor del dominio.
Respuesta: Falso
-
¿Qué representa un punto sólido en el extremo de una curva?
Un punto sólido indica que el valor correspondiente sí pertenece al dominio de la función.
Respuesta: B) Que ese valor está incluido en el dominio.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El dominio se lee proyectando la curva sobre el eje vertical.
Esa proyección corresponde al recorrido; el dominio se lee sobre el eje horizontal.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Una curva cubre $x$ desde $-5$ (punto sólido) hasta $5$ (punto sólido), sin interrupciones. ¿Cuál es su dominio?
Ambos extremos incluidos por ser puntos sólidos.
Respuesta: A) $[-5,5]$
-
Si una curva tiene un punto abierto en $x=3$ dentro de su tramo continuo, ese valor debe excluirse del dominio.
El punto abierto indica exclusión explícita de ese valor.
Respuesta: Verdadero
-
Una curva empieza en $x=-2$ con punto abierto y termina en $x=6$ con punto sólido, sin interrupciones. Determina el dominio.
El extremo -2 se excluye (abierto) y el extremo 6 se incluye (sólido).
Respuesta: A) $]-2,6]$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El gráfico de ventas de una tienda muestra datos solo entre enero y diciembre de un año. ¿Qué representa esto respecto al dominio de la función ventas(mes)?
El dominio de la función corresponde a los valores de entrada (meses) para los cuales existen datos graficados.
Respuesta: A) Que el dominio está limitado a los 12 meses del año registrado.
-
Si el gráfico de una función tiene una interrupción visible en $x=0$, ese valor debe excluirse del dominio determinado a partir del gráfico.
Una interrupción en la curva señala que ese valor específico no forma parte del dominio efectivo mostrado.
Respuesta: Verdadero
-
Un gráfico de altura de un avión durante un vuelo muestra la curva comenzando en $t=0$ (despegue, punto sólido) y terminando en $t=120$ minutos (aterrizaje, punto sólido). ¿Cuál es el dominio en este contexto?
El vuelo transcurre entre el despegue y el aterrizaje, ambos incluidos como instantes reales del vuelo (puntos sólidos).
Respuesta: A) $[0,120]$ minutos.