Determinación del dominio desde un gráfico
Determinar el dominio de una función proyectando su gráfica sobre el eje horizontal.
Introducción
La sombra que proyecta una curva sobre el suelo (el eje $x$) te dice exactamente qué valores de entrada tiene permitidos la función.
Explicación
Definición formal
Dado el gráfico $G_f = \{(x, f(x))\}$ de una función $f$, el dominio corresponde a la proyección ortogonal de $G_f$ sobre el eje $x$: $\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} : \exists\, y,\ (x,y) \in G_f\}$.
Desarrollo didáctico
Visualmente, recorre la curva de izquierda a derecha y observa el rango de valores de $x$ que efectivamente cubre, prestando atención a extremos abiertos (huecos) o cerrados (puntos sólidos), y a posibles interrupciones.
Si la curva comienza en $x=-3$ con un punto sólido y termina en $x=5$ con un punto abierto, el dominio es $[-3, 5[$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Observa el extremo izquierdo de la curva y determina si está incluido (punto sólido) o excluido (punto abierto).
- Paso 2: Observa el extremo derecho de la curva con el mismo criterio.
- Paso 3: Revisa si existen interrupciones o huecos en el medio de la curva.
- Paso 4: Expresa el dominio como intervalo o unión de intervalos, según corresponda.
Ejemplos
1 Una curva comienza en $(-4, 2)$ con punto sólido y termina en $(6, -1)$ con punto sólido, sin interrupciones. Determina el dominio.
- Ambos extremos están incluidos.
- Dominio: $[-4, 6]$.
2 Una curva cubre $x$ desde $-2$ hasta $8$, pero tiene un punto abierto en $x=3$. Determina el dominio.
- Se excluye únicamente el valor $x=3$ del intervalo cubierto.
- Dominio: $[-2, 8] - \{3\}$.
3 ¿Un punto abierto en el extremo de una curva indica que ese valor pertenece al dominio?
- Un punto abierto marca la exclusión explícita de ese valor del dominio.
4 ¿El dominio se obtiene proyectando la curva sobre el eje vertical?
- El dominio se obtiene proyectando sobre el eje horizontal; la proyección vertical entrega el recorrido.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Proyectar la curva sobre el eje vertical en vez del horizontal, confundiendo dominio con recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ignorar puntos abiertos o huecos, incluyendo valores excluidos en el dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No revisar interrupciones intermedias de la curva, asumiendo un intervalo continuo sin verificarlo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el extremo del gráfico dibujado con el verdadero límite del dominio, cuando la curva continúa fuera del recuadro visible."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El dominio de una función representada gráficamente se obtiene proyectando la totalidad de la curva sobre el eje horizontal ($x$), identificando todos los valores de abscisa efectivamente cubiertos por la gráfica.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El dominio de una función representada gráficamente se obtiene:
El dominio corresponde a los valores de x efectivamente cubiertos por la curva.
Respuesta: B) Proyectando la curva sobre el eje horizontal.
-
Un punto abierto en el extremo de una curva indica que ese valor pertenece al dominio.
Un punto abierto marca la exclusión de ese valor del dominio.
Respuesta: Falso
-
¿Qué representa un punto sólido en el extremo de una curva?
Un punto sólido indica que el valor correspondiente sí pertenece al dominio de la función.
Respuesta: B) Que ese valor está incluido en el dominio.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El dominio se lee proyectando la curva sobre el eje vertical.
Esa proyección corresponde al recorrido; el dominio se lee sobre el eje horizontal.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Una curva cubre $x$ desde $-5$ (punto sólido) hasta $5$ (punto sólido), sin interrupciones. ¿Cuál es su dominio?
Ambos extremos incluidos por ser puntos sólidos.
Respuesta: A) $[-5,5]$
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Si una curva tiene un punto abierto en $x=3$ dentro de su tramo continuo, ese valor debe excluirse del dominio.
El punto abierto indica exclusión explícita de ese valor.
Respuesta: Verdadero
-
Una curva empieza en $x=-2$ con punto abierto y termina en $x=6$ con punto sólido, sin interrupciones. Determina el dominio.
El extremo -2 se excluye (abierto) y el extremo 6 se incluye (sólido).
Respuesta: A) $]-2,6]$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El gráfico de ventas de una tienda muestra datos solo entre enero y diciembre de un año. ¿Qué representa esto respecto al dominio de la función ventas(mes)?
El dominio de la función corresponde a los valores de entrada (meses) para los cuales existen datos graficados.
Respuesta: A) Que el dominio está limitado a los 12 meses del año registrado.
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Si el gráfico de una función tiene una interrupción visible en $x=0$, ese valor debe excluirse del dominio determinado a partir del gráfico.
Una interrupción en la curva señala que ese valor específico no forma parte del dominio efectivo mostrado.
Respuesta: Verdadero
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Un gráfico de altura de un avión durante un vuelo muestra la curva comenzando en $t=0$ (despegue, punto sólido) y terminando en $t=120$ minutos (aterrizaje, punto sólido). ¿Cuál es el dominio en este contexto?
El vuelo transcurre entre el despegue y el aterrizaje, ambos incluidos como instantes reales del vuelo (puntos sólidos).
Respuesta: A) $[0,120]$ minutos.