Aplicación del criterio de la línea vertical para identificar funciones

Resumen inicial

El criterio de la línea vertical permite determinar visualmente si una gráfica en el plano representa una función de $x$.

Explicación en palabras simples

El criterio de la línea vertical permite determinar visualmente si una gráfica en el plano representa una función de $x$

El criterio de la línea vertical es la prueba visual más rápida para saber si un dibujo es una función:

Imagina que pasas una regla vertical de izquierda a derecha por todo el gráfico:
- Si la regla corta a la curva en como máximo UN punto en cualquier posición, SÍ es una función.
- Si en algún lugar la regla corta a la curva en DOS O MÁS puntos al mismo tiempo, NO es una función.

Explicación formal

Una curva $\mathcal{C} \subset \mathbb{R}^2$ es la gráfica de una función $y = f(x)$ si y solo si cumple el criterio de la recta vertical:
$$\forall x_0 \in \mathbb{R}, \ \big| \{(x_0, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x_0, y) \in \mathcal{C}\} \big| \le 1$$

Fundamento matemático:
Si una recta vertical $x = x_0$ intersecta a la curva en dos puntos distintos $(x_0, y_1)$ y $(x_0, y_2)$ con $y_1 \neq y_2$, entonces a la preimagen $x_0$ le corresponderían dos imágenes distintas, violando el principio de asignación única.

Definiciones clave

Criterio de la línea vertical: Método geométrico para verificar la unicidad de imagen en gráficas cartesianas.
Intersección múltiple: Falla geométrica donde una recta vertical corta en dos o más ordenadas.

Propiedades y relaciones importantes

Curvas cerradas: Circunferencias, elipses y lazos nunca son funciones de $x$ porque las rectas verticales cortan en 2 puntos.
Funciones por tramos: En saltos verticales, un extremo debe ser abierto ($\circ$) y el otro cerrado ($\bullet$) para preservar la unicidad.

Ejemplo guiado

Ejemplo El criterio de la línea vertical permite determinar visualmente si una gráfica en el plano representa una función de $x$

Aplica el criterio de la recta vertical para determinar si las siguientes figuras en el plano son funciones de $x$:
1) Una circunferencia $x^2 + y^2 = 16$.
2) Una parábola vertical $y = x^2 - 4x + 3$.

Paso 1: Analizar la circunferencia: Al trazar la recta vertical $x = 0$, corta en $(0, 4)$ y $(0, -4)$ (2 puntos). Por tanto, la circunferencia NO es una función de $x$.
Paso 2: Analizar la parábola vertical: Cualquier recta vertical $x = c$ corta a la parábola en exactamente un punto $(c, c^2 - 4c + 3)$.
Paso 3: Concluir que la parábola vertical SÍ es una función de $x$.

Procedimiento

Paso 1: Observar la gráfica cartesiana propuesta.
Paso 2: Trazar mental o físicamente líneas verticales a lo largo de todo el eje horizontal.
Paso 3: Contar el número de intersecciones con la curva en cada posición.
Paso 4: Si en alguna posición hay 2 o más cortes, declarar que NO es función; si en todas hay 0 o 1 corte, confirmar que ES función.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Confundir la prueba de la recta vertical con la de la recta horizontal.
Cómo corregirlo: La recta vertical comprueba si la gráfica es una función. La recta horizontal comprueba si la función es inyectiva (uno a uno).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No inspeccionar los puntos extremos en discontinuidades por tramos."

"Una curva cartesiana representa una función si ninguna recta vertical la intersecta en más de un punto."

"Confundir que la curva corte muchas veces al eje X con que no sea función."

"Aplicar rectas horizontales para evaluar si es función."

"El criterio de la línea vertical es la traducción geométrica del principio de unicidad de imagen."

Al terminar debes poder

Resumen El criterio de la línea vertical permite determinar visualmente si una gráfica en el plano representa una función de $x$

Aplicar el criterio de la línea vertical para clasificar relaciones gráficas.

Verificando que toda perpendicular al eje horizontal corte a la curva a lo más una vez para garantizar la unicidad de imagen.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El criterio de la línea vertical establece que una curva representa una función si:
Esa condición geométrica equivale a la unicidad de imagen exigida a las funciones.

Respuesta: B) Toda recta vertical la corta en a lo más un punto.
Una circunferencia completa cumple el criterio de la línea vertical.
¿A qué condición matemática equivale geométricamente el criterio de la línea vertical?
El criterio verifica que cada x tenga a lo más una imagen, equivalente a la condición de unicidad.

Respuesta: A) A la unicidad de imagen.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Una recta horizontal cumple el criterio de la línea vertical.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿La curva $y = x^2$ cumple el criterio de la línea vertical?
Para cada valor de x, x^2 produce exactamente un resultado.

Respuesta: A) Sí, porque cada $x$ tiene una única imagen.
La curva $x^2+y^2=25$ (circunferencia de radio 5) cumple el criterio de la línea vertical.
¿La curva definida por $y^2 = x$ (con $x \geq 0$) cumple el criterio de la línea vertical?
Para x=4, tanto y=2 como y=-2 satisfacen y^2=x, así que la recta vertical x=4 corta la curva en dos puntos.

Respuesta: A) No, salvo en $x=0$, porque cada $x>0$ tiene dos valores de $y$ asociados.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El criterio de la línea vertical puede aplicarse a un conjunto finito de puntos aislados en el plano, no solo a curvas continuas.
Al analizar el contorno de una montaña rusa (altura versus posición horizontal), en algunos tramos la vía sube, baja y vuelve a subir sobre la misma posición horizontal. ¿Qué indica esto sobre representarla como función altura(posición)?
Si la vía vuelve sobre la misma posición horizontal con distinta altura, una recta vertical en esa posición corta la curva más de una vez, violando el criterio de la línea vertical.

Respuesta: A) No se puede representar como función altura(posición), porque una misma posición horizontal tiene varias alturas.
Un gráfico de temperatura corporal versus tiempo muestra, en cierto instante, dos temperaturas registradas simultáneamente por un error del sensor. ¿Qué implica esto respecto al criterio de la línea vertical?
Dos registros distintos para el mismo instante corresponden a dos puntos con la misma abscisa, lo que una recta vertical detectaría cortando la curva dos veces.

Respuesta: A) Que la curva, en ese instante, viola el criterio, así que la relación no es función en ese punto.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación