Aplicación del criterio de la línea vertical para identificar funciones
Aplicar el criterio de la línea vertical para determinar si una curva del plano representa una función.
Introducción
Sin necesidad de fórmulas, basta imaginar rectas verticales barriendo la curva de izquierda a derecha para saber si estás frente a una función.
Explicación
Definición formal
Sea $C$ una curva en el plano cartesiano. $C$ representa la gráfica de una función si y solo si para todo $a \in \mathbb{R}$, la recta vertical $x=a$ interseca a $C$ en a lo más un punto. Esta condición es equivalente geométrica de la unicidad de imagen exigida a las funciones.
Desarrollo didáctico
Cada recta vertical $x=a$ representa "todos los puntos posibles con abscisa $a$". Si la curva tiene dos puntos con la misma abscisa, esa recta corta la curva dos veces, lo que significa que $a$ tendría dos imágenes distintas: viola la unicidad.
Una circunferencia falla el criterio (rectas verticales cerca del centro la cortan dos veces), mientras que una recta no vertical, una parábola con eje vertical, o cualquier curva "que suba y baje sin duplicarse en x" lo cumple.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Imagina o traza rectas verticales a lo largo de todo el dominio visible de la curva.
- Paso 2: Cuenta cuántas veces cada recta vertical corta la curva.
- Paso 3: Si alguna recta corta la curva en más de un punto, la curva no representa una función.
- Paso 4: Si toda recta vertical corta la curva en a lo más un punto, la curva sí representa una función.
Ejemplos
1 Aplica el criterio de la línea vertical a la curva $x = y^2$.
- Para $x=4$, tanto $y=2$ como $y=-2$ satisfacen la ecuación.
- Una recta vertical en $x=4$ corta la curva en dos puntos.
- No representa una función.
2 Aplica el criterio de la línea vertical a la recta $y = 3x - 1$.
- Cualquier recta vertical $x=a$ corta a esta recta en exactamente un punto.
- Representa una función.
3 ¿Una recta horizontal cumple el criterio de la línea vertical?
- Cada recta vertical corta a una recta horizontal en exactamente un punto, por lo que sí representa una función (constante).
4 ¿Una recta vertical $x=k$ cumple el criterio de la línea vertical?
- La misma recta vertical $x=k$ coincide con la curva, "cortándola" en infinitos puntos; no representa una función.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar el criterio con líneas horizontales en vez de verticales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir que una curva es función revisando solo unas pocas rectas verticales, sin considerar todo el dominio."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el criterio de la línea vertical (para funciones) con el de la línea horizontal (para inyectividad)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el criterio a un conjunto de puntos aislados sin considerar que cada punto ya define su propia recta vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **criterio de la línea vertical** establece que una curva en el plano cartesiano representa una función si y solo si ninguna recta vertical la corta en más de un punto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El criterio de la línea vertical establece que una curva representa una función si:
Esa condición geométrica equivale a la unicidad de imagen exigida a las funciones.
Respuesta: B) Toda recta vertical la corta en a lo más un punto.
-
Una circunferencia completa cumple el criterio de la línea vertical.
Existen rectas verticales que la cortan en dos puntos, violando el criterio.
Respuesta: Falso
-
¿A qué condición matemática equivale geométricamente el criterio de la línea vertical?
El criterio verifica que cada x tenga a lo más una imagen, equivalente a la condición de unicidad.
Respuesta: A) A la unicidad de imagen.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Una recta horizontal cumple el criterio de la línea vertical.
Toda recta vertical corta a una recta horizontal en exactamente un punto.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿La curva $y = x^2$ cumple el criterio de la línea vertical?
Para cada valor de x, x^2 produce exactamente un resultado.
Respuesta: A) Sí, porque cada $x$ tiene una única imagen.
-
La curva $x^2+y^2=25$ (circunferencia de radio 5) cumple el criterio de la línea vertical.
Para valores de x entre -5 y 5, existen dos valores de y (positivo y negativo) que satisfacen la ecuación.
Respuesta: Falso
-
¿La curva definida por $y^2 = x$ (con $x \geq 0$) cumple el criterio de la línea vertical?
Para x=4, tanto y=2 como y=-2 satisfacen y^2=x, así que la recta vertical x=4 corta la curva en dos puntos.
Respuesta: A) No, salvo en $x=0$, porque cada $x>0$ tiene dos valores de $y$ asociados.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El criterio de la línea vertical puede aplicarse a un conjunto finito de puntos aislados en el plano, no solo a curvas continuas.
El criterio se basa en contar cuántos puntos comparten la misma abscisa, lo cual aplica igual a puntos aislados que a curvas continuas.
Respuesta: Verdadero
-
Al analizar el contorno de una montaña rusa (altura versus posición horizontal), en algunos tramos la vía sube, baja y vuelve a subir sobre la misma posición horizontal. ¿Qué indica esto sobre representarla como función altura(posición)?
Si la vía vuelve sobre la misma posición horizontal con distinta altura, una recta vertical en esa posición corta la curva más de una vez, violando el criterio de la línea vertical.
Respuesta: A) No se puede representar como función altura(posición), porque una misma posición horizontal tiene varias alturas.
-
Un gráfico de temperatura corporal versus tiempo muestra, en cierto instante, dos temperaturas registradas simultáneamente por un error del sensor. ¿Qué implica esto respecto al criterio de la línea vertical?
Dos registros distintos para el mismo instante corresponden a dos puntos con la misma abscisa, lo que una recta vertical detectaría cortando la curva dos veces.
Respuesta: A) Que la curva, en ese instante, viola el criterio, así que la relación no es función en ese punto.