Modelamiento de una situación de proporcionalidad directa mediante función lineal

Resumen inicial

Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial.

Explicación en palabras simples

Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial

Cuando pagas o consumes algo donde no hay cargos fijos (si compras cero, pagas cero):
- El costo total es simplemente el precio de cada unidad multiplicado por cuántas compraste: $C(x) = p \cdot x$.
- Si compras el doble, pagas el doble.

Esta situación se modela con una función lineal $f(x) = mx$, cuya gráfica pasa exactamente por el origen $(0, 0)$.

Explicación formal

Una situación contextual de proporcionalidad directa entre una variable independiente $x$ y una dependiente $y$ se formula matemáticamente mediante:
$$y = f(x) = mx, \quad m > 0 \quad (\text{o } m \in \mathbb{R} \setminus \{0\})$$

Condiciones del modelo lineal contextual:
- Origen forzado: $f(0) = 0$ (a consumo nulo corresponde costo/efecto nulo).
- Pendiente como precio/rendimiento unitario: $m = \frac{y}{x} = \text{constante}$.
- Restricción de dominio físico: Habitualmente $\text{Dom}(f) = [0, +\infty[$ o $\mathbb{N}_0$ según la naturaleza de la magnitud.

Definiciones clave

Modelo lineal contextual: Ecuación $f(x) = mx$ que describe fenómenos de proporcionalidad sin valores residuales.
Precio unitario / Rendimiento: Coeficiente multiplicador $m$ que determina la razón de escala.

Propiedades y relaciones importantes

Escalabilidad directa: Multiplicar la entrada por un factor $c$ multiplica la salida por el mismo factor $c$ ($f(cx) = c f(x)$).
Ausencia de intercepto: $n = 0$, diferenciándose de los modelos afines con cargo fijo.

Ejemplo guiado

Ejemplo Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial

En una feria libre, el kilogramo de frutillas cuesta $\$2.400$. Si no hay cobro de entrada ni bolsas, escribe la función del costo $C(x)$ para $x\text{ kg}$ y calcula el precio a pagar por $3.5\text{ kg}$.

Paso 1: Identificar las variables: $x = \text{kilogramos de frutillas}$, $C(x) = \text{costo total en pesos}$.
Paso 2: Identificar la tasa unitaria: $m = \$2.400/\text{kg}$.
Paso 3: Verificar que para $x = 0$ el costo es $C(0) = 0$ (modelo lineal sin cargo fijo).
Paso 4: Escribir la función lineal: $C(x) = 2.400x$.
Paso 5: Evaluar en $x = 3.5$: $C(3.5) = 2.400 \cdot 3.5 = \$8.400$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la variable independiente $x$ y la variable dependiente $y$.
Paso 2: Calcular el valor o precio unitario $m = \frac{y}{x}$.
Paso 3: Formular la función lineal $f(x) = mx$.
Paso 4: Definir el dominio contextual admisible (generalmente $x \ge 0$).
Paso 5: Evaluar o predecir resultados sustituyendo valores en la fórmula.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Agregar un término sumando cuando el problema no indica ningún costo base o inicial.
Cómo corregirlo: Si no hay cobro de base o condición inicial preexistente, el modelo debe ser estrictamente lineal ($n = 0$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Invertir la constante de proporcionalidad."

"En un modelo lineal de proporcionalidad directa, a entrada nula corresponde salida nula."

"Evaluar con unidades no compatibles (ej: mezclar minutos con horas)."

"Una relación de proporcionalidad directa pura se modela mediante la función lineal f(x) = mx con n = 0."

"Sumar una constante arbitraria no mencionada en el enunciado."

Al terminar debes poder

Resumen Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial

Modelar y resolver problemas contextuales de proporcionalidad directa mediante funciones lineales.

Determinando la tasa unitaria m = y/x y construyendo la regla algebraica f(x) = mx para realizar cálculos directos e inversos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Un modelo lineal cumple que cero unidades producen cero resultado.
Un modelo lineal $f(x)=mx$ es adecuado cuando:
Sin valor inicial, cero entradas producen cero salidas, característica del modelo lineal.

Respuesta: A) No hay cargo o valor inicial.
¿Cuál situación se modela con función lineal pura?
Sin sueldo base, cero piezas producen cero pago, cumpliendo el modelo lineal.

Respuesta: A) Pago a destajo sin sueldo base.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Un modelo con sueldo base fijo se representa con función lineal pura.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si el kilo de tomates cuesta \$900 sin cargo adicional, modela el costo $C$ según los kilos $x$.
Sin cargo fijo, el modelo es puramente proporcional.

Respuesta: A) $C(x)=900x$
Si un trabajador gana \$3000 por pieza sin sueldo base, y fabrica 5 piezas, gana \$15000.
Un chofer de Uber gana exactamente \$600 por km, sin tarifa base. Si un viaje pagó \$4800, ¿cuántos km recorrió?
4800=600x, x=8.

Respuesta: A) $8$ km

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Una fábrica paga \$1200 por cada unidad ensamblada, sin pago base. ¿Cuál función modela el pago $P$ según las unidades $x$ ensambladas?
Sin pago base, el modelo es lineal puro.

Respuesta: A) $P(x)=1200x$
Si un modelo de costo tiene $C(0)=0$, es consistente con un modelo lineal puro.
Una tienda vende tela a \$2500 el metro, sin cargo mínimo de compra. Si un cliente pagó \$17500, ¿cuántos metros compró?
17500=2500x, x=7.

Respuesta: A) $7$ metros

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación