Modelamiento de una situación de proporcionalidad directa mediante función lineal

Resumen inicial

Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial.

Explicación en palabras simples

Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial

Cuando pagas o consumes algo donde no hay cargos fijos (si compras cero, pagas cero):
- El costo total es simplemente el precio de cada unidad multiplicado por cuántas compraste: $C(x) = p \cdot x$.
- Si compras el doble, pagas el doble.

Esta situación se modela con una función lineal $f(x) = mx$, cuya gráfica pasa exactamente por el origen $(0, 0)$.

Explicación formal

Una situación contextual de proporcionalidad directa entre una variable independiente $x$ y una dependiente $y$ se formula matemáticamente mediante:
$$y = f(x) = mx, \quad m > 0 \quad (\text{o } m \in \mathbb{R} \setminus \{0\})$$

Condiciones del modelo lineal contextual:
- Origen forzado: $f(0) = 0$ (a consumo nulo corresponde costo/efecto nulo).
- Pendiente como precio/rendimiento unitario: $m = \frac{y}{x} = \text{constante}$.
- Restricción de dominio físico: Habitualmente $\text{Dom}(f) = [0, +\infty[$ o $\mathbb{N}_0$ según la naturaleza de la magnitud.

Definiciones clave

Modelo lineal contextual: Ecuación $f(x) = mx$ que describe fenómenos de proporcionalidad sin valores residuales.
Precio unitario / Rendimiento: Coeficiente multiplicador $m$ que determina la razón de escala.

Propiedades y relaciones importantes

Escalabilidad directa: Multiplicar la entrada por un factor $c$ multiplica la salida por el mismo factor $c$ ($f(cx) = c f(x)$).
Ausencia de intercepto: $n = 0$, diferenciándose de los modelos afines con cargo fijo.

Ejemplo guiado

Ejemplo Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial

En una feria libre, el kilogramo de frutillas cuesta $\$2.400$. Si no hay cobro de entrada ni bolsas, escribe la función del costo $C(x)$ para $x\text{ kg}$ y calcula el precio a pagar por $3.5\text{ kg}$.

Paso 1: Identificar las variables: $x = \text{kilogramos de frutillas}$, $C(x) = \text{costo total en pesos}$.
Paso 2: Identificar la tasa unitaria: $m = \$2.400/\text{kg}$.
Paso 3: Verificar que para $x = 0$ el costo es $C(0) = 0$ (modelo lineal sin cargo fijo).
Paso 4: Escribir la función lineal: $C(x) = 2.400x$.
Paso 5: Evaluar en $x = 3.5$: $C(3.5) = 2.400 \cdot 3.5 = \$8.400$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la variable independiente $x$ y la variable dependiente $y$.
Paso 2: Calcular el valor o precio unitario $m = \frac{y}{x}$.
Paso 3: Formular la función lineal $f(x) = mx$.
Paso 4: Definir el dominio contextual admisible (generalmente $x \ge 0$).
Paso 5: Evaluar o predecir resultados sustituyendo valores en la fórmula.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Agregar un término sumando cuando el problema no indica ningún costo base o inicial.
Cómo corregirlo: Si no hay cobro de base o condición inicial preexistente, el modelo debe ser estrictamente lineal ($n = 0$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Sumar una constante arbitraria no mencionada en el enunciado."

"En un modelo lineal de proporcionalidad directa, a entrada nula corresponde salida nula."

"Evaluar con unidades no compatibles (ej: mezclar minutos con horas)."

"Una relación de proporcionalidad directa pura se modela mediante la función lineal f(x) = mx con n = 0."

"Invertir la constante de proporcionalidad."

Al terminar debes poder

Resumen Modelar una situación de proporcionalidad directa mediante una función lineal consiste en expresar la magnitud total como $f(x) = mx$ sin costo o valor base inicial

Modelar y resolver problemas contextuales de proporcionalidad directa mediante funciones lineales.

Determinando la tasa unitaria m = y/x y construyendo la regla algebraica f(x) = mx para realizar cálculos directos e inversos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Un modelo lineal cumple que cero unidades producen cero resultado.
Un modelo lineal $f(x)=mx$ es adecuado cuando:
Sin valor inicial, cero entradas producen cero salidas, característica del modelo lineal.

Respuesta: A) No hay cargo o valor inicial.
¿Cuál situación se modela con función lineal pura?
Sin sueldo base, cero piezas producen cero pago, cumpliendo el modelo lineal.

Respuesta: A) Pago a destajo sin sueldo base.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Un modelo con sueldo base fijo se representa con función lineal pura.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si el kilo de tomates cuesta \$900 sin cargo adicional, modela el costo $C$ según los kilos $x$.
Sin cargo fijo, el modelo es puramente proporcional.

Respuesta: A) $C(x)=900x$
Si un trabajador gana \$3000 por pieza sin sueldo base, y fabrica 5 piezas, gana \$15000.
Un chofer de Uber gana exactamente \$600 por km, sin tarifa base. Si un viaje pagó \$4800, ¿cuántos km recorrió?
4800=600x, x=8.

Respuesta: A) $8$ km

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Una fábrica paga \$1200 por cada unidad ensamblada, sin pago base. ¿Cuál función modela el pago $P$ según las unidades $x$ ensambladas?
Sin pago base, el modelo es lineal puro.

Respuesta: A) $P(x)=1200x$
Si un modelo de costo tiene $C(0)=0$, es consistente con un modelo lineal puro.
Una tienda vende tela a \$2500 el metro, sin cargo mínimo de compra. Si un cliente pagó \$17500, ¿cuántos metros compró?
17500=2500x, x=7.

Respuesta: A) $7$ metros

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación