Modelamiento de una situación de proporcionalidad directa mediante función lineal
Construir el modelo de función lineal para situaciones de proporcionalidad directa sin cargo inicial.
Introducción
Cuando no hay ningún costo o valor de partida, y todo depende exactamente de la cantidad, el modelo correcto es la función lineal más simple.
Explicación
Definición formal
Si una situación cumple $y=0$ cuando $x=0$ (sin valor de partida) y la razón $y/x$ es constante, el modelo correcto es $f(x)=mx$, donde $m$ es esa razón constante (la tasa de cambio).
Desarrollo didáctico
El indicador clave para descartar el término independiente es que, en el contexto, "cero entradas" debe producir "cero salidas".
Si el pago por trabajo a destajo es \$2000 por cada pieza fabricada, sin sueldo base, el modelo es $P(x)=2000x$: fabricar cero piezas produce pago cero.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que no exista un valor o costo inicial en el contexto (cero entradas produce cero salidas).
- Paso 2: Identifica la tasa de cambio constante del contexto.
- Paso 3: Construye el modelo $f(x)=mx$ usando esa tasa como pendiente.
Ejemplos
1 Un trabajador gana \$1500 por cada pieza fabricada, sin sueldo base. Modela su pago $P$ en función de las piezas $x$.
- No hay sueldo base, así que cero piezas producen cero pago.
- $P(x) = 1500x$.
2 El kilo de naranjas cuesta \$800, sin cargo adicional. Modela el costo $C$ según los kilos $x$ comprados.
- No hay cargo fijo por comprar.
- $C(x) = 800x$.
3 ¿Un modelo con sueldo base fijo se representa con función lineal pura?
- Un sueldo base introduce un término independiente, transformando el modelo en afín, no lineal.
4 ¿En un modelo lineal, cero unidades siempre producen cero resultado?
- Esa es la característica definitoria de la función lineal, $f(0)=0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Agregar un término independiente cuando el contexto no lo justifica."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar la condición "cero entradas, cero salidas" antes de elegir el modelo lineal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la tasa de cambio con un valor inicial existente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el modelo lineal a contextos que sí tienen cargo fijo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una situación se modela con **función lineal** $f(x)=mx$ cuando no existe valor inicial ni cargo fijo, y la magnitud dependiente es directamente proporcional a la independiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Un modelo lineal cumple que cero unidades producen cero resultado.
f(0)=0 es la característica definitoria.
Respuesta: Verdadero
-
Un modelo lineal $f(x)=mx$ es adecuado cuando:
Sin valor inicial, cero entradas producen cero salidas, característica del modelo lineal.
Respuesta: A) No hay cargo o valor inicial.
-
¿Cuál situación se modela con función lineal pura?
Sin sueldo base, cero piezas producen cero pago, cumpliendo el modelo lineal.
Respuesta: A) Pago a destajo sin sueldo base.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Un modelo con sueldo base fijo se representa con función lineal pura.
Un sueldo base introduce un término independiente, requiriendo modelo afín.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si el kilo de tomates cuesta \$900 sin cargo adicional, modela el costo $C$ según los kilos $x$.
Sin cargo fijo, el modelo es puramente proporcional.
Respuesta: A) $C(x)=900x$
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Si un trabajador gana \$3000 por pieza sin sueldo base, y fabrica 5 piezas, gana \$15000.
P(5)=3000(5)=15000.
Respuesta: Verdadero
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Un chofer de Uber gana exactamente \$600 por km, sin tarifa base. Si un viaje pagó \$4800, ¿cuántos km recorrió?
4800=600x, x=8.
Respuesta: A) $8$ km
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una fábrica paga \$1200 por cada unidad ensamblada, sin pago base. ¿Cuál función modela el pago $P$ según las unidades $x$ ensambladas?
Sin pago base, el modelo es lineal puro.
Respuesta: A) $P(x)=1200x$
-
Si un modelo de costo tiene $C(0)=0$, es consistente con un modelo lineal puro.
Esa es precisamente la condición que caracteriza a la función lineal.
Respuesta: Verdadero
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Una tienda vende tela a \$2500 el metro, sin cargo mínimo de compra. Si un cliente pagó \$17500, ¿cuántos metros compró?
17500=2500x, x=7.
Respuesta: A) $7$ metros