Modelamiento de crecimiento poblacional lineal
Modelar el crecimiento o decrecimiento de una población mediante una función afín, cuando la variación es constante en el tiempo.
Introducción
Cuando una población gana o pierde exactamente el mismo número de individuos cada año, su comportamiento es tan predecible como una recta.
Explicación
Definición formal
Si una población $P(t)$ en el instante $t$ satisface $P(t) = mt + P_0$, con $P_0=P(0)$ la población inicial y $m$ la variación neta constante por período (positiva si crece, negativa si decrece), el modelo es de crecimiento poblacional lineal (a diferencia del crecimiento exponencial, donde la tasa depende del tamaño actual).
Desarrollo didáctico
Este modelo asume que la cantidad de nuevos individuos (o de individuos perdidos) por período es siempre la misma, sin importar el tamaño actual de la población.
Si una ciudad tenía 50.000 habitantes en 2020 y gana 1.200 habitantes por año: $P(t) = 1200t + 50000$, donde $t$ son los años transcurridos desde 2020.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la población inicial $P_0$ del contexto.
- Paso 2: Identifica la variación constante por período (positiva si crece, negativa si decrece).
- Paso 3: Construye el modelo $P(t) = mt + P_0$.
- Paso 4: Evalúa el modelo en el tiempo solicitado para obtener la población proyectada.
Ejemplos
1 Un pueblo tiene 3000 habitantes y crece a razón de 80 habitantes por año. Modela su población $P$ después de $t$ años.
- Población inicial - $P_0=3000$.
- Tasa de crecimiento - $m=80$.
- $P(t) = 80t + 3000$.
2 Un pueblo tiene 5000 habitantes y pierde 30 habitantes por año debido a la migración. Modela su población $P$ después de $t$ años.
- Población inicial - $P_0=5000$.
- Tasa de decrecimiento - $m=-30$.
- $P(t) = -30t + 5000$.
3 ¿El crecimiento poblacional lineal asume una variación constante por período?
- Esa es la hipótesis fundamental que distingue el modelo lineal de otros modelos de crecimiento.
4 ¿Una población que pierde habitantes puede modelarse con este tipo de función?
- Se modela con pendiente negativa, representando la disminución constante.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el crecimiento lineal (variación constante en cantidad) con el crecimiento exponencial (variación proporcional al tamaño actual)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar el signo negativo al modelar una población decreciente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la población inicial con la tasa de crecimiento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que toda población crece indefinidamente sin considerar límites del contexto real."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **crecimiento poblacional lineal** se modela con una función afín $P(t) = mt + P_0$, donde $P_0$ es la población inicial y $m$ es la variación constante de población por unidad de tiempo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El crecimiento poblacional lineal se modela por:
Es un modelo afín con población inicial y variación constante.
Respuesta: A) $P(t) = mt + P_0$
-
El crecimiento poblacional lineal asume una variación constante por período.
Es la hipótesis fundamental del modelo.
Respuesta: Verdadero
-
En $P(t)=mt+P_0$, ¿qué representa $P_0$?
P_0=P(0), la población en el instante inicial.
Respuesta: A) La población inicial.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Una población que pierde habitantes puede modelarse con pendiente negativa.
El decrecimiento se representa con m negativo.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $P(t)=-20t+1000$ modela una población decreciente, entonces $m=-20$.
El coeficiente de t es -20, la tasa de decrecimiento.
Respuesta: Verdadero
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Si $P(t)=60t+4000$ modela una población, ¿cuál era la población hace 3 años ($t=-3$)?
P(-3)=60(-3)+4000=-180+4000=3820.
Respuesta: A) $3820$
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Un pueblo tiene 2000 habitantes y crece 50 por año. Modela su población $P(t)$.
P_0=2000, m=50.
Respuesta: A) $P(t)=50t+2000$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un censo muestra que una comuna tenía 12000 habitantes en 2015 y crece a razón de 300 habitantes por año. ¿Cuál es la población proyectada para 2025?
P(t)=300t+12000; en 2025, t=10; P(10)=300(10)+12000=15000.
Respuesta: A) $15000$
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Un modelo de crecimiento poblacional lineal supone que la cantidad de nuevos habitantes por año no depende del tamaño actual de la población.
A diferencia del crecimiento exponencial, el lineal asume una variación neta constante en cantidad, no proporcional al tamaño.
Respuesta: Verdadero
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Una localidad tenía 8000 habitantes en el año 2018 y en 2023 tenía 8500. Asumiendo crecimiento lineal, ¿cuál es la tasa anual de crecimiento?
m=(8500-8000)/(2023-2018)=500/5=100.
Respuesta: A) $100$ habitantes/año