Representación gráfica de la función lineal
Graficar una función lineal identificando que su recta pasa siempre por el origen del plano cartesiano.
Introducción
Toda función lineal comparte un punto de partida obligatorio en su gráfica, el origen, y desde ahí se despliega en línea recta según su pendiente.
Explicación
Definición formal
La gráfica de $f(x) = mx$ es el conjunto $\{(x, mx) : x \in \mathbb{R}\}$, una recta que satisface $f(0)=0$, por lo que necesariamente pasa por el origen del sistema de coordenadas. La inclinación de la recta queda determinada por el signo y magnitud de $m$.
Desarrollo didáctico
Para graficar, basta con el origen $(0,0)$ y un segundo punto obtenido evaluando la función en cualquier otro valor de $x$; con esos dos puntos, se traza la recta completa.
Si $f(x) = 2x$: el origen $(0,0)$ y el punto $(1,2)$ determinan la recta completa, que se extiende infinitamente en ambas direcciones.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Marca el origen $(0,0)$, que siempre pertenece a la gráfica.
- Paso 2: Evalúa la función en un valor de $x$ distinto de cero para obtener un segundo punto.
- Paso 3: Traza la recta que une ambos puntos, extendiéndola en ambas direcciones.
Ejemplos
1 Grafica $f(x) = 3x$ usando el origen y un segundo punto.
- El origen $(0,0)$ pertenece a la gráfica.
- $f(1) = 3$, dando el punto $(1,3)$.
- Se traza la recta que une $(0,0)$ y $(1,3)$.
2 Grafica $f(x) = -x$ usando el origen y un segundo punto.
- El origen $(0,0)$ pertenece a la gráfica.
- $f(2) = -2$, dando el punto $(2,-2)$.
- Se traza la recta que une $(0,0)$ y $(2,-2)$.
3 ¿Toda recta que pasa por el origen representa una función lineal?
- La recta vertical $x=0$ pasa por el origen pero no representa una función (viola el criterio de la línea vertical).
4 ¿El punto $(0,0)$ siempre pertenece a la gráfica de una función lineal?
- Toda función lineal cumple $f(0)=0$, así que el origen siempre está en su gráfica.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar que el origen siempre debe estar marcado como punto de la recta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la gráfica de una función lineal con una que no pasa por el origen (afín)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal el segundo punto por errores de evaluación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Trazar la recta solo en el primer cuadrante, ignorando que se extiende en ambas direcciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de la función lineal $f(x) = mx$ es una **recta que pasa por el origen** $(0,0)$, con inclinación determinada por el valor de la pendiente $m$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La gráfica de una función lineal $f(x)=mx$ siempre pasa por:
f(0)=0 para toda función lineal.
Respuesta: B) El origen $(0,0)$.
-
Con solo dos puntos se puede trazar completamente la gráfica de una función lineal.
Dos puntos determinan de forma única una recta.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué segundo punto conviene usar para graficar $f(x)=4x$ además del origen?
f(1)=4, dando el punto (1,4).
Respuesta: A) $(1,4)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Toda recta que pasa por el origen representa una función lineal.
La recta vertical x=0 pasa por el origen pero no representa función.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Cuál punto NO puede pertenecer a la gráfica de una función lineal $f(x)=mx$?
Si m es distinto de cero, f(0) debe ser 0, no 5.
Respuesta: A) $(0,5)$ si $m\neq0$
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La gráfica de $f(x)=-2x$ pasa por $(3,-6)$.
f(3)=-2(3)=-6, coincide con el punto.
Respuesta: Verdadero
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Si la gráfica de una función lineal pasa por $(2,10)$, ¿cuál es su fórmula?
m = 10/2 = 5, y como es lineal (pasa por el origen), f(x)=5x.
Respuesta: A) $f(x)=5x$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si un gráfico de costo versus cantidad no pasa por el origen, entonces la función no puede ser lineal.
Toda función lineal debe pasar por el origen; si no lo hace, es afín u otro tipo de función.
Respuesta: Verdadero
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El gráfico de ingresos versus unidades vendidas (sin costos fijos) pasa por el origen. ¿Qué significa esto en el contexto?
Pasar por el origen implica que f(0)=0, es decir, cero unidades vendidas produce cero ingreso.
Respuesta: A) Que no vender ninguna unidad genera ingreso cero.
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Dos gráficos de funciones lineales distintas se cruzan necesariamente en:
Toda función lineal pasa por (0,0), así que dos rectas lineales distintas (con distinta pendiente) se cruzan al menos en el origen.
Respuesta: A) El origen, ya que ambas pasan por ahí.