Representación gráfica de la función lineal

Resumen inicial

La gráfica de una función lineal $y = mx$ es una recta que pasa por el origen $(0, 0)$ y queda determinada por un segundo punto $(1, m)$.

Explicación en palabras simples

La gráfica de una función lineal $y = mx$ es una recta que pasa por el origen $(0, 0)$ y queda determinada por un segundo punto $(1, m)$

Para graficar una función lineal $y = mx$ de manera ultra rápida:
1. Marcas el origen $(0, 0)$, que siempre es parte de la gráfica.
2. Buscas un segundo punto evaluando en $x = 1$, obteniendo el punto $(1, m)$.
3. Unes ambos puntos con una regla y extiendes la línea recta en ambas direcciones.

Explicación formal

La gráfica de $f(x) = mx$ es el subconjunto de $\mathbb{R}^2$:
$$\text{Graf}(f) = \{(x, mx) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in \mathbb{R}\}$$

Elementos geométricos:
- Punto fijo: Origen $O(0, 0)$.
- Vector director: $\vec{v} = (1, m)$.
- Comportamiento por cuadrantes:
- Si $m > 0$: La recta atraviesa el primer y tercer cuadrante (creciente).
- Si $m < 0$: La recta atraviesa el segundo y cuarto cuadrante (decreciente).

Definiciones clave

Punto de anclaje: Origen $(0, 0)$ por donde pasan todas las rectas de funciones lineales.
Punto unitario $(1, m)$: Punto de control que define la inclinación exacta de la recta.

Propiedades y relaciones importantes

Determinación euclidiana: Dos puntos distintos $((0,0)$ y $(1,m))$ determinan una única recta en el plano.
Simetría impar: La gráfica de $y = mx$ es invariante bajo una rotación de $180^\circ$ respecto al origen.

Ejemplo guiado

Ejemplo La gráfica de una función lineal $y = mx$ es una recta que pasa por el origen $(0, 0)$ y queda determinada por un segundo punto $(1, m)$

Grafica la función lineal $f(x) = -2x$ indicando los cuadrantes por los que pasa y dos puntos principales.

Paso 1: Fijar el primer punto en el origen: $(0, 0)$.
Paso 2: Calcular el punto en $x = 1$: $f(1) = -2(1) = -2 \implies (1, -2)$.
Paso 3: Calcular un punto simétrico en $x = -1$: $f(-1) = -2(-1) = 2 \implies (-1, 2)$.
Paso 4: Trazar la recta continua que une $(-1, 2)$, $(0, 0)$ y $(1, -2)$.
Paso 5: Observar que atraviesa el segundo y cuarto cuadrante (pendiente negativa).

Procedimiento

Paso 1: Marcar el punto $(0, 0)$ en el plano cartesiano.
Paso 2: Evaluar la función en un valor conveniente de $x$ (ej: $x = 1$ o el denominador de $m$).
Paso 3: Marcar el segundo punto $(x_1, y_1)$ en el plano.
Paso 4: Trazar la recta continua infinita que une ambos puntos con una regla.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Desplazar la recta hacia arriba o hacia abajo en el eje Y haciéndola pasar por $(0, n)$ con $n \neq 0$.
Cómo corregirlo: Recuerda que la función lineal no tiene corte fuera del origen; su eje de rotación es siempre $(0, 0)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La gráfica de una función lineal es una recta oblicua que pasa necesariamente por el origen."

"Una función lineal con m > 0 se sitúa en los cuadrantes I y III, mientras que con m < 0 se sitúa en los cuadrantes II y IV."

"Trazar la recta sin pasar por el origen (0, 0)."

"Invertir la dirección de avance subiendo en X en vez de Y."

"Confundir cuadrantes en pendientes negativas."

Al terminar debes poder

Resumen La gráfica de una función lineal $y = mx$ es una recta que pasa por el origen $(0, 0)$ y queda determinada por un segundo punto $(1, m)$

Trazar e interpretar gráficas de funciones lineales en el plano cartesiano.

Utilizando el punto pivote en el origen (0, 0) y un punto de control (1, m) según el signo de la pendiente.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La gráfica de una función lineal $f(x)=mx$ siempre pasa por:
f(0)=0 para toda función lineal.

Respuesta: B) El origen $(0,0)$.
Con solo dos puntos se puede trazar completamente la gráfica de una función lineal.
¿Qué segundo punto conviene usar para graficar $f(x)=4x$ además del origen?
f(1)=4, dando el punto (1,4).

Respuesta: A) $(1,4)$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Toda recta que pasa por el origen representa una función lineal.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Cuál punto NO puede pertenecer a la gráfica de una función lineal $f(x)=mx$?
Si m es distinto de cero, f(0) debe ser 0, no 5.

Respuesta: A) $(0,5)$ si $m\neq0$
La gráfica de $f(x)=-2x$ pasa por $(3,-6)$.
Si la gráfica de una función lineal pasa por $(2,10)$, ¿cuál es su fórmula?
m = 10/2 = 5, y como es lineal (pasa por el origen), f(x)=5x.

Respuesta: A) $f(x)=5x$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si un gráfico de costo versus cantidad no pasa por el origen, entonces la función no puede ser lineal.
El gráfico de ingresos versus unidades vendidas (sin costos fijos) pasa por el origen. ¿Qué significa esto en el contexto?
Pasar por el origen implica que f(0)=0, es decir, cero unidades vendidas produce cero ingreso.

Respuesta: A) Que no vender ninguna unidad genera ingreso cero.
Dos gráficos de funciones lineales distintas se cruzan necesariamente en:
Toda función lineal pasa por (0,0), así que dos rectas lineales distintas (con distinta pendiente) se cruzan al menos en el origen.

Respuesta: A) El origen, ya que ambas pasan por ahí.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación