Representación gráfica de la función constante
Resumen inicial
La gráfica de una función constante $f(x) = c$ es una línea recta horizontal que corta al eje $Y$ en el punto $(0, c)$ y es paralela al eje $X$.
Explicación en palabras simples
Al dibujar una función constante $f(x) = c$ en el plano cartesiano:
- Obtienes una recta perfectamente horizontal.
- Todos los puntos de la recta están a la misma altura $y = c$.
- Corta al eje vertical $Y$ en el punto $(0, c)$.
- Si $c \neq 0$, nunca toca al eje horizontal $X$ (son paralelas).
- Si $c = 0$, la recta es exactamente el eje $X$.
Explicación formal
La gráfica cartesiana de $f(x) = c$ es el conjunto geométrico:
$$\text{Graf}(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = c\}$$
Propiedades geométricas:
- Inclinación: Ángulo $\theta = 0^\circ$ respecto a la horizontal.
- Intersección con eje $Y$: Punto $(0, c)$.
- Intersección con eje $X$:
- Si $c \neq 0$: $\text{Graf}(f) \cap \text{Eje } X = \emptyset$ (sin ceros reales).
- Si $c = 0$: $\text{Graf}(f) \cap \text{Eje } X = \text{Eje } X$ (infinitos ceros reales).
La alternativa correcta es '(0, 7)'. Toda función $f(x) = c$ corta al eje Y en $(0, c)$.
Definiciones clave
- Recta horizontal: Línea recta en el plano con pendiente $m = 0$ y ecuación $y = c$.
- Paralelismo axial: Condición geométrica por la cual la recta $y = c$ mantiene una distancia constante $|c|$ respecto al eje $X$.
Propiedades y relaciones importantes
- Criterio de la recta vertical: Cumple perfectamente la prueba cortando en exactamente 1 punto a cada vertical.
- Prueba de la recta horizontal: La recta $y = c$ coincide en infinitos puntos con la gráfica, demostrando que no es inyectiva.
Ejemplo guiado
Traza e identifica las características principales de la gráfica de la función $f(x) = -3$.
- Paso 1: Identificar la altura fija: $y = -3$.
- Paso 2: Determinar el corte con el eje Y: $(0, -3)$.
- Paso 3: Identificar puntos auxiliares: $(-2, -3)$, $(1, -3)$, $(4, -3)$.
- Paso 4: Trazar una línea recta horizontal continua 3 unidades por debajo del eje X.
- Paso 5: Concluir que no intersecta al eje X.
La alternativa correcta es 'y = -4'. Las rectas horizontales tienen la forma $y = c$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el valor de la constante $c$ en la ecuación $y = c$.
- Paso 2: Ubicar el punto $(0, c)$ sobre el eje de ordenadas $Y$.
- Paso 3: Trazar una recta paralela al eje horizontal $X$ que pase por dicho punto.
- Paso 4: Verificar que para cualquier valor de $x$ la altura $y$ se mantenga invariablemente en $c$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Confundir la recta horizontal $y = c$ con la recta vertical $x = c$.
- Cómo corregirlo: Recuerda: $y = c$ fija la altura (recta horizontal); $x = c$ fija el ancho (recta vertical, que no representa una función).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: La recta $y = -5$ es paralela al eje X ($y = 0$).
- Paso 2: Como $-5 \neq 0$, nunca se intersectan (0 cortes).
- Paso 1: La condición es que la segunda coordenada sea $3$.
- Paso 2: El punto $(-10, 3)$ cumple la ecuación.
- Paso 1: Sobre el eje X la ordenada es siempre cero ($y = 0$).
- Paso 2: La función es $f(x) = 0$.
- Paso 1: Al estar por debajo del eje X ($y < 0$), se ubica en el tercer ($x < 0, y < 0$) y cuarto cuadrante ($x > 0, y < 0$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Graficar y caracterizar geométricamente funciones constantes en el plano cartesiano.
Ubicando la ordenada fija (0, c) y trazando una línea recta horizontal con pendiente nula.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La gráfica de $f(x)=c$ es:
Todos los puntos tienen la misma ordenada c.
Respuesta: B) Una recta horizontal.
-
La gráfica de $f(x)=0$ coincide con el eje $x$.
Todo punto tiene ordenada 0, que es el eje horizontal.
Respuesta: Verdadero
-
¿Por qué punto siempre pasa la gráfica de $f(x)=c$?
Al evaluar en x=0, se obtiene f(0)=c.
Respuesta: A) $(0,c)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La gráfica de una función constante puede ser una recta vertical.
Una recta vertical no representa función; la constante es siempre horizontal.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿A qué altura se traza la gráfica de $f(x)=-6$?
La recta horizontal se traza a la altura correspondiente al valor constante.
Respuesta: A) $y=-6$
-
La gráfica de $f(x)=4$ pasa por el punto $(10,4)$.
Todo punto de la recta horizontal a altura 4 cumple esa condición.
Respuesta: Verdadero
-
Si la gráfica de una función constante pasa por $(3,-2)$, ¿por cuál otro punto también pasa?
Toda la recta comparte la misma ordenada -2, sin importar la abscisa.
Respuesta: A) $(-8,-2)$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si el gráfico de temperatura de un termostato defectuoso es una recta horizontal en $y=20$, el termostato marca siempre 20°C sin importar la hora.
Una recta horizontal en el gráfico indica que la temperatura registrada nunca cambia.
Respuesta: Verdadero
-
Si dos gráficos de funciones constantes son rectas horizontales paralelas distintas, ¿qué se puede afirmar?
Rectas horizontales a distintas alturas son paralelas y no se intersectan nunca.
Respuesta: A) Que representan valores constantes distintos y nunca se cortan.
-
El gráfico de la tarifa fija de un estacionamiento (sin importar las horas) se representa como:
Al no depender de las horas, el gráfico tarifa versus horas es una recta horizontal.
Respuesta: A) Una recta horizontal.