Interpretación de la función lineal como proporcionalidad directa
Interpretar la función lineal como un modelo de proporcionalidad directa entre dos magnitudes.
Introducción
Cuando el precio total de una compra depende solo de la cantidad de productos, a un mismo precio unitario, estás usando exactamente el modelo de una función lineal: la proporcionalidad directa.
Explicación
Definición formal
Dos magnitudes $x$ e $y$ son directamente proporcionales si existe una constante $k \neq 0$ tal que $y = kx$ para todo par de valores correspondientes; equivalentemente, el cociente $\frac{y}{x}$ es constante e igual a $k$ para todo $x \neq 0$.
Desarrollo didáctico
La proporcionalidad directa es la interpretación contextual de la función lineal: al duplicar $x$, $y$ también se duplica; al triplicar $x$, $y$ también se triplica.
Si un kilogramo de manzanas cuesta \$1200, el costo total $C(n) = 1200n$ es directamente proporcional a la cantidad $n$ de kilogramos comprados: comprar el doble de kilos cuesta el doble.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la razón entre las dos magnitudes sea constante para todos los pares de datos.
- Paso 2: Si es constante, identifica ese valor como la constante de proporcionalidad $k$.
- Paso 3: Modela la relación mediante la función lineal $f(x) = kx$.
Ejemplos
1 Una tabla muestra: 2 horas $\to$ 100 km; 4 horas $\to$ 200 km; 6 horas $\to$ 300 km. ¿Es proporcionalidad directa?
- Se calcula la razón en cada caso - $100/2=50$; $200/4=50$; $300/6=50$.
- La razón es constante, así que es proporcionalidad directa con $k=50$.
2 Si el costo de $n$ entradas al cine es directamente proporcional a $n$, y 3 entradas cuestan \$15.000, determina la fórmula.
- Se calcula $k = 15000/3 = 5000$.
- $C(n) = 5000n$.
3 ¿Toda función lineal representa una proporcionalidad directa?
- Por definición, $f(x)=mx$ satisface $y/x=m$ constante, que es exactamente la condición de proporcionalidad directa.
4 ¿Una función afín $f(x)=mx+n$ con $n\neq 0$ representa proporcionalidad directa?
- La razón $y/x$ no es constante cuando hay un término independiente distinto de cero.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir proporcionalidad directa con cualquier relación creciente entre dos magnitudes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que la razón sea constante para TODOS los pares de datos, solo para algunos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el modelo de proporcionalidad directa a relaciones que en realidad son afines (con intercepto distinto de cero)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular la constante de proporcionalidad usando solo un par de datos sin verificar consistencia con los demás."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dos magnitudes están en **proporcionalidad directa** cuando su razón (cociente) es constante; esta relación se modela exactamente mediante una función lineal $f(x) = mx$, donde $m$ es la constante de proporcionalidad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Toda función lineal representa una proporcionalidad directa.
f(x)=mx cumple y/x=m constante.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué ocurre con $y$ si $x$ se triplica en una proporcionalidad directa?
En y=kx, si x se multiplica por 3, y también se multiplica por 3.
Respuesta: A) $y$ también se triplica.
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Dos magnitudes están en proporcionalidad directa cuando:
y/x=k constante es la condición de proporcionalidad directa.
Respuesta: B) Su razón (cociente) es constante.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Una función afín con intercepto distinto de cero representa proporcionalidad directa.
La razón y/x no es constante cuando hay término independiente distinto de cero.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si 5 kg de arroz cuestan \$4000, ¿cuánto cuestan 15 kg (proporcionalidad directa)?
k=4000/5=800; 15 kg cuestan 800*15=12000.
Respuesta: A) \$12.000
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Si $2 \to 10$ y $4 \to 20$, la relación es de proporcionalidad directa.
10/2=5 y 20/4=5, razón constante.
Respuesta: Verdadero
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Una tabla muestra $3 \to 12$, $6 \to 24$, $9 \to 40$. ¿Representa proporcionalidad directa?
12/3=4, 24/6=4, pero 40/9 no es 4; la razón no es constante para todos los pares.
Respuesta: A) No, porque la razón no es constante en todos los casos.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El costo de imprimir $n$ copias es directamente proporcional a $n$, y 20 copias cuestan \$2000. ¿Cuánto cuestan 55 copias?
k=2000/20=100; 55 copias cuestan 100*55=5500.
Respuesta: A) \$5.500
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La relación entre el perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado es una proporcionalidad directa.
P=4L, con razón constante P/L=4, cumpliendo proporcionalidad directa.
Respuesta: Verdadero
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Un mapa tiene una escala tal que 2 cm en el mapa representan 8 km reales. ¿Cuántos km reales representan 7 cm en el mapa, asumiendo proporcionalidad directa?
k=8/2=4 km por cm; 7 cm representan 4*7=28 km.
Respuesta: A) $28$ km