Interpretación de la función lineal como proporcionalidad directa

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La función lineal $f(x) = mx$ es el modelo algebraico exacto de la proporcionalidad directa, donde la pendiente $m$ es la constante de proporcionalidad $k$.

Explicación en palabras simples

La función lineal $f(x) = mx$ es el modelo algebraico exacto de la proporcionalidad directa, donde la pendiente $m$ es la constante de proporcionalidad $k$

Dos variables son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número:
- La razón entre ambas es constante: $\frac{y}{x} = k$.
- Al despejar $y$, obtenemos la fórmula: $y = kx$.

Esta es exactamente la fórmula de una función lineal $f(x) = mx$, donde la pendiente $m$ es la constante de proporcionalidad $k$.

Explicación formal

Dos magnitudes variables $x$ e $y$ están en proporcionalidad directa si su cociente es invariante:
$$\frac{y}{x} = k \quad (k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \ x \neq 0) \Longleftrightarrow y = kx$$

Correspondencia con el modelo lineal:
- La relación funcional asociada es $f(x) = mx$ con $m = k$.
- Propiedad de escala: $f(cx) = m(cx) = c(mx) = c f(x)$ para todo escalar $c$.
- Origen forzado: Para que exista proporcionalidad directa estricta, la gráfica DEBE pasar por el origen $(0, 0)$ ($n = 0$). Una función afín con $n \neq 0$ no representa proporcionalidad directa porque $\frac{mx+n}{x} = m + \frac{n}{x} \neq \text{cte}$.

Comprueba tu avance ¿Por qué una función afín como $f(x) = 3x + 5$ NO representa una relación de proporcionalidad directa?

Definiciones clave

  • Proporcionalidad directa: Relación donde el cociente entre dos variables es constante.
  • Constante de proporcionalidad ($k$): Razón constante $\frac{y}{x}$ que coincide con la pendiente $m$ de la función lineal.

Propiedades y relaciones importantes

  • Modelamiento físico: Ley de Hooke ($F = kx$), Movimiento Rectilíneo Uniforme ($d = vt$), Ley de Ohm ($V = IR$).
  • Exclusión de función afín: Toda función afín con intercepto $n \neq 0$ no es de proporcionalidad directa.

Ejemplo guiado

Ejemplo La función lineal $f(x) = mx$ es el modelo algebraico exacto de la proporcionalidad directa, donde la pendiente $m$ es la constante de proporcionalidad $k$

Un automóvil viaja a velocidad constante recorriendo $180\text{ km}$ en $2\text{ horas}$. Escribe la función lineal de la distancia en función del tiempo y calcula la constante de proporcionalidad.

  • Paso 1: Identificar las variables: tiempo $t$ (horas) y distancia $d$ (km).
  • Paso 2: Calcular la constante de proporcionalidad: $k = \frac{d}{t} = \frac{180}{2} = 90\text{ km/h}$.
  • Paso 3: Igualar la constante a la pendiente: $m = 90$.
  • Paso 4: Escribir la función lineal: $d(t) = 90t$.
  • Paso 5: Verificar: en $t = 0$, $d(0) = 0\text{ km}$ (pasa por el origen).
Comprueba tu avance Si el precio de $4\text{ kg}$ de manzanas es $\$6.000$, ¿cuál es la función lineal del precio $P(x)$ según los kilos $x$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar las variables dependiente ($y$) e independiente ($x$).
  • Paso 2: Calcular el cociente $k = \frac{y}{x}$ con un par de datos conocidos.
  • Paso 3: Establecer la pendiente $m = k$.
  • Paso 4: Escribir la fórmula de la función lineal $f(x) = kx$ y verificar su paso por $(0, 0)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Afirmar que $y = 2x + 10$ es proporcionalidad directa porque es una recta.
  • Cómo corregirlo: La proporcionalidad directa exige que si $x$ es cero, $y$ debe ser cero ($y = 0$). Si hay un cobro fijo o término constante $n \neq 0$, no es proporcionalidad directa.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $y$ es directamente proporcional a $x$, y cuando $x = 5$ se tiene $y = 35$, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
2 En la función de proporcionalidad $f(x) = 12x$, si la entrada se triplica ($3x$), ¿qué ocurre con la salida?
3 ¿Cuál de las siguientes tablas representa una función lineal de proporcionalidad directa?
4 Un grifo vierte agua a razón de $15\text{ litros por minuto}$. ¿Qué función modela el volumen $V(t)$ en $t$ minutos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir proporcionalidad directa (y = kx) con función afín (y = mx + n)."
"La gráfica de una relación de proporcionalidad directa es siempre una línea recta que pasa por el origen (0, 0)."
"Asumir que si dos cantidades crecen juntas siempre son directamente proporcionales (pueden crecer sin razón constante)."
"Invertir la constante calculando x/y en vez de y/x."
"Toda relación de proporcionalidad directa se modela mediante una función lineal f(x) = kx con constante k = m."

Al terminar debes poder

Resumen La función lineal $f(x) = mx$ es el modelo algebraico exacto de la proporcionalidad directa, donde la pendiente $m$ es la constante de proporcionalidad $k$

🎯 QUÉ Objetivo

Modelar e interpretar problemas de proporcionalidad directa mediante funciones lineales.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Identificando la constante de proporcionalidad k como la pendiente m de la recta y = kx y verificando el paso por el origen.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / Función Constante y Lineal

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Toda función lineal representa una proporcionalidad directa.

  2. ¿Qué ocurre con $y$ si $x$ se triplica en una proporcionalidad directa?

  3. Dos magnitudes están en proporcionalidad directa cuando:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Una función afín con intercepto distinto de cero representa proporcionalidad directa.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Si 5 kg de arroz cuestan \$4000, ¿cuánto cuestan 15 kg (proporcionalidad directa)?

  2. Si $2 \to 10$ y $4 \to 20$, la relación es de proporcionalidad directa.

  3. Una tabla muestra $3 \to 12$, $6 \to 24$, $9 \to 40$. ¿Representa proporcionalidad directa?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. El costo de imprimir $n$ copias es directamente proporcional a $n$, y 20 copias cuestan \$2000. ¿Cuánto cuestan 55 copias?

  2. La relación entre el perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado es una proporcionalidad directa.

  3. Un mapa tiene una escala tal que 2 cm en el mapa representan 8 km reales. ¿Cuántos km reales representan 7 cm en el mapa, asumiendo proporcionalidad directa?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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