Estudio de la función lineal
Reconocer la función lineal como aquella proporcional a la variable independiente, sin término constante.
Introducción
Cuando duplicar la entrada duplica exactamente la salida, y triplicarla la triplica, estás frente a una función lineal.
Explicación
Definición formal
Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se llama lineal si existe $m \in \mathbb{R} - \{0\}$ tal que $f(x) = mx$ para todo $x$. Se cumple la propiedad de proporcionalidad: $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$ y $f(kx) = k f(x)$ para todo escalar $k$.
Desarrollo didáctico
La característica esencial es que no hay término independiente: cuando $x=0$, siempre se obtiene $f(0)=0$, sin excepción.
Si $f(x) = 5x$: al duplicar la entrada de $2$ a $4$, la salida pasa de $10$ a $20$, también duplicándose. Esta proporcionalidad directa es la firma distintiva de las funciones lineales.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la fórmula tenga la forma $f(x) = mx$, sin término constante sumado.
- Paso 2: Identifica el valor de $m$ (la pendiente).
- Paso 3: Confirma que $f(0) = 0$, lo cual es característico de toda función lineal.
Ejemplos
1 Determina si $f(x) = -3x$ es una función lineal.
- Tiene la forma $mx$ con $m=-3$, sin término independiente.
- Es una función lineal.
2 Si $f(x) = 4x$, verifica que $f(2+3) = f(2)+f(3)$.
- $f(5) = 20$; $f(2)+f(3) = 8+12 = 20$.
- Ambos coinciden, confirmando la propiedad de proporcionalidad.
3 ¿$f(x) = 2x + 1$ es una función lineal?
- Tiene un término independiente ($+1$), por lo que no cumple $f(0)=0$; es afín, no lineal.
4 ¿Toda función lineal cumple $f(0)=0$?
- Al evaluar $f(x)=mx$ en $x=0$, se obtiene $m \cdot 0 = 0$ siempre.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir "función lineal" con cualquier función cuya gráfica sea una recta, incluyendo las afines con intercepto distinto de cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar que no exista término constante al clasificar una función como lineal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que $m$ puede ser cero en una función lineal (en ese caso sería la función constante $f(x)=0$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que toda proporcionalidad implica necesariamente valores positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una **función lineal** es aquella de la forma $f(x) = mx$, donde $m$ es una constante real distinta de cero llamada pendiente; su gráfica siempre pasa por el origen.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una función lineal tiene la forma:
La función lineal no tiene término independiente.
Respuesta: B) $f(x)=mx$
-
Toda función lineal cumple $f(0)=0$.
Al evaluar mx en x=0 se obtiene siempre 0.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de las siguientes es función lineal?
Tiene la forma mx sin término independiente.
Respuesta: A) $f(x)=7x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$f(x)=2x+1$ es una función lineal.
Tiene término independiente, por lo que es afín, no lineal.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $f(x)=6x$, calcula $f(3)+f(2)$ y compáralo con $f(5)$.
f(3)+f(2)=18+12=30; f(5)=30. Se confirma la propiedad de proporcionalidad.
Respuesta: A) Ambos dan $30$.
-
$f(x)=-3x$ es una función lineal.
Tiene la forma mx con m=-3.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f$ es lineal y $f(4)=20$, ¿cuál es el valor de $m$?
f(4)=4m=20, entonces m=5.
Respuesta: A) $5$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El costo de $x$ litros de bencina sin cargo fijo se modela por $C(x) = 950x$. ¿Qué tipo de función es esta?
No tiene término independiente (sin cargo fijo), y el costo es proporcional a los litros.
Respuesta: A) Lineal.
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Si duplicar la cantidad de un insumo duplica exactamente su costo total (sin cargo fijo), el costo se modela con una función lineal.
Esa proporcionalidad exacta es la característica definitoria de una función lineal.
Respuesta: Verdadero
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Un taxi cobra \$500 por kilómetro más una bajada de bandera de \$2000. ¿Es esta función lineal?
La presencia del cargo fijo de 2000 hace que f(0) sea distinto de cero, así que es función afín, no lineal.
Respuesta: A) No, porque tiene un término independiente (la bajada de bandera).