Estudio de la función lineal

Resumen inicial

La función lineal es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx$ con $m \neq 0$, cuya gráfica pasa siempre por el origen $(0, 0)$.

Explicación en palabras simples

$La función lineal es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx$ con $m \neq 0$, cuya gráfica pasa siempre por el origen $(0, 0)$$

Una función lineal es una relación de la forma $f(x) = mx$, donde:
- $m$ es la pendiente (un número real distinto de cero).
- No tiene término suelto sumando ni restando ($n = 0$).

Por eso, cuando evalúas en $x = 0$, el resultado siempre es $f(0) = m \cdot 0 = 0$.

Esto significa que la gráfica de toda función lineal pasa obligatoriamente por el origen de coordenadas $(0, 0)$.

Explicación formal

Una función lineal real es una transformación homogénea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por:
$$f(x) = mx, \quad m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

Propiedades algebraicas:
- Dominio y Recorrido: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, $\text{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
- Biyección: Al ser $m \neq 0$, es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).
- Homogeneidad aditiva y escalar:
1. $f(x_1 + x_2) = m(x_1 + x_2) = mx_1 + mx_2 = f(x_1) + f(x_2)$
2. $f(kx) = m(kx) = k(mx) = kf(x)$
- Cero de la función: Su único cero es $x = 0$.

Definiciones clave

Función lineal: Función de primer grado de proporcionalidad directa sin término constante ($y = mx$).
Pendiente $m$: Coeficiente multiplicativo que fija la inclinación y razón de cambio.

Propiedades y relaciones importantes

Paso por el origen: El par ordenado $(0, 0)$ siempre satisface la ecuación.
Distinción con función afín: La función afín $f(x) = mx + n$ tiene $n \neq 0$ y no pasa por el origen.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La función lineal es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx$ con $m \neq 0$, cuya gráfica pasa siempre por el origen $(0, 0)$$

Dada la función lineal $f(x) = -3x$, determina su pendiente, evalúa $f(4)$ y demuestra que $f(0) = 0$.

Paso 1: Identificar la pendiente como el coeficiente de $x$: $m = -3$.
Paso 2: Evaluar en $x = 4$: $f(4) = -3(4) = -12$.
Paso 3: Evaluar en $x = 0$: $f(0) = -3(0) = 0$.
Paso 4: Concluir que es una función lineal decreciente que pasa por $(0, 0)$.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que la regla funcional tenga la forma $f(x) = mx$ con $m \neq 0$.
Paso 2: Identificar la pendiente $m$.
Paso 3: Confirmar que la función pasa por el origen comprobando que $f(0) = 0$.
Paso 4: Evaluar imágenes sustituyendo $x$ y multiplicando directamente por la pendiente $m$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Llamar 'función lineal' a cualquier recta, incluyendo $f(x) = 2x + 5$.
Cómo corregirlo: En matemática escolar y formal, $f(x) = mx + n$ con $n \neq 0$ se denomina función afín. La función lineal es exclusivamente la que pasa por el origen ($n = 0$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Pensar que una función lineal puede tener pendiente cero."

"Confundir funciones lineales con funciones afines."

"Toda función lineal cumple la propiedad de homogeneidad f(kx) = k·f(x)."

"Una función lineal f(x) = mx pasa obligatoriamente por el origen de coordenadas (0, 0)."

"Olvidar que la gráfica de toda función lineal debe contener el origen (0, 0)."

Al terminar debes poder

$Resumen La función lineal es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx$ con $m \neq 0$, cuya gráfica pasa siempre por el origen $(0, 0)$$

Analizar, evaluar y clasificar funciones lineales de primer grado.

Aplicando la forma canónica f(x) = mx, reconociendo su paso obligatorio por el origen y sus propiedades de linealidad.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Una función lineal tiene la forma:
La función lineal no tiene término independiente.

Respuesta: B) $f(x)=mx$
Toda función lineal cumple $f(0)=0$.
¿Cuál de las siguientes es función lineal?
Tiene la forma mx sin término independiente.

Respuesta: A) $f(x)=7x$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=2x+1$ es una función lineal.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si $f(x)=6x$, calcula $f(3)+f(2)$ y compáralo con $f(5)$.
f(3)+f(2)=18+12=30; f(5)=30. Se confirma la propiedad de proporcionalidad.

Respuesta: A) Ambos dan $30$.
$f(x)=-3x$ es una función lineal.
Si $f$ es lineal y $f(4)=20$, ¿cuál es el valor de $m$?
f(4)=4m=20, entonces m=5.

Respuesta: A) $5$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El costo de $x$ litros de bencina sin cargo fijo se modela por $C(x) = 950x$. ¿Qué tipo de función es esta?
No tiene término independiente (sin cargo fijo), y el costo es proporcional a los litros.

Respuesta: A) Lineal.
Si duplicar la cantidad de un insumo duplica exactamente su costo total (sin cargo fijo), el costo se modela con una función lineal.
Un taxi cobra \$500 por kilómetro más una bajada de bandera de \$2000. ¿Es esta función lineal?
La presencia del cargo fijo de 2000 hace que f(0) sea distinto de cero, así que es función afín, no lineal.

Respuesta: A) No, porque tiene un término independiente (la bajada de bandera).

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación