Cálculo de la pendiente dados dos puntos
Calcular la pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos puntos conocidos.
Introducción
Con solo dos puntos de una recta puedes calcular exactamente su pendiente, sin necesidad de ver el gráfico completo.
Explicación
Definición formal
Dados dos puntos distintos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ pertenecientes a una recta, con $x_1 \neq x_2$, la pendiente de la recta que los contiene es $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Este valor es independiente del orden en que se etiqueten los puntos, siempre que se mantenga la consistencia entre numerador y denominador.
Desarrollo didáctico
Es fundamental restar las coordenadas en el mismo orden en numerador y denominador: si empiezas restando $y_2-y_1$, debes seguir con $x_2-x_1$, no $x_1-x_2$.
Para los puntos $(2,3)$ y $(5,12)$: $m = \frac{12-3}{5-2} = \frac{9}{3} = 3$. Si invirtieras el orden consistentemente, $m = \frac{3-12}{2-5} = \frac{-9}{-3} = 3$, el mismo resultado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las coordenadas de ambos puntos, $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$.
- Paso 2: Resta las ordenadas en el orden elegido: $y_2 - y_1$.
- Paso 3: Resta las abscisas en el mismo orden: $x_2 - x_1$.
- Paso 4: Divide ambos resultados para obtener la pendiente.
Ejemplos
1 Calcula la pendiente de la recta que pasa por $(0,1)$ y $(4,9)$.
- $m = \frac{9-1}{4-0} = \frac{8}{4} = 2$.
2 Calcula la pendiente de la recta que pasa por $(1,7)$ y $(4,-2)$.
- $m = \frac{-2-7}{4-1} = \frac{-9}{3} = -3$.
3 ¿El resultado cambia si se invierte el orden de los puntos en la fórmula?
- Siempre que se mantenga el mismo orden en numerador y denominador, el resultado es idéntico.
4 ¿Se puede calcular la pendiente con dos puntos que tienen la misma ordenada?
- Esto da pendiente 0 (recta horizontal), siempre que las abscisas sean distintas.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar en orden inconsistente, por ejemplo $y_2-y_1$ dividido por $x_1-x_2$, invirtiendo el signo del resultado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuál coordenada corresponde a $x$ y cuál a $y$ en cada punto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar dos puntos con la misma abscisa, generando una división por cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al restar coordenadas negativas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dados dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ de una recta no vertical, su pendiente se calcula mediante la fórmula $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La fórmula para calcular la pendiente entre dos puntos es:
Es el cociente entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de abscisas.
Respuesta: B) $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
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El resultado de la pendiente es el mismo si se invierte consistentemente el orden de los puntos.
Al invertir ambos, numerador y denominador cambian de signo, cancelándose.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué error se comete si se calcula $m=\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$?
Usar un orden distinto en numerador y denominador invierte el signo de la pendiente calculada.
Respuesta: A) Se invierte el signo del resultado correcto.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Se puede calcular la pendiente con dos puntos que comparten la misma ordenada.
Eso da pendiente 0, siempre que las abscisas sean distintas.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Calcula la pendiente entre $(2,3)$ y $(6,15)$.
m = (15-3)/(6-2) = 12/4 = 3.
Respuesta: A) $3$
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La pendiente entre $(-1,-1)$ y $(2,5)$ es $2$.
m = (5-(-1))/(2-(-1)) = 6/3 = 2.
Respuesta: Verdadero
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Calcula la pendiente entre $(5,-2)$ y $(1,6)$.
m = (6-(-2))/(1-5) = 8/(-4) = -2.
Respuesta: A) $-2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un estanque tenía 200 litros en el minuto 0 y 50 litros en el minuto 30, vaciándose a tasa constante. ¿Cuál es la pendiente de la función volumen versus tiempo?
m = (50-200)/(30-0) = -150/30 = -5.
Respuesta: A) $-5$ litros/min
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Si dos puntos de una recta tienen la misma abscisa, no es posible calcular la pendiente con la fórmula estándar.
Se generaría una división por cero en el denominador.
Respuesta: Verdadero
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Un termómetro registró 15°C a las 8:00 y 27°C a las 14:00. ¿Cuál es la razón de cambio (pendiente) de temperatura por hora?
m = (27-15)/(14-8) = 12/6 = 2 grados por hora.
Respuesta: A) $2$ °C/hora