Interpretación de la función afín como traslación vertical de la función lineal

Resumen inicial

La gráfica de una función afín $f(x) = mx + n$ es el resultado de trasladar verticalmente la recta lineal $f_0(x) = mx$ en $n$ unidades mediante el vector $\vec{v} = (0, n)$.

Explicación en palabras simples

$La gráfica de una función afín $f(x) = mx + n$ es el resultado de trasladar verticalmente la recta lineal $f_0(x) = mx$ en $n$ unidades mediante el vector $\vec{v} = (0, n)$$

Imagina la recta de la función lineal $y = mx$ que pasa por el centro $(0, 0)$:
- Si le sumas un número positivo $+n$, la recta completa se desplaza hacia arriba $n$ unidades.
- Si le restas un número $-n$, la recta completa se desplaza hacia abajo $|n|$ unidades.

La inclinación no cambia en absoluto: ambas rectas son exactamente paralelas (tienen la misma pendiente $m$).

Explicación formal

Sea $f_0(x) = mx$ la función lineal canónica. La función afín $f(x) = mx + n$ se define geométricamente como la traslación rígida vertical de $\text{Graf}(f_0)$ según el vector de desplazamiento $\vec{v} = (0, n) \in \mathbb{R}^2$:
$$\mathcal{T}_{\vec{v}}(\text{Graf}(f_0)) = \{(x, y + n) \in \mathbb{R}^2 \mid y = mx\} = \text{Graf}(f)$$

Propiedades de la transformación:
- Paralelismo: $\text{Pendiente}(\text{Graf}(f)) = \text{Pendiente}(\text{Graf}(f_0)) = m$.
- Distancia vertical constante: Para cualquier valor de $x$, la distancia vertical entre ambas rectas es $|f(x) - f_0(x)| = |n|$.
- Isometría: Preserva la longitud y la forma de la recta sin rotación.

Definiciones clave

Traslación vertical: Transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una curva en la dirección del eje $Y$.
Vector de traslación $\vec{v} = (0, n)$: Vector que cuantifica la magnitud y sentido del desplazamiento vertical.

Propiedades y relaciones importantes

Rectas paralelas: Dos funciones afines con la misma pendiente $m$ son paralelas y se diferencian por una traslación vertical.
Generalización funcional: Para cualquier función $g(x)$, la gráfica de $g(x) + c$ es una traslación vertical de $g(x)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La gráfica de una función afín $f(x) = mx + n$ es el resultado de trasladar verticalmente la recta lineal $f_0(x) = mx$ en $n$ unidades mediante el vector $\vec{v} = (0, n)$$

A partir de la función lineal $f_0(x) = 3x$, describe la transformación geométrica que genera a $f(x) = 3x - 5$ y comprueba el desplazamiento en los puntos $x = 0$ y $x = 2$.

Paso 1: Identificar la pendiente común $m = 3$, lo que asegura que ambas rectas son paralelas.
Paso 2: Identificar el vector de traslación: como $n = -5$, el vector es $\vec{v} = (0, -5)$ (traslación de 5 unidades hacia abajo).
Paso 3: Evaluar en $x = 0$: $f_0(0) = 0 \to f(0) = -5$ (desplazamiento vertical de $-5$).
Paso 4: Evaluar en $x = 2$: $f_0(2) = 6 \to f(2) = 1$ (desplazamiento vertical: $1 - 6 = -5$).
Paso 5: Concluir que cada punto de $y = 3x$ se traslada 5 unidades verticalmente hacia abajo.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la función lineal base $f_0(x) = mx$.
Paso 2: Leer el coeficiente de posición $n$ de la función afín $f(x) = mx + n$.
Paso 3: Determinar el sentido del desplazamiento (arriba si $n > 0$, abajo si $n < 0$).
Paso 4: Trazar la nueva recta paralela a $f_0(x)$ pasando por el punto $(0, n)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Creer que sumar $n$ inclina la recta cambiando su ángulo.
Cómo corregirlo: La pendiente $m$ se mantiene idéntica, por lo que la inclinación no cambia; la recta se mueve rígidamente en vertical.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La gráfica de f(x) = mx + n es una traslación vertical de la recta f(x) = mx en n unidades."

"Pensar que la traslación modifica la pendiente de la recta."

"Dos rectas afines con la misma pendiente son paralelas entre sí."

"Invertir el sentido del desplazamiento en valores negativos de n."

"Confundir traslaciones verticales f(x)+n con traslaciones horizontales f(x+k)."

Al terminar debes poder

$Resumen La gráfica de una función afín $f(x) = mx + n$ es el resultado de trasladar verticalmente la recta lineal $f_0(x) = mx$ en $n$ unidades mediante el vector $\vec{v} = (0, n)$$

Interpretar la función afín como traslación vertical de la función lineal base.

Aplicando el vector de traslación (0, n), conservando la pendiente m y verificando el paralelismo geométrico.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La gráfica de $f(x)=mx+n$ se obtiene de $g(x)=mx$ mediante:
f(x)=g(x)+n, un desplazamiento vertical uniforme.

Respuesta: B) Una traslación vertical de $n$ unidades.
La traslación vertical cambia la pendiente de la recta.
Si $n<0$, ¿hacia dónde se traslada la recta lineal asociada?
Un n negativo desplaza la recta hacia abajo.

Respuesta: A) Hacia abajo.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$f(x)=mx+n$ y $g(x)=mx$ son rectas paralelas.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si $g(x)=6x$ y $f(x)=6x-11$, ¿cuántas unidades y en qué dirección se traslada $g$ para obtener $f$?
n=-11, así que la traslación es 11 unidades hacia abajo.

Respuesta: A) 11 unidades hacia abajo.
Trasladar $g(x)=2x$ 5 unidades hacia arriba da $f(x)=2x+5$.
Si $g(2)=14$ (con $g(x)=7x$) y $f(x)=g(x)-3$, ¿cuál es $f(2)$?
f(2)=g(2)-3=14-3=11.

Respuesta: A) $11$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si se le agrega un bono fijo al sueldo variable de un vendedor, el gráfico sueldo versus ventas se traslada verticalmente respecto al modelo sin bono.
Un modelo de costo sin cargo fijo es $C_1(x)=300x$. Se agrega un cargo fijo de \$5000, dando $C_2(x)=300x+5000$. ¿Qué representa gráficamente este cambio?
Agregar el cargo fijo suma una constante a la función, trasladando verticalmente su gráfico sin alterar la pendiente.

Respuesta: A) Una traslación vertical de la recta $C_1$ en 5000 unidades hacia arriba.
Dos plantas crecen a la misma tasa (misma pendiente), pero una empezó 10 cm más alta que la otra. ¿Qué relación geométrica describe esta situación?
Compartir la tasa de crecimiento (pendiente) pero diferir en el valor inicial corresponde a una traslación vertical de 10 unidades entre ambas rectas.

Respuesta: A) Sus gráficos altura versus tiempo son rectas paralelas desplazadas 10 unidades.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación