Interpretación de la función afín como traslación vertical de la función lineal
Interpretar la función afín como el resultado de trasladar verticalmente la gráfica de la función lineal asociada.
Introducción
Toda función afín tiene una "hermana lineal" escondida: si le quitas el coeficiente de posición, queda exactamente la función lineal que comparte su misma pendiente.
Explicación
Definición formal
Dadas $f(x)=mx+n$ y $g(x)=mx$, se cumple $f(x) = g(x) + n$ para todo $x$. Geométricamente, esto significa que cada punto $(x, g(x))$ de la recta lineal se traslada al punto $(x, g(x)+n)$ para obtener la recta afín, un desplazamiento vertical uniforme de magnitud $n$.
Desarrollo didáctico
Como la pendiente no cambia en esta traslación, ambas rectas ($f$ y $g$) son paralelas: solo cambia su posición vertical, nunca su inclinación.
Si $g(x)=3x$ y $f(x)=3x+7$: cada punto de $g$ se traslada 7 unidades hacia arriba para obtener el punto correspondiente de $f$. Por ejemplo, $g(2)=6$ se traslada a $f(2)=13=6+7$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la función lineal asociada $g(x)=mx$, eliminando el coeficiente de posición.
- Paso 2: Determina el valor de $n$ y su signo.
- Paso 3: Traslada la gráfica de $g$ verticalmente $|n|$ unidades, hacia arriba si $n>0$ o hacia abajo si $n<0$.
Ejemplos
1 Describe la traslación que relaciona $g(x)=4x$ con $f(x)=4x+6$.
- Comparten la misma pendiente $m=4$.
- $f$ se obtiene trasladando $g$ 6 unidades hacia arriba.
2 Describe la traslación que relaciona $g(x)=-2x$ con $f(x)=-2x-5$.
- Comparten la misma pendiente $m=-2$.
- $f$ se obtiene trasladando $g$ 5 unidades hacia abajo.
3 ¿La traslación vertical cambia la pendiente de la recta?
- La pendiente permanece igual; solo cambia la posición vertical de la recta.
4 ¿Las gráficas de $f(x)=mx+n$ y $g(x)=mx$ son paralelas?
- Al compartir la misma pendiente $m$, ambas rectas son paralelas entre sí.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir traslación vertical con traslación horizontal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la traslación cambia la inclinación de la recta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el sentido del desplazamiento según el signo de $n$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que dos rectas paralelas necesariamente tienen el mismo coeficiente de posición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de la función afín $f(x)=mx+n$ se obtiene **trasladando verticalmente** la gráfica de la función lineal $g(x)=mx$ en $n$ unidades: hacia arriba si $n>0$, hacia abajo si $n<0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La gráfica de $f(x)=mx+n$ se obtiene de $g(x)=mx$ mediante:
f(x)=g(x)+n, un desplazamiento vertical uniforme.
Respuesta: B) Una traslación vertical de $n$ unidades.
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La traslación vertical cambia la pendiente de la recta.
La pendiente permanece igual; solo cambia la posición vertical.
Respuesta: Falso
-
Si $n<0$, ¿hacia dónde se traslada la recta lineal asociada?
Un n negativo desplaza la recta hacia abajo.
Respuesta: A) Hacia abajo.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$f(x)=mx+n$ y $g(x)=mx$ son rectas paralelas.
Comparten la misma pendiente m.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $g(x)=6x$ y $f(x)=6x-11$, ¿cuántas unidades y en qué dirección se traslada $g$ para obtener $f$?
n=-11, así que la traslación es 11 unidades hacia abajo.
Respuesta: A) 11 unidades hacia abajo.
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Trasladar $g(x)=2x$ 5 unidades hacia arriba da $f(x)=2x+5$.
Se suma 5 al término independiente.
Respuesta: Verdadero
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Si $g(2)=14$ (con $g(x)=7x$) y $f(x)=g(x)-3$, ¿cuál es $f(2)$?
f(2)=g(2)-3=14-3=11.
Respuesta: A) $11$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si se le agrega un bono fijo al sueldo variable de un vendedor, el gráfico sueldo versus ventas se traslada verticalmente respecto al modelo sin bono.
Agregar una constante fija corresponde exactamente a una traslación vertical del gráfico original.
Respuesta: Verdadero
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Un modelo de costo sin cargo fijo es $C_1(x)=300x$. Se agrega un cargo fijo de \$5000, dando $C_2(x)=300x+5000$. ¿Qué representa gráficamente este cambio?
Agregar el cargo fijo suma una constante a la función, trasladando verticalmente su gráfico sin alterar la pendiente.
Respuesta: A) Una traslación vertical de la recta $C_1$ en 5000 unidades hacia arriba.
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Dos plantas crecen a la misma tasa (misma pendiente), pero una empezó 10 cm más alta que la otra. ¿Qué relación geométrica describe esta situación?
Compartir la tasa de crecimiento (pendiente) pero diferir en el valor inicial corresponde a una traslación vertical de 10 unidades entre ambas rectas.
Respuesta: A) Sus gráficos altura versus tiempo son rectas paralelas desplazadas 10 unidades.