Estudio de la función afín

Resumen inicial

La función afín es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx + n$ con $m \neq 0$ y $n \neq 0$, cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen.

Explicación en palabras simples

$La función afín es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx + n$ con $m \neq 0$ y $n \neq 0$, cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen$

Una función afín tiene la forma $f(x) = mx + n$, donde:
- $m$ es la pendiente (la inclinación de la recta).
- $n$ es el coeficiente de posición (el valor donde la recta cruza el eje vertical $Y$).

A diferencia de la función lineal, como aquí $n \neq 0$, cuando evaluamos en $x = 0$ obtenemos $f(0) = n$.

Esto significa que la gráfica no pasa por el origen $(0, 0)$, sino por el punto $(0, n)$.

Explicación formal

Una función afín real es una aplicación $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida mediante:
$$f(x) = mx + n, \quad m, n \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

Propiedades analíticas:
- Dominio y Recorrido: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, $\text{Rec}(f) = \mathbb{R}$.
- Biyección: Al tener $m \neq 0$, toda función afín es una biyección de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.
- Tasa de cambio: $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = m$ (constante en todo el dominio).
- Inversa afín: Posee función inversa $f^{-1}(x) = \frac{x - n}{m} = \frac{1}{m}x - \frac{n}{m}$, la cual también es una función afín.

Definiciones clave

Función afín: Función polinómica de primer grado con término constante no nulo ($y = mx + n$).
Coeficiente de posición $n$: Ordenada en el origen que define el desplazamiento vertical respecto a $y = mx$.

Propiedades y relaciones importantes

No homogeneidad: En general $f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)$ y $f(kx) \neq kf(x)$ debido al sumando $n$.
Paralelismo con función lineal: Su gráfica es estrictamente paralela a la recta lineal $y = mx$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La función afín es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx + n$ con $m \neq 0$ y $n \neq 0$, cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen$

Dada la función afín $f(x) = -2x + 6$, determina su pendiente, su coeficiente de posición, su corte con el eje Y y calcula $f(4)$.

Paso 1: Identificar la pendiente: $m = -2$ (coeficiente de $x$).
Paso 2: Identificar el coeficiente de posición: $n = 6$ (término constante).
Paso 3: Determinar el punto de corte con el eje Y: $(0, n) = (0, 6)$.
Paso 4: Evaluar en $x = 4$: $f(4) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2$.
Paso 5: Concluir que es una función afín decreciente con intercepto en $(0, 6)$.

Procedimiento

Paso 1: Escribir la función en la forma explícita $f(x) = mx + n$.
Paso 2: Identificar la pendiente $m$ y el coeficiente de posición $n$.
Paso 3: Ubicar el corte con el eje Y en el punto $(0, n)$.
Paso 4: Evaluar preimágenes sustituyendo $x$ y resolviendo las operaciones respetando la jerarquía.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Omitir el signo negativo del coeficiente de posición en funciones como $f(x) = 3x - 8$.
Cómo corregirlo: En $f(x) = 3x - 8$, el término constante es $n = -8$, por lo que el corte con el eje Y está en $(0, -8)$ y no en $(0, 8)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar los signos negativos en los coeficientes."

"Identificar como pendiente el primer número sin verificar el término que contiene a x."

"Una función afín f(x) = mx + n tiene gráfica rectilínea que no pasa por el origen de coordenadas."

"El dominio y el recorrido de toda función afín son el conjunto de los números reales R."

"Confundir la función afín con la lineal afirmando que pasa por el origen."

Al terminar debes poder

$Resumen La función afín es una función polinómica de primer grado de la forma $f(x) = mx + n$ con $m \neq 0$ y $n \neq 0$, cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen$

Analizar, evaluar y definir funciones afines de primer grado.

Identificando sus parámetros canónicos m y n y reconociendo su comportamiento geométrico y algebraico.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Una función afín tiene la forma:
La función afín combina pendiente y coeficiente de posición distinto de cero.

Respuesta: A) $f(x)=mx+n$ con $n\neq0$
$f(x)=5x$ es una función afín en sentido estricto.
En $f(x)=8x-3$, identifica $m$ y $n$.
El coeficiente de x es m=8, el término independiente es n=-3.

Respuesta: A) $m=8$, $n=-3$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Toda función afín tiene su gráfica como una recta.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si $f(x)=-4x+11$, calcula $f(2)$.
f(2)=-4(2)+11=-8+11=3.

Respuesta: A) $3$
$f(x)=x+9$ es una función afín.
¿Cuál de las siguientes NO es una función afín?
f(x)=6 es una función constante, no afín en sentido estricto (no depende de x).

Respuesta: A) $f(x)=6$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Un plan de streaming cuesta \$4990 fijos más \$500 por cada dispositivo adicional conectado. ¿Qué función modela el costo?
Hay un cargo fijo (4990) más un costo variable (500 por dispositivo), la estructura clásica de una función afín.

Respuesta: A) Afín: $C(x)=500x+4990$.
Si un modelo no tiene cargo fijo, la función que representa el costo es lineal y no afín en sentido estricto.
Un taxi cobra \$300 por bajada de bandera más \$400 por kilómetro. ¿Cuál es el valor de $n$ en el modelo afín?
El cargo fijo (bajada de bandera) corresponde al coeficiente de posición n=300.

Respuesta: A) $300$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación