Estudio de la función afín
Reconocer la función afín como aquella que combina una parte proporcional a la variable con un término constante.
Introducción
A diferencia de la función lineal, la afín tiene un "punto de partida" distinto de cero: ya trae un valor inicial antes de que la variable empiece a influir.
Explicación
Definición formal
Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se llama afín si existen constantes $m, n \in \mathbb{R}$, con $n \neq 0$, tales que $f(x) = mx + n$ para todo $x$. La función lineal ($n=0$) y la constante ($m=0$) son casos particulares relacionados, pero no afines en sentido estricto según esta definición.
Desarrollo didáctico
La estructura es "parte variable más parte fija": el término $mx$ cambia según $x$, mientras que $n$ permanece igual siempre.
Si un plan de telefonía cuesta \$5000 fijos más \$100 por cada minuto usado, el costo se modela como $C(x) = 100x + 5000$: aquí $m=100$ (costo por minuto) y $n=5000$ (cargo fijo, presente incluso sin usar minutos).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la fórmula tenga la forma $mx+n$.
- Paso 2: Identifica el coeficiente $m$ que acompaña a la variable (la pendiente).
- Paso 3: Identifica el término independiente $n$ (el coeficiente de posición).
- Paso 4: Confirma que $n \neq 0$ para distinguirla de la función lineal.
Ejemplos
1 Determina si $f(x) = 3x - 7$ es una función afín, e identifica $m$ y $n$.
- Tiene la forma $mx+n$ con $n=-7 \neq 0$.
- $m=3$, $n=-7$.
2 Compara $f(x) = 5x$ con $g(x) = 5x + 2$.
- $f$ es lineal, sin término independiente.
- $g$ es afín, con $n=2 \neq 0$.
3 ¿$f(x) = 4x$ es una función afín?
- No tiene término independiente distinto de cero; es lineal, no afín.
4 ¿Toda función lineal puede considerarse un caso particular relacionado con la familia afín?
- La lineal comparte la forma $mx+n$ con $n=0$, aunque estrictamente se distingue de la afín por esa condición.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir "afín" con "lineal", usando los términos como sinónimos exactos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar identificar correctamente cuál coeficiente es $m$ y cuál es $n$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que $m$ debe ser positivo en toda función afín."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar la condición $n\neq0$ al clasificar entre lineal y afín."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una **función afín** es aquella de la forma $f(x) = mx + n$, con $m, n \in \mathbb{R}$ y $n \neq 0$, donde $m$ es la pendiente y $n$ es el coeficiente de posición o intercepto.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una función afín tiene la forma:
La función afín combina pendiente y coeficiente de posición distinto de cero.
Respuesta: A) $f(x)=mx+n$ con $n\neq0$
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$f(x)=5x$ es una función afín en sentido estricto.
No tiene término independiente distinto de cero; es lineal.
Respuesta: Falso
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En $f(x)=8x-3$, identifica $m$ y $n$.
El coeficiente de x es m=8, el término independiente es n=-3.
Respuesta: A) $m=8$, $n=-3$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Toda función afín tiene su gráfica como una recta.
Las funciones de la forma mx+n siempre se grafican como rectas.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x)=-4x+11$, calcula $f(2)$.
f(2)=-4(2)+11=-8+11=3.
Respuesta: A) $3$
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$f(x)=x+9$ es una función afín.
Tiene m=1 y n=9, con n distinto de cero.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de las siguientes NO es una función afín?
f(x)=6 es una función constante, no afín en sentido estricto (no depende de x).
Respuesta: A) $f(x)=6$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un plan de streaming cuesta \$4990 fijos más \$500 por cada dispositivo adicional conectado. ¿Qué función modela el costo?
Hay un cargo fijo (4990) más un costo variable (500 por dispositivo), la estructura clásica de una función afín.
Respuesta: A) Afín: $C(x)=500x+4990$.
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Si un modelo no tiene cargo fijo, la función que representa el costo es lineal y no afín en sentido estricto.
Sin término independiente distinto de cero, la función se reduce a lineal.
Respuesta: Verdadero
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Un taxi cobra \$300 por bajada de bandera más \$400 por kilómetro. ¿Cuál es el valor de $n$ en el modelo afín?
El cargo fijo (bajada de bandera) corresponde al coeficiente de posición n=300.
Respuesta: A) $300$