Determinación del cero de una función afín
Calcular el cero de una función afín como el valor de $x$ que anula la función.
Introducción
El "cero" de una función no es lo mismo que evaluarla en cero; es exactamente lo opuesto, el valor de entrada que produce una salida igual a cero.
Explicación
Definición formal
Un número $c$ es un cero de la función $f$ si $f(c) = 0$. Para $f(x) = mx+n$ con $m \neq 0$, resolver $mx+n=0$ da $c = -\dfrac{n}{m}$, que es el único cero de la función afín (por ser lineal en $x$, la ecuación tiene solución única).
Desarrollo didáctico
El procedimiento es idéntico al de encontrar la intersección con el eje $x$: se iguala la función a cero y se despeja la incógnita.
Si $f(x) = -5x + 25$: se resuelve $-5x+25=0$, obteniendo $x=5$. El cero de la función es $5$, y se cumple $f(5)=0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Plantea la ecuación $f(x)=0$.
- Paso 2: Resuelve la ecuación lineal resultante para despejar $x$.
- Paso 3: El valor obtenido es el cero de la función.
- Paso 4: Verifica sustituyendo ese valor en $f$, confirmando que el resultado sea cero.
Ejemplos
1 Determina el cero de $f(x) = 6x - 18$.
- Se resuelve $6x-18=0$.
- $x=3$.
- Verificación: $f(3)=6(3)-18=0$.
2 Determina el cero de $f(x) = \frac{1}{2}x - 4$.
- Se resuelve $\frac{1}{2}x-4=0$.
- $\frac{1}{2}x=4 \Rightarrow x=8$.
3 ¿El cero de una función afín es siempre el mismo que su coeficiente de posición?
- El coeficiente de posición es $f(0)=n$; el cero es el valor de $x$ tal que $f(x)=0$, generalmente distinto.
4 ¿Toda función afín con $m\neq0$ tiene exactamente un cero?
- La ecuación $mx+n=0$ con $m\neq0$ siempre tiene solución única.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir "el cero de la función" con "evaluar la función en cero" ($f(0)$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de signo al despejar $x$ en la ecuación $mx+n=0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir por $m$ sin verificar previamente que sea distinto de cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar el resultado sustituyendo de vuelta en la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **cero** (o raíz) de una función afín $f(x)=mx+n$, con $m \neq 0$, es el valor $x = -\dfrac{n}{m}$ que satisface $f(x)=0$; coincide con la abscisa del punto de intersección con el eje $x$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El cero de una función es el valor de $x$ tal que:
Es la definición formal de cero o raíz de una función.
Respuesta: A) $f(x)=0$
-
El cero de una función afín coincide con la abscisa de su intersección con el eje $x$.
Ambos se calculan resolviendo la misma ecuación f(x)=0.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuántos ceros tiene una función afín con $m\neq0$?
La ecuación mx+n=0 con m distinto de cero siempre tiene solución única.
Respuesta: A) Exactamente uno.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El cero de la función es lo mismo que $f(0)$.
El cero es el x que anula f; f(0) es el coeficiente de posición, generalmente distinto.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina el cero de $f(x)=8x-24$.
8x-24=0, x=3.
Respuesta: A) $3$
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El cero de $f(x)=-3x+9$ es $x=3$.
-3x+9=0, x=3.
Respuesta: Verdadero
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Si el cero de $f(x)=mx+20$ es $x=5$, ¿cuál es $m$?
5m+20=0, 5m=-20, m=-4.
Respuesta: A) $-4$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El cero de una función de ganancia representa el punto de equilibrio del negocio.
Donde la ganancia es cero, el negocio no gana ni pierde, el punto de equilibrio.
Respuesta: Verdadero
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La temperatura de un objeto que se enfría se modela por $T(t)=-3t+60$. ¿En qué instante la temperatura llega a cero?
-3t+60=0, t=20.
Respuesta: A) $t=20$
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Un vehículo pierde valor según $V(t)=-2000t+40000$. ¿Qué representa el cero de esta función en el contexto?
Resolver V(t)=0 da el instante en que el valor llega a cero, interpretado como pérdida total de valor.
Respuesta: A) El año en que el vehículo pierde todo su valor comercial.