Determinación del cero de una función afín

Resumen inicial

El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$.

Explicación en palabras simples

$El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$$

El cero de una función (también llamado raíz) es el número $x$ que hace que la función dé como resultado cero:
$$f(x) = 0$$

Para calcularlo:
1. Tomas la fórmula $mx + n$ y la igualas a $0$.
2. Despejas la $x$: $x_0 = -\frac{n}{m}$.

Por ejemplo, para $f(x) = 3x - 12$, resolvemos $3x - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. El cero es el número $4$.

Explicación formal

Dada una función afín $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = mx + n$ ($m \neq 0$), el cero o raíz de $f$ es el único elemento $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que:
$$f(x_0) = 0 \Longleftrightarrow mx_0 + n = 0 \Longleftrightarrow x_0 = -\frac{n}{m}$$

Distinción terminológica rigurosa:
- Cero / Raíz: Es un valor escalar numérico real ($x_0 \in \mathbb{R}$).
- Punto de intersección: Es un par ordenado del plano cartesiano ($(x_0, 0) \in \mathbb{R}^2$).

Definiciones clave

Cero de la función: Preimagen cuya imagen es idéntica a cero.
Raíz algebraica: Solución de la ecuación polinómica $P(x) = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Cambio de signo: En $x_0$, la función afín cambia de signo (de positiva a negativa o viceversa).
Inyectividad: Al ser inyectiva, no puede tener más de una raíz real.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$$

Determina el cero de la función afín $f(x) = -4x + 28$ y comprueba algebraicamente el resultado.

Paso 1: Plantear la ecuación $f(x) = 0 \implies -4x + 28 = 0$.
Paso 2: Despejar $x$: $-4x = -28 \implies x = \frac{-28}{-4} = 7$.
Paso 3: Comprobar evaluando en $x = 7$: $f(7) = -4(7) + 28 = -28 + 28 = 0$.
Paso 4: Concluir formalmente que el cero de la función es $x_0 = 7$.

Procedimiento

Paso 1: Igualar la expresión de la función a cero: $mx + n = 0$.
Paso 2: Despejar la incógnita $x$ aplicando operaciones inversas.
Paso 3: Calcular el valor numérico $x_0 = -\frac{n}{m}$.
Paso 4: Reportar la respuesta como el valor escalar $x = x_0$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dar la respuesta en formato de par ordenado $(x_0, 0)$ cuando se pregunta por el cero o raíz.
Cómo corregirlo: El cero es un número ($x = x_0$); el punto de corte es el par ordenado ($(x_0, 0)$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Entregar un par ordenado en vez de un valor numérico escalar."

"El cero o raíz de una función afín es el valor real x que satisface f(x) = 0."

"Cometer errores de signo en el despeje algebraico."

"Confundir el cero de la función f(x)=0 con la evaluación en cero f(0)."

"Toda función afín f(x) = mx + n con m != 0 posee exactamente una raíz real x = -n/m."

Al terminar debes poder

$Resumen El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$$

Calcular y verificar el cero o raíz de funciones afines.

Igualando la regla a cero, despejando la variable x = -n/m y distinguiendo el valor escalar del punto geométrico.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El cero de una función es el valor de $x$ tal que:
Es la definición formal de cero o raíz de una función.

Respuesta: A) $f(x)=0$
El cero de una función afín coincide con la abscisa de su intersección con el eje $x$.
¿Cuántos ceros tiene una función afín con $m\neq0$?
La ecuación mx+n=0 con m distinto de cero siempre tiene solución única.

Respuesta: A) Exactamente uno.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El cero de la función es lo mismo que $f(0)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina el cero de $f(x)=8x-24$.
8x-24=0, x=3.

Respuesta: A) $3$
El cero de $f(x)=-3x+9$ es $x=3$.
Si el cero de $f(x)=mx+20$ es $x=5$, ¿cuál es $m$?
5m+20=0, 5m=-20, m=-4.

Respuesta: A) $-4$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El cero de una función de ganancia representa el punto de equilibrio del negocio.
La temperatura de un objeto que se enfría se modela por $T(t)=-3t+60$. ¿En qué instante la temperatura llega a cero?
-3t+60=0, t=20.

Respuesta: A) $t=20$
Un vehículo pierde valor según $V(t)=-2000t+40000$. ¿Qué representa el cero de esta función en el contexto?
Resolver V(t)=0 da el instante en que el valor llega a cero, interpretado como pérdida total de valor.

Respuesta: A) El año en que el vehículo pierde todo su valor comercial.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación