Determinación del cero de una función afín

Resumen inicial

El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$.

Explicación en palabras simples

$El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$$

El cero de una función (también llamado raíz) es el número $x$ que hace que la función dé como resultado cero:
$$f(x) = 0$$

Para calcularlo:
1. Tomas la fórmula $mx + n$ y la igualas a $0$.
2. Despejas la $x$: $x_0 = -\frac{n}{m}$.

Por ejemplo, para $f(x) = 3x - 12$, resolvemos $3x - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. El cero es el número $4$.

Explicación formal

Dada una función afín $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = mx + n$ ($m \neq 0$), el cero o raíz de $f$ es el único elemento $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que:
$$f(x_0) = 0 \Longleftrightarrow mx_0 + n = 0 \Longleftrightarrow x_0 = -\frac{n}{m}$$

Distinción terminológica rigurosa:
- Cero / Raíz: Es un valor escalar numérico real ($x_0 \in \mathbb{R}$).
- Punto de intersección: Es un par ordenado del plano cartesiano ($(x_0, 0) \in \mathbb{R}^2$).

Definiciones clave

Cero de la función: Preimagen cuya imagen es idéntica a cero.
Raíz algebraica: Solución de la ecuación polinómica $P(x) = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Cambio de signo: En $x_0$, la función afín cambia de signo (de positiva a negativa o viceversa).
Inyectividad: Al ser inyectiva, no puede tener más de una raíz real.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$$

Determina el cero de la función afín $f(x) = -4x + 28$ y comprueba algebraicamente el resultado.

Paso 1: Plantear la ecuación $f(x) = 0 \implies -4x + 28 = 0$.
Paso 2: Despejar $x$: $-4x = -28 \implies x = \frac{-28}{-4} = 7$.
Paso 3: Comprobar evaluando en $x = 7$: $f(7) = -4(7) + 28 = -28 + 28 = 0$.
Paso 4: Concluir formalmente que el cero de la función es $x_0 = 7$.

Procedimiento

Paso 1: Igualar la expresión de la función a cero: $mx + n = 0$.
Paso 2: Despejar la incógnita $x$ aplicando operaciones inversas.
Paso 3: Calcular el valor numérico $x_0 = -\frac{n}{m}$.
Paso 4: Reportar la respuesta como el valor escalar $x = x_0$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dar la respuesta en formato de par ordenado $(x_0, 0)$ cuando se pregunta por el cero o raíz.
Cómo corregirlo: El cero es un número ($x = x_0$); el punto de corte es el par ordenado ($(x_0, 0)$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Cometer errores de signo en el despeje algebraico."

"Entregar un par ordenado en vez de un valor numérico escalar."

"Confundir el cero de la función f(x)=0 con la evaluación en cero f(0)."

"El cero o raíz de una función afín es el valor real x que satisface f(x) = 0."

"Toda función afín f(x) = mx + n con m != 0 posee exactamente una raíz real x = -n/m."

Al terminar debes poder

$Resumen El cero o raíz de una función afín es el valor numérico de la preimagen $x_0 = -\frac{n}{m}$ que satisface $f(x_0) = 0$$

Calcular y verificar el cero o raíz de funciones afines.

Igualando la regla a cero, despejando la variable x = -n/m y distinguiendo el valor escalar del punto geométrico.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El cero de una función es el valor de $x$ tal que:
Es la definición formal de cero o raíz de una función.

Respuesta: A) $f(x)=0$
El cero de una función afín coincide con la abscisa de su intersección con el eje $x$.
¿Cuántos ceros tiene una función afín con $m\neq0$?
La ecuación mx+n=0 con m distinto de cero siempre tiene solución única.

Respuesta: A) Exactamente uno.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El cero de la función es lo mismo que $f(0)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina el cero de $f(x)=8x-24$.
8x-24=0, x=3.

Respuesta: A) $3$
El cero de $f(x)=-3x+9$ es $x=3$.
Si el cero de $f(x)=mx+20$ es $x=5$, ¿cuál es $m$?
5m+20=0, 5m=-20, m=-4.

Respuesta: A) $-4$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El cero de una función de ganancia representa el punto de equilibrio del negocio.
La temperatura de un objeto que se enfría se modela por $T(t)=-3t+60$. ¿En qué instante la temperatura llega a cero?
-3t+60=0, t=20.

Respuesta: A) $t=20$
Un vehículo pierde valor según $V(t)=-2000t+40000$. ¿Qué representa el cero de esta función en el contexto?
Resolver V(t)=0 da el instante en que el valor llega a cero, interpretado como pérdida total de valor.

Respuesta: A) El año en que el vehículo pierde todo su valor comercial.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación