Determinación de la intersección con el eje de las abscisas
Determinar el punto donde la gráfica de una función afín corta el eje horizontal, resolviendo $f(x)=0$.
Introducción
Mientras que la intersección con el eje $y$ se lee directamente, la intersección con el eje $x$ exige resolver una pequeña ecuación.
Explicación
Definición formal
Dada $f(x) = mx+n$ con $m \neq 0$, su gráfica corta al eje $x$ en el punto donde $f(x)=0$: resolviendo $mx+n=0$ se obtiene $x = -\dfrac{n}{m}$, por lo que el punto de intersección es $\left(-\dfrac{n}{m}, 0\right)$.
Desarrollo didáctico
A diferencia de la intersección con el eje $y$ (que se lee directamente), esta requiere resolver la ecuación lineal $mx+n=0$, despejando $x$.
Si $f(x) = 4x - 20$: se resuelve $4x-20=0$, obteniendo $x=5$. La intersección con el eje $x$ es el punto $(5, 0)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Iguala la función a cero, $mx+n=0$.
- Paso 2: Despeja $x$, obteniendo $x = -n/m$.
- Paso 3: El punto de intersección con el eje $x$ es $(-n/m, 0)$.
Ejemplos
1 Determina la intersección con el eje $x$ de $f(x) = 3x - 9$.
- Se resuelve $3x-9=0$.
- $x=3$.
- Punto de intersección: $(3, 0)$.
2 Determina la intersección con el eje $x$ de $f(x) = -2x + 8$.
- Se resuelve $-2x+8=0$.
- $x=4$.
- Punto de intersección: $(4, 0)$.
3 ¿La intersección con el eje $x$ de una función afín siempre tiene ordenada cero?
- Por definición, el eje $x$ contiene exactamente los puntos con $y=0$.
4 ¿Se puede calcular la intersección con el eje $x$ si $m=0$?
- Si $m=0$ la función es constante; si $n=0$ toda la recta coincide con el eje x, y si $n\neq0$ la recta nunca lo corta.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la intersección con el eje $x$ con la intersección con el eje $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar cambiar el signo al despejar $x$ en la ecuación $mx+n=0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir por $m$ sin verificar primero que $m \neq 0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Expresar solo el valor de $x$ sin formar el punto completo $(x,0)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **intersección con el eje $x$** de una función afín $f(x) = mx+n$ (con $m \neq 0$) es el punto $\left(-\dfrac{n}{m}, 0\right)$, obtenido resolviendo la ecuación $f(x) = 0$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La intersección con el eje $x$ de $f(x)=mx+n$ se obtiene:
Se busca el valor de x que hace que y sea cero.
Respuesta: B) Resolviendo $f(x)=0$.
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El punto de intersección con el eje $x$ siempre tiene ordenada cero.
Por definición, el eje x contiene los puntos con y=0.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la fórmula para calcular la abscisa de la intersección con el eje $x$?
Se despeja de mx+n=0.
Respuesta: A) $x=-n/m$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Se necesita que $m\neq0$ para calcular la intersección con el eje x mediante la fórmula estándar.
Si m=0 no se puede dividir por m.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina la intersección con el eje $x$ de $f(x)=5x-15$.
5x-15=0, x=3.
Respuesta: A) $(3,0)$
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La intersección con el eje $x$ de $f(x)=-4x+8$ es $(2,0)$.
-4x+8=0, x=2.
Respuesta: Verdadero
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Si la intersección con el eje $x$ de $f(x)=mx+12$ es $x=-4$, ¿cuál es $m$?
m(-4)+12=0, -4m=-12, m=3.
Respuesta: A) $3$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa modela sus ganancias por $G(x)=200x-8000$, donde $x$ son unidades vendidas. ¿Qué representa la intersección con el eje $x$?
El valor de x donde G(x)=0 corresponde al punto de equilibrio del negocio.
Respuesta: A) El punto de equilibrio: unidades necesarias para no tener pérdidas ni ganancias.
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Si una función afín tiene pendiente positiva e intercepto negativo, su intersección con el eje $x$ es positiva.
x=-n/m; con n negativo y m positivo, -n/m resulta positivo.
Respuesta: Verdadero
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El nivel de un estanque se modela por $V(t)=-10t+300$ litros. ¿Qué representa la intersección con el eje $t$?
Resolver V(t)=0 da el instante en que el volumen llega a cero, es decir, cuando se vacía.
Respuesta: A) El tiempo en que el estanque queda completamente vacío.