Determinación de la intersección con el eje de las abscisas
Resumen inicial
La intersección con el eje de las abscisas (eje X) es el punto cartesiano $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$ obtenido al resolver la ecuación $f(x) = 0$.
Explicación en palabras simples
Para encontrar dónde corta la recta al eje horizontal $X$:
1. Haces que la altura sea cero ($y = 0$).
2. Igualas la fórmula de la función a cero: $mx + n = 0$.
3. Despejas la $x$: $x = -\frac{n}{m}$.
4. Escribes el punto de corte cartesiano: $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$.
Este punto siempre tiene un $0$ en la segunda posición.
Explicación formal
Dada una función afín $f(x) = mx + n$ con $m \neq 0$, su intersección con el eje de abscisas $X = \{(x, 0) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in \mathbb{R}\}$ es el conjunto unitario:
$$\text{Graf}(f) \cap \text{Eje } X = \left\{ \left(-\frac{n}{m}, 0\right) \right\}$$
Propiedades analíticas:
- Existencia única: Como $m \neq 0$, la ecuación lineal $mx + n = 0$ posee solución única real $x = -\frac{n}{m}$.
- Diferencia entre cero y punto de corte:
- El cero de la función es el número real $x_0 = -\frac{n}{m}$.
- El punto de corte es el par ordenado $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$.
La alternativa correcta es '(5, 0)'. $2x - 10 = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5$, por lo que el punto es $(5, 0)$.
Definiciones clave
- Intersección con eje X: Par cartesiano $(x_0, 0)$ donde la recta cruza la horizontal $y = 0$.
- Ordenada nula: Condición obligatoria ($y = 0$) de todo punto sobre el eje $X$.
Propiedades y relaciones importantes
- Trazado por cortes: Conocer el corte en $Y$ $(0, n)$ y el corte en $X$ $(-n/m, 0)$ permite trazar la recta afín de forma inmediata.
- Triángulo fundamental: Los dos cortes y el origen forman un triángulo rectángulo de catetos $|-n/m|$ y $|n|$ y área $A = \frac{n^2}{2|m|}$.
Ejemplo guiado
Calcula el punto de intersección con el eje de las abscisas para la función afín $f(x) = -3x + 12$.
- Paso 1: Plantear la condición de corte con el eje X igualando a cero: $-3x + 12 = 0$.
- Paso 2: Restar 12 a ambos lados: $-3x = -12$.
- Paso 3: Dividir entre $-3$: $x = \frac{-12}{-3} = 4$.
- Paso 4: Escribir el punto de corte en formato cartesiano: $(4, 0)$.
La alternativa correcta es '(6, 0)'. Haciendo $y = 0 \implies 4x = 24 \implies x = 6$, obteniendo $(6, 0)$.
Procedimiento
- Paso 1: Igualar la fórmula de la función afín a cero: $mx + n = 0$.
- Paso 2: Trasponer el término constante: $mx = -n$.
- Paso 3: Despejar la variable $x$: $x = -\frac{n}{m}$.
- Paso 4: Expresar el resultado final como el par ordenado $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Escribir el punto de corte con el eje X como $(0, x)$ en lugar de $(x, 0)$.
- Cómo corregirlo: Sobre el eje horizontal $X$, la altura $Y$ siempre es cero, por lo que el cero va en segundo lugar: $(x, 0)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $\frac{1}{2}x - 3 = 0 \implies \frac{1}{2}x = 3 \implies x = 6$.
- Paso 2: El punto es $(6, 0)$.
- Paso 1: $5x + 7 = 0 \implies 5x = -7 \implies x = -\frac{7}{5}$.
- Paso 2: Punto: $(-\frac{7}{5}, 0)$.
- Paso 1: $-4x - 20 = 0 \implies -4x = 20 \implies x = -5$.
- Paso 2: Punto: $(-5, 0)$.
- Paso 1: A la izquierda del origen en el eje X es $x = -3$, luego el punto es $(-3, 0)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Determinar el punto de corte con el eje de las abscisas en funciones afines.
Resolviendo la ecuación f(x) = 0 y expresando el resultado formalmente como el par cartesiano (-n/m, 0).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La intersección con el eje $x$ de $f(x)=mx+n$ se obtiene:
Se busca el valor de x que hace que y sea cero.
Respuesta: B) Resolviendo $f(x)=0$.
-
El punto de intersección con el eje $x$ siempre tiene ordenada cero.
Por definición, el eje x contiene los puntos con y=0.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es la fórmula para calcular la abscisa de la intersección con el eje $x$?
Se despeja de mx+n=0.
Respuesta: A) $x=-n/m$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Se necesita que $m\neq0$ para calcular la intersección con el eje x mediante la fórmula estándar.
Si m=0 no se puede dividir por m.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina la intersección con el eje $x$ de $f(x)=5x-15$.
5x-15=0, x=3.
Respuesta: A) $(3,0)$
-
La intersección con el eje $x$ de $f(x)=-4x+8$ es $(2,0)$.
-4x+8=0, x=2.
Respuesta: Verdadero
-
Si la intersección con el eje $x$ de $f(x)=mx+12$ es $x=-4$, ¿cuál es $m$?
m(-4)+12=0, -4m=-12, m=3.
Respuesta: A) $3$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Una empresa modela sus ganancias por $G(x)=200x-8000$, donde $x$ son unidades vendidas. ¿Qué representa la intersección con el eje $x$?
El valor de x donde G(x)=0 corresponde al punto de equilibrio del negocio.
Respuesta: A) El punto de equilibrio: unidades necesarias para no tener pérdidas ni ganancias.
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Si una función afín tiene pendiente positiva e intercepto negativo, su intersección con el eje $x$ es positiva.
x=-n/m; con n negativo y m positivo, -n/m resulta positivo.
Respuesta: Verdadero
-
El nivel de un estanque se modela por $V(t)=-10t+300$ litros. ¿Qué representa la intersección con el eje $t$?
Resolver V(t)=0 da el instante en que el volumen llega a cero, es decir, cuando se vacía.
Respuesta: A) El tiempo en que el estanque queda completamente vacío.