Determinación de la fórmula de una función afín desde su gráfico
Obtener la fórmula algebraica de una función afín a partir de la lectura de su gráfica.
Introducción
Si conoces el dibujo de la recta, puedes reconstruir exactamente su fórmula leyendo dos datos clave directamente del gráfico.
Explicación
Definición formal
Dada la gráfica de una recta no vertical, su fórmula $f(x)=mx+n$ se reconstruye identificando $n$ como la ordenada del punto de corte con el eje $y$, y calculando $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ usando dos puntos cualesquiera visibles en la gráfica.
Desarrollo didáctico
El proceso combina dos lecturas: una directa (el intercepto $n$) y una calculada (la pendiente $m$, usando la fórmula de dos puntos).
Si el gráfico corta al eje $y$ en $(0,4)$ y pasa también por $(2,10)$: $n=4$, y $m=\frac{10-4}{2-0}=3$. La fórmula es $f(x)=3x+4$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el punto donde la recta corta al eje $y$; su ordenada es $n$.
- Paso 2: Identifica un segundo punto claramente visible en la gráfica.
- Paso 3: Calcula la pendiente $m$ usando el punto de corte y el segundo punto.
- Paso 4: Escribe la fórmula $f(x) = mx + n$ con los valores obtenidos.
Ejemplos
1 Un gráfico corta al eje $y$ en $(0,-3)$ y pasa por $(4,5)$. Determina la fórmula.
- $n=-3$.
- $m = \frac{5-(-3)}{4-0} = \frac{8}{4} = 2$.
- $f(x) = 2x - 3$.
2 Un gráfico corta al eje $y$ en $(0,6)$ y pasa por $(3,0)$. Determina la fórmula.
- $n=6$.
- $m = \frac{0-6}{3-0} = -2$.
- $f(x) = -2x + 6$.
3 ¿Basta con conocer un solo punto del gráfico para determinar la fórmula completa?
- Se necesitan al menos dos datos (usualmente el intercepto y otro punto) para determinar $m$ y $n$.
4 ¿El punto de corte con el eje $y$ entrega directamente el valor de $n$?
- La ordenada de ese punto es exactamente el coeficiente de posición.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el punto de corte con el eje $x$ con el del eje $y$ al leer $n$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular mal la pendiente por errores en el orden de resta de coordenadas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Leer coordenadas aproximadas o incorrectas del gráfico."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar escribir la fórmula final combinando ambos parámetros."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para determinar la fórmula de una función afín desde su gráfico, se identifica el punto de corte con el eje $y$ (que da $n$) y se calcula la pendiente $m$ usando dos puntos visibles de la recta.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para determinar la fórmula de una función afín desde su gráfico, se necesita:
Con n (intercepto) y m (pendiente) se reconstruye completamente la fórmula.
Respuesta: B) El punto de corte con el eje $y$ y la pendiente.
-
El punto de corte con el eje $y$ entrega directamente el valor de $n$.
La ordenada de ese punto es exactamente n.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué fórmula se usa para calcular $m$ a partir de dos puntos del gráfico?
Es la fórmula estándar de la pendiente entre dos puntos.
Respuesta: A) $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Basta con un solo punto del gráfico para determinar la fórmula completa.
Se necesitan al menos dos datos (usualmente intercepto y otro punto).
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un gráfico corta al eje $y$ en $(0,2)$ y pasa por $(1,5)$. Determina la fórmula.
n=2; m=(5-2)/(1-0)=3.
Respuesta: A) $f(x)=3x+2$
-
Un gráfico que corta al eje $y$ en $(0,-3)$ y pasa por $(2,1)$ corresponde a $f(x)=2x-3$.
n=-3; m=(1-(-3))/(2-0)=4/2=2; f(x)=2x-3.
Respuesta: Verdadero
-
Un gráfico corta al eje $y$ en $(0,5)$ y al eje $x$ en $(5,0)$. Determina la fórmula.
n=5; m=(0-5)/(5-0)=-1; f(x)=-x+5.
Respuesta: A) $f(x)=-x+5$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un gráfico de costo versus unidades corta al eje $y$ en $(0,3000)$ y pasa por $(10,8000)$. ¿Cuál es la fórmula del costo?
n=3000; m=(8000-3000)/(10-0)=5000/10=500.
Respuesta: A) $C(x)=500x+3000$
-
Si dos gráficos de funciones afines distintas tienen el mismo punto de corte con el eje $y$, no necesariamente tienen la misma pendiente.
Compartir n no implica compartir m; ambas rectas pueden cruzarse en ese punto con distinta inclinación.
Respuesta: Verdadero
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El gráfico de altura de una planta corta al eje $y$ en $(0,4)$ (altura inicial en cm) y pasa por $(6,16)$ (a las 6 semanas). ¿Cuál es la tasa de crecimiento semanal?
m=(16-4)/(6-0)=12/6=2 cm por semana.
Respuesta: A) $2$ cm/semana