Determinación de la fórmula de una función afín desde su gráfico
Resumen inicial
Determinar la fórmula de una función afín desde su gráfica consiste en leer el coeficiente de posición $n$ en el corte con el eje $Y$ y calcular la pendiente $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ con otro punto claro.
Explicación en palabras simples
Para encontrar la ecuación $y = mx + n$ mirando un dibujo en el plano cartesiano:
1. Encuentra $n$: Mira dónde la recta cruza el eje vertical $Y$. La altura de ese punto es $n$.
2. Encuentra $m$: Elige otro punto exacto de la cuadrícula por donde pase la recta. Cuenta cuántas unidades sube/baja ($\Delta y$) y cuántas unidades avanza a la derecha ($\Delta x$). La pendiente es $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.
3. Arma la fórmula: Escribe $f(x) = mx + n$.
Explicación formal
Dada la gráfica cartesiana de una recta $\mathcal{L}$ no vertical:
1. Extracción del intercepto vertical: Identificar el punto $P_1(0, n) = \mathcal{L} \cap \text{Eje } Y \implies n = y(P_1)$.
2. Extracción de un punto secundario: Localizar $P_2(x_2, y_2) \in \mathcal{L}$ con $x_2 \neq 0$.
3. Cálculo de pendiente: $m = \frac{y_2 - n}{x_2 - 0} = \frac{y_2 - n}{x_2}$.
4. Reconstrucción analítica: $f(x) = \left(\frac{y_2 - n}{x_2}\right)x + n$.
La alternativa correcta es 'f(x) = 2x + 5'. $n = 5$ y $m = \frac{9 - 5}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$, luego $f(x) = 2x + 5$.
Definiciones clave
- Reconstrucción funcional: Proceso inverso de deducir la expresión algebraica a partir de la geometría del plano.
- Puntos reticulares: Coordenadas de números enteros identificables con total exactitud en la cuadrícula.
Propiedades y relaciones importantes
- Unicidad de la recta: Una recta queda unívocamente determinada por su intercepto y su pendiente.
- Verificación cruzada: Sustituir un tercer punto del gráfico en la fórmula obtenida para comprobar su validez.
Ejemplo guiado
Una recta en el plano corta al eje Y en el punto $(0, -2)$ y pasa por el punto $(3, 7)$. Determina la fórmula de la función afín.
- Paso 1: Extraer el coeficiente de posición del corte con el eje Y: $n = -2$.
- Paso 2: Usar las coordenadas de los dos puntos: $P_1(0, -2)$ y $P_2(3, 7)$.
- Paso 3: Calcular la pendiente: $m = \frac{7 - (-2)}{3 - 0} = \frac{7 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
- Paso 4: Escribir la fórmula en la forma $f(x) = mx + n$: $f(x) = 3x - 2$.
La alternativa correcta es 'f(x) = x - 4'. $n = -4$ y $m = \frac{0 - (-4)}{4 - 0} = \frac{4}{4} = 1 \implies f(x) = x - 4$.
Procedimiento
- Paso 1: Localizar el punto de corte con el eje vertical $Y$ y registrar $n$.
- Paso 2: Identificar las coordenadas de un segundo punto claro $(x_2, y_2)$ sobre la cuadrícula.
- Paso 3: Calcular la pendiente mediante la fórmula $m = \frac{y_2 - n}{x_2}$.
- Paso 4: Escribir la fórmula final $f(x) = mx + n$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Equivocarse en el signo de la pendiente al observar rectas que descienden.
- Cómo corregirlo: Si la recta cae al avanzar hacia la derecha, la pendiente debe ser estrictamente negativa ($m < 0$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $n = 6$.
- Paso 2: $m = \frac{0 - 6}{2 - 0} = -3 \implies f(x) = -3x + 6$.
- Paso 1: $n = 1$.
- Paso 2: $m = \frac{3 - 1}{3 - 0} = \frac{2}{3} \implies f(x) = \frac{2}{3}x + 1$.
- Paso 1: $n = -3$.
- Paso 2: $m = \frac{0 - (-3)}{-3 - 0} = \frac{3}{-3} = -1 \implies f(x) = -x - 3$.
- Paso 1: $m = 5$, $n = 4 \implies f(x) = 5x + 4$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Deducir y escribir la fórmula algebraica de una función afín a partir de su representación gráfica.
Extrayendo el intercepto n en el eje Y y calculando la pendiente m mediante el cociente de desplazamientos m = Δy/Δx.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para determinar la fórmula de una función afín desde su gráfico, se necesita:
Con n (intercepto) y m (pendiente) se reconstruye completamente la fórmula.
Respuesta: B) El punto de corte con el eje $y$ y la pendiente.
-
El punto de corte con el eje $y$ entrega directamente el valor de $n$.
La ordenada de ese punto es exactamente n.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué fórmula se usa para calcular $m$ a partir de dos puntos del gráfico?
Es la fórmula estándar de la pendiente entre dos puntos.
Respuesta: A) $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Basta con un solo punto del gráfico para determinar la fórmula completa.
Se necesitan al menos dos datos (usualmente intercepto y otro punto).
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un gráfico corta al eje $y$ en $(0,2)$ y pasa por $(1,5)$. Determina la fórmula.
n=2; m=(5-2)/(1-0)=3.
Respuesta: A) $f(x)=3x+2$
-
Un gráfico que corta al eje $y$ en $(0,-3)$ y pasa por $(2,1)$ corresponde a $f(x)=2x-3$.
n=-3; m=(1-(-3))/(2-0)=4/2=2; f(x)=2x-3.
Respuesta: Verdadero
-
Un gráfico corta al eje $y$ en $(0,5)$ y al eje $x$ en $(5,0)$. Determina la fórmula.
n=5; m=(0-5)/(5-0)=-1; f(x)=-x+5.
Respuesta: A) $f(x)=-x+5$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un gráfico de costo versus unidades corta al eje $y$ en $(0,3000)$ y pasa por $(10,8000)$. ¿Cuál es la fórmula del costo?
n=3000; m=(8000-3000)/(10-0)=5000/10=500.
Respuesta: A) $C(x)=500x+3000$
-
Si dos gráficos de funciones afines distintas tienen el mismo punto de corte con el eje $y$, no necesariamente tienen la misma pendiente.
Compartir n no implica compartir m; ambas rectas pueden cruzarse en ese punto con distinta inclinación.
Respuesta: Verdadero
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El gráfico de altura de una planta corta al eje $y$ en $(0,4)$ (altura inicial en cm) y pasa por $(6,16)$ (a las 6 semanas). ¿Cuál es la tasa de crecimiento semanal?
m=(16-4)/(6-0)=12/6=2 cm por semana.
Respuesta: A) $2$ cm/semana