Determinación de la fórmula de una función afín desde dos puntos

Resumen inicial

Determinar la fórmula de una función afín desde dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ consiste en calcular primero la pendiente $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y aplicar la forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Explicación en palabras simples

$Determinar la fórmula de una función afín desde dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ consiste en calcular primero la pendiente $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y aplicar la forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$$

Si conoces dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ por donde pasa una recta afín:
1. Calculas la pendiente: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Usas la fórmula punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$ (o sustituyes un punto en $y = mx + n$ para despejar $n$).
3. Despejas la $y$: Dejas la ecuación en la forma $f(x) = mx + n$.

Explicación formal

Dados dos puntos distintos $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2$ con $x_1 \neq x_2$:
1. Pendiente unívoca: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Ecuación continua de la recta:
$$y - y_1 = m(x - x_1) \Longleftrightarrow y = mx + (y_1 - mx_1)$$
3. Coeficiente de posición deducido: $n = y_1 - mx_1 = y_2 - mx_2$.
4. Fórmula funcional canónica: $f(x) = mx + n$.

Definiciones clave

Forma punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$, estructura algebraica para construir la ecuación a partir de un punto y la pendiente.
Determinación euclidiana: Principio geométrico que asegura que por dos puntos pasa una única recta.

Propiedades y relaciones importantes

Independencia del punto de anclaje: Usar $P_1$ o $P_2$ en la fórmula punto-pendiente entrega exactamente la misma ecuación final.
Prueba de pertenencia: Ambos puntos satisfacen la igualdad $f(x_k) = y_k$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo Determinar la fórmula de una función afín desde dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ consiste en calcular primero la pendiente $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y aplicar la forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$$

Determina la fórmula de la función afín que pasa por los puntos $P_1(2, 5)$ y $P_2(6, 13)$.

Paso 1: Calcular la pendiente: $m = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Paso 2: Aplicar la forma punto-pendiente con $P_1(2, 5)$: $y - 5 = 2(x - 2)$.
Paso 3: Distribuir el producto: $y - 5 = 2x - 4$.
Paso 4: Despejar $y$: $y = 2x - 4 + 5 = 2x + 1$.
Paso 5: Comprobar con $P_2(6, 13)$: $f(6) = 2(6) + 1 = 12 + 1 = 13$ (correcto).
Paso 6: Concluir que la fórmula es $f(x) = 2x + 1$.

Procedimiento

Paso 1: Calcular la pendiente $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Paso 2: Elegir uno de los dos puntos dados (por ejemplo $P_1(x_1, y_1)$).
Paso 3: Plantear la ecuación punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$.
Paso 4: Distribuir el producto y despejar $y$ para obtener la forma $f(x) = mx + n$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Mezclar las coordenadas al aplicar la forma punto-pendiente (ej: usar $x_1$ con $y_2$).
Cómo corregirlo: Elige un solo punto y usa sus dos coordenadas juntas ($x_1$ con $y_1$); no mezcles con el otro punto.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La fórmula de la función afín a partir de dos puntos se obtiene calculando m = (y2 - y1)/(x2 - x1) y usando y - y1 = m(x - x1)."

"Cualquiera de los dos puntos produce exactamente la misma ecuación final al despejar y."

"Equivocarse en la distributiva con números negativos."

"Calcular mal la pendiente por errores de signo en el denominador."

"Mezclar las coordenadas x de un punto con la y del otro en la ecuación punto-pendiente."

Al terminar debes poder

$Resumen Determinar la fórmula de una función afín desde dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ consiste en calcular primero la pendiente $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y aplicar la forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$$

Determinar la fórmula de una función afín a partir de dos puntos conocidos.

Calculando la pendiente m y aplicando la forma punto-pendiente y - y1 = m(x - x1) para despejar la regla canónica f(x) = mx + n.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Cualquiera de los dos puntos dados sirve para despejar $n$, con el mismo resultado.
Para determinar la fórmula afín desde dos puntos, el primer paso es:
Se calcula m primero, y luego se despeja n usando uno de los puntos.

Respuesta: A) Calcular la pendiente.
Una vez calculada la pendiente $m$, ¿cómo se obtiene $n$?
Se sustituye un punto conocido junto con m para despejar n.

Respuesta: A) Sustituyendo $m$ y un punto en $y=mx+n$ y despejando.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Se puede determinar la fórmula de una función afín conociendo solo un punto.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

La función afín que pasa por $(0,5)$ y $(2,9)$ es $f(x)=2x+5$.
Determina la fórmula afín que pasa por $(-2,10)$ y $(2,-6)$.
m=(-6-10)/(2-(-2))=-16/4=-4; usando (2,-6): -6=-4(2)+n, n=2.

Respuesta: A) $f(x)=-4x+2$
Determina la fórmula afín que pasa por $(1,6)$ y $(3,14)$.
m=(14-6)/(3-1)=4; usando (1,6): 6=4(1)+n, n=2.

Respuesta: A) $f(x)=4x+2$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Un plan de ahorro tenía \$50000 en el mes 2 y \$110000 en el mes 5, creciendo linealmente. ¿Cuál es la fórmula del ahorro en función del mes?
m=(110000-50000)/(5-2)=60000/3=20000; usando (2,50000): 50000=20000(2)+n, n=10000.

Respuesta: A) $A(x)=20000x+10000$
Si se conocen dos mediciones de temperatura en distintos instantes de un proceso lineal, se puede determinar la fórmula completa de temperatura versus tiempo.
Un vehículo valía \$12.000.000 a los 2 años de uso y \$8.000.000 a los 6 años, depreciándose linealmente. ¿Cuál era su valor inicial (año 0)?
m=(8000000-12000000)/(6-2)=-1000000; usando (2,12000000): 12000000=-1000000(2)+n, n=14000000.

Respuesta: A) \$14.000.000

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación