Determinación de la fórmula de una función afín desde dos puntos
Obtener la fórmula de una función afín a partir de dos puntos conocidos, sin necesidad de un gráfico.
Introducción
Aunque no veas el dibujo de la recta, dos puntos cualesquiera bastan para reconstruir exactamente su fórmula completa.
Explicación
Definición formal
Dados dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ con $x_1 \neq x_2$, la pendiente es $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Sustituyendo $m$ y uno de los puntos, por ejemplo $(x_1,y_1)$, en $y_1 = mx_1+n$, se despeja $n = y_1 - mx_1$, completando la fórmula $f(x)=mx+n$.
Desarrollo didáctico
El proceso tiene dos etapas: primero calcular la pendiente con la fórmula de dos puntos, y luego usar cualquiera de los dos puntos originales para despejar el coeficiente de posición.
Con $(1,5)$ y $(3,13)$: $m = \frac{13-5}{3-1} = 4$. Sustituyendo en $(1,5)$: $5 = 4(1)+n \Rightarrow n=1$. La fórmula es $f(x)=4x+1$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la pendiente $m$ usando la fórmula de dos puntos.
- Paso 2: Sustituye $m$ y uno de los puntos conocidos en $y=mx+n$.
- Paso 3: Despeja $n$ de esa ecuación.
- Paso 4: Escribe la fórmula final $f(x)=mx+n$.
Ejemplos
1 Determina la fórmula de la función afín que pasa por $(0,4)$ y $(2,12)$.
- $m = \frac{12-4}{2-0} = 4$.
- Como uno de los puntos ya tiene $x=0$: $n=4$ directamente.
- $f(x) = 4x + 4$.
2 Determina la fórmula de la función afín que pasa por $(2,7)$ y $(5,16)$.
- $m = \frac{16-7}{5-2} = 3$.
- Sustituyendo en $(2,7)$: $7=3(2)+n \Rightarrow n=1$.
- $f(x) = 3x + 1$.
3 ¿Se puede usar cualquiera de los dos puntos para despejar $n$?
- Ambos puntos pertenecen a la misma recta, así que cualquiera de los dos entrega el mismo valor de $n$.
4 ¿Es posible determinar la fórmula con solo un punto conocido?
- Se necesitan dos condiciones independientes para determinar ambos parámetros $m$ y $n$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular mal la pendiente por errores en el orden de resta de coordenadas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sustituir incorrectamente el punto al despejar $n$, mezclando coordenadas de ambos puntos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar el resultado sustituyendo el segundo punto en la fórmula final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de $m$ y $n$ al escribir la fórmula final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dados dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ de una función afín, su fórmula se determina calculando primero la pendiente $m$, y luego despejando $n$ sustituyendo uno de los puntos en $f(x)=mx+n$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Cualquiera de los dos puntos dados sirve para despejar $n$, con el mismo resultado.
Ambos puntos pertenecen a la misma recta, entregando el mismo n.
Respuesta: Verdadero
-
Para determinar la fórmula afín desde dos puntos, el primer paso es:
Se calcula m primero, y luego se despeja n usando uno de los puntos.
Respuesta: A) Calcular la pendiente.
-
Una vez calculada la pendiente $m$, ¿cómo se obtiene $n$?
Se sustituye un punto conocido junto con m para despejar n.
Respuesta: A) Sustituyendo $m$ y un punto en $y=mx+n$ y despejando.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Se puede determinar la fórmula de una función afín conociendo solo un punto.
Se necesitan dos condiciones independientes para determinar m y n.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
La función afín que pasa por $(0,5)$ y $(2,9)$ es $f(x)=2x+5$.
m=(9-5)/(2-0)=2; n=5 directamente por el punto (0,5).
Respuesta: Verdadero
-
Determina la fórmula afín que pasa por $(-2,10)$ y $(2,-6)$.
m=(-6-10)/(2-(-2))=-16/4=-4; usando (2,-6): -6=-4(2)+n, n=2.
Respuesta: A) $f(x)=-4x+2$
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Determina la fórmula afín que pasa por $(1,6)$ y $(3,14)$.
m=(14-6)/(3-1)=4; usando (1,6): 6=4(1)+n, n=2.
Respuesta: A) $f(x)=4x+2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un plan de ahorro tenía \$50000 en el mes 2 y \$110000 en el mes 5, creciendo linealmente. ¿Cuál es la fórmula del ahorro en función del mes?
m=(110000-50000)/(5-2)=60000/3=20000; usando (2,50000): 50000=20000(2)+n, n=10000.
Respuesta: A) $A(x)=20000x+10000$
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Si se conocen dos mediciones de temperatura en distintos instantes de un proceso lineal, se puede determinar la fórmula completa de temperatura versus tiempo.
Dos puntos bastan para calcular la pendiente y el coeficiente de posición del modelo afín.
Respuesta: Verdadero
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Un vehículo valía \$12.000.000 a los 2 años de uso y \$8.000.000 a los 6 años, depreciándose linealmente. ¿Cuál era su valor inicial (año 0)?
m=(8000000-12000000)/(6-2)=-1000000; usando (2,12000000): 12000000=-1000000(2)+n, n=14000000.
Respuesta: A) \$14.000.000