Evaluación de una función por sustitución numérica
Resumen inicial
Evaluar una función por sustitución numérica consiste en reemplazar la variable por un número dado y calcular el resultado aritmético.
Explicación en palabras simples
Para evaluar una función $f(x)$ en un valor numérico específico, simplemente reemplazas cada letra $x$ por ese número, protegiéndolo con paréntesis.
Por ejemplo, si $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ y quieres calcular $f(-2)$:
$$f(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 = 15$$
El uso de paréntesis evita errores graves de signo como confundir $(-2)^2 = 4$ con $-2^2 = -4$.
Explicación formal
Dada una función real $f: \text{Dom}(f) \to \mathbb{R}$ definida mediante una expresión algebraica $y = f(x)$, la evaluación numérica en $x = a \in \text{Dom}(f)$ se define formalmente como el valor obtenido tras sustituir la variable libre por la constante $a$:
$$f(a) = \big. f(x) \big|_{x=a}$$
Jerarquía obligatoria de operaciones:
1. Paréntesis y agrupaciones.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
4. Adiciones y sustracciones.
La alternativa correcta es '-5'. Al sustituir: $f(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$.
Definiciones clave
- Sustitución numérica: Reemplazo directo de la variable independiente por una constante real.
- Valor numérico de la función: Número real resultante de realizar todas las operaciones indicadas en la regla.
Propiedades y relaciones importantes
- Par ordenado asociado: La evaluación $f(a) = b$ genera el punto de coordenadas $(a, b)$ en el plano cartesiano.
- Unicidad de resultado: Cada sustitución válida en el dominio produce una única imagen.
Ejemplo guiado
Dada la función $f(x) = 3x^2 - 5x - 2$, calcula el valor numérico de $f(-3)$.
- Paso 1: Escribir la estructura de la función usando paréntesis para el argumento: $f(-3) = 3(-3)^2 - 5(-3) - 2$.
- Paso 2: Calcular la potencia: $(-3)^2 = 9$, luego $3(9) = 27$.
- Paso 3: Calcular el producto con signo: $-5(-3) = +15$.
- Paso 4: Realizar la suma algebraica: $27 + 15 - 2 = 42 - 2 = 40$.
- Paso 5: Concluir que $f(-3) = 40$.
La alternativa correcta es '6'. Sustituyendo: $g(3) = \frac{2(3) + 6}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Procedimiento
- Paso 1: Comprobar que el valor a evaluar pertenezca al dominio de la función.
- Paso 2: Sustituir la variable $x$ por el número dado colocando paréntesis protectores.
- Paso 3: Resolver potencias respetando las reglas de signos para bases negativas.
- Paso 4: Efectuar multiplicaciones y divisiones.
- Paso 5: Reducir adiciones y sustracciones para obtener el resultado final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Omitir los paréntesis al sustituir números negativos, calculando $-3^2 = -9$ en vez de $(-3)^2 = 9$.
- Cómo corregirlo: Toda sustitución de número negativo en una potencia de exponente par debe llevar paréntesis: $(-a)^2 = a^2$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Sustituir con paréntesis: $f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 5$.
- Paso 2: Calcular potencias: $(-1)^3 = -1$ y $(-1)^2 = 1$.
- Paso 3: Realizar operaciones: $-1 - 2(1) + 5 = -1 - 2 + 5 = 2$.
- Paso 1: Sustituir $x = 4$: $g(4) = \sqrt{3(4) + 4} - \frac{4}{2}$.
- Paso 2: Calcular dentro del radical: $\sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.
- Paso 3: Restar: $4 - 2 = 2$.
- Paso 1: Evaluar el interior: $2(-5) + 3 = -10 + 3 = -7$.
- Paso 2: Aplicar valor absoluto: $|-7| = 7$.
- Paso 3: Restar: $7 - 4 = 3$.
- Paso 1: Numerador: $6 - (-2) = 6 + 2 = 8$.
- Paso 2: Denominador: $-2 - 2 = -4$.
- Paso 3: Cociente: $\frac{8}{-4} = -2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Evaluar funciones algebraicas mediante sustitución numérica directa.
Reemplazando la variable por constantes reales con paréntesis y aplicando la jerarquía formal de operaciones.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Evaluar una función en $x=a$ significa:
Evaluar consiste en reemplazar la variable por el valor dado y simplificar la expresión resultante.
Respuesta: B) Sustituir $x$ por $a$ en la regla y simplificar.
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Al evaluar $f(-3)$ en $f(x)=(-x)^2$, el resultado es positivo.
f(-3) = (-(-3))^2 = 3^2 = 9, un resultado positivo.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el primer paso recomendado al evaluar una función con varios términos?
Usar paréntesis evita errores de signo, especialmente con potencias y valores negativos.
Respuesta: B) Sustituir el valor usando paréntesis en cada aparición de la variable.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$-3^2$ y $(-3)^2$ representan el mismo número.
-3^2 = -9 (el signo no se eleva al cuadrado), mientras que (-3)^2 = 9.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x) = 4x^2 - 3x$, calcula $f(2)$.
f(2) = 4(2)^2 - 3(2) = 4(4) - 6 = 16 - 6 = 10.
Respuesta: A) $10$
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Si $f(x) = -2x + 7$, entonces $f(-4) = 15$.
f(-4) = -2(-4)+7 = 8+7 = 15.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f(x) = x^2 - 2x + 1$, calcula $f(-1)$.
f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
Respuesta: A) $4$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El costo de un plan telefónico se modela por $C(m) = 8000 + 500m$, donde $m$ son los minutos adicionales usados. Si un cliente usó 20 minutos adicionales, ¿cuánto pagó?
C(20) = 8000 + 500(20) = 8000 + 10000 = 18000.
Respuesta: A) \$18.000
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Si la altura de un objeto en caída se modela por $h(t) = 45 - 5t^2$, entonces $h(3) = 0$.
h(3) = 45 - 5(9) = 45 - 45 = 0.
Respuesta: Verdadero
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Un tanque se llena según $V(t) = 20t$ litros, con $t$ en minutos. ¿Cuántos litros contiene el tanque a los 15 minutos?
V(15) = 20(15) = 300.
Respuesta: A) $300$ litros