Evaluación de una función por sustitución numérica
Evaluar una función sustituyendo un valor numérico específico en su regla de correspondencia.
Introducción
Evaluar una función es como seguir una receta: sustituyes el ingrediente (el número) en cada lugar donde aparece la variable, y sigues los pasos hasta obtener el resultado.
Explicación
Definición formal
Sea $f$ una función dada por una expresión algebraica en la variable $x$. Evaluar $f$ en $x=a$ (con $a \in \text{Dom}(f)$) consiste en construir la expresión que resulta de reemplazar cada ocurrencia de $x$ por $a$ y simplificar aplicando las operaciones aritméticas en su orden jerárquico, obteniendo el número $f(a)$.
Desarrollo didáctico
El proceso tiene tres etapas: sustituir, aplicar jerarquía de operaciones, y simplificar.
Si $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ y quieres $f(2)$: sustituyes $x$ por $2$ en cada lugar, obteniendo $3(2)^2 - 2(2) + 1$. Resuelves las potencias primero ($3(4)$), luego las multiplicaciones ($12 - 4$), y finalmente sumas: $12 - 4 + 1 = 9$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe la regla de la función completa.
- Paso 2: Reemplaza cada aparición de la variable por el valor dado, usando paréntesis para evitar errores de signo.
- Paso 3: Resuelve las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas.
- Paso 4: El número resultante es el valor de la función evaluada.
Ejemplos
1 Si $f(x) = 2x^2 + 5$, calcula $f(3)$.
- Sustituimos x por 3 con paréntesis.
- $f(3) = 2(3)^2 + 5 = 2(9) + 5 = 18 + 5 = 23$.
2 Si $f(x) = -x^2 + 4x$, calcula $f(-2)$.
- Sustituimos x por -2, cuidando el signo del cuadrado.
- $f(-2) = -(-2)^2 + 4(-2) = -(4) - 8 = -4 - 8 = -12$.
3 ¿Al evaluar $f(-3)$ en $f(x) = x^2$, el resultado es negativo?
- $f(-3) = (-3)^2 = 9$, un número positivo.
4 ¿El orden de las operaciones importa al evaluar una función?
- Se debe respetar la jerarquía de operaciones (potencias, luego productos, luego sumas) para obtener el resultado correcto.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar usar paréntesis al sustituir valores negativos, calculando $-3^2=-9$ en vez de $(-3)^2=9$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar antes de resolver las potencias o multiplicaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sustituir el valor solo en parte de la expresión cuando la variable aparece varias veces."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir evaluar $f(a)$ con resolver la ecuación $f(x)=a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Evaluar una función $f$ en $x=a$ consiste en sustituir cada aparición de la variable por el valor $a$ en la regla de correspondencia, y luego realizar las operaciones aritméticas indicadas para obtener $f(a)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Evaluar una función en $x=a$ significa:
Evaluar consiste en reemplazar la variable por el valor dado y simplificar la expresión resultante.
Respuesta: B) Sustituir $x$ por $a$ en la regla y simplificar.
-
Al evaluar $f(-3)$ en $f(x)=(-x)^2$, el resultado es positivo.
f(-3) = (-(-3))^2 = 3^2 = 9, un resultado positivo.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el primer paso recomendado al evaluar una función con varios términos?
Usar paréntesis evita errores de signo, especialmente con potencias y valores negativos.
Respuesta: B) Sustituir el valor usando paréntesis en cada aparición de la variable.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$-3^2$ y $(-3)^2$ representan el mismo número.
-3^2 = -9 (el signo no se eleva al cuadrado), mientras que (-3)^2 = 9.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $f(x) = 4x^2 - 3x$, calcula $f(2)$.
f(2) = 4(2)^2 - 3(2) = 4(4) - 6 = 16 - 6 = 10.
Respuesta: A) $10$
-
Si $f(x) = -2x + 7$, entonces $f(-4) = 15$.
f(-4) = -2(-4)+7 = 8+7 = 15.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f(x) = x^2 - 2x + 1$, calcula $f(-1)$.
f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.
Respuesta: A) $4$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El costo de un plan telefónico se modela por $C(m) = 8000 + 500m$, donde $m$ son los minutos adicionales usados. Si un cliente usó 20 minutos adicionales, ¿cuánto pagó?
C(20) = 8000 + 500(20) = 8000 + 10000 = 18000.
Respuesta: A) \$18.000
-
Si la altura de un objeto en caída se modela por $h(t) = 45 - 5t^2$, entonces $h(3) = 0$.
h(3) = 45 - 5(9) = 45 - 45 = 0.
Respuesta: Verdadero
-
Un tanque se llena según $V(t) = 20t$ litros, con $t$ en minutos. ¿Cuántos litros contiene el tanque a los 15 minutos?
V(15) = 20(15) = 300.
Respuesta: A) $300$ litros