Determinación de preimagen a partir de una imagen dada
Calcular la preimagen de un valor resolviendo la ecuación que se obtiene al igualar la función a ese valor.
Introducción
Ahora el juego se invierte. En vez de darte el ingrediente y pedirte el resultado, te dan el resultado y te piden averiguar qué ingrediente lo produjo.
Explicación
Definición formal
Dada una función $f$ y un valor $y_0$ del codominio, hallar la preimagen de $y_0$ es resolver la ecuación $f(x) = y_0$ en la variable $x$; el conjunto de soluciones que pertenecen al dominio de $f$ constituye $f^{-1}(\{y_0\})$.
Desarrollo didáctico
El procedimiento es el inverso de evaluar: en vez de sustituir $x$ y calcular $y$, ahora conoces $y$ y despejas $x$.
Si $f(x) = 2x + 3$ y buscas qué $x$ produce $f(x) = 11$, resuelves $2x+3=11$, obteniendo $2x=8$, $x=4$. Por lo tanto, la preimagen de $11$ es $\{4\}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe la ecuación $f(x) = y_0$, donde $y_0$ es el valor dado.
- Paso 2: Resuelve la ecuación aplicando las técnicas algebraicas correspondientes (transposición, factorización, etc.).
- Paso 3: Verifica que cada solución obtenida pertenezca al dominio de $f$.
- Paso 4: El conjunto de soluciones válidas es la preimagen buscada.
Ejemplos
1 Si $f(x) = 5x - 4$, determina la preimagen de $16$.
- Se resuelve $5x-4=16$.
- $5x=20 \Rightarrow x=4$.
- Preimagen: $\{4\}$.
2 Si $f(x) = x^2 - 1$, determina la preimagen de $8$.
- Se resuelve $x^2-1=8$, es decir $x^2=9$.
- Las soluciones son $x=3$ y $x=-3$.
- Preimagen: $\{3, -3\}$.
3 ¿Determinar la preimagen de $y_0$ es lo mismo que resolver $f(x)=y_0$?
- Por definición, la preimagen son las soluciones de esa ecuación.
4 ¿Toda ecuación $f(x)=y_0$ tiene al menos una solución real?
- Si $y_0$ no pertenece al recorrido de f, la ecuación no tiene solución real (preimagen vacía).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la preimagen con la imagen, evaluando $f(y_0)$ en vez de resolver $f(x)=y_0$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar considerar todas las soluciones cuando la ecuación tiene más de una raíz."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No descartar soluciones que no pertenezcan al dominio de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que la preimagen siempre existe, sin verificar si $y_0$ pertenece al recorrido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Determinar la preimagen de un valor $y_0$ para una función $f$ consiste en resolver la ecuación $f(x) = y_0$ para la incógnita $x$, obteniendo todos los valores del dominio que producen esa imagen.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para hallar la preimagen de $y_0$ en una función $f$, se debe:
La preimagen se define como el conjunto de soluciones de esa ecuación.
Respuesta: B) Resolver la ecuación $f(x)=y_0$.
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La preimagen de un valor puede tener más de una solución.
En funciones no inyectivas, como las cuadráticas, un valor puede tener dos o más preimágenes.
Respuesta: Verdadero
-
Si $y_0$ no pertenece al recorrido de $f$, ¿qué ocurre al resolver $f(x)=y_0$?
Si el valor nunca es alcanzado como imagen, la ecuación correspondiente no tiene solución.
Respuesta: B) La ecuación no tiene solución real.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Hallar la preimagen es el proceso inverso a evaluar una función.
Evaluar sustituye x para hallar y; la preimagen parte de y para despejar x.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x) = 4x - 7$, determina la preimagen de $9$.
Se resuelve 4x-7=9, 4x=16, x=4.
Respuesta: A) $\{4\}$
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Si $f(x) = x^2$, la preimagen de $49$ es $\{7,-7\}$.
Se resuelve x^2=49, obteniendo x=7 y x=-7.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x) = x^2 - 5$, determina la preimagen de $-5$.
Se resuelve x^2-5=-5, es decir x^2=0, con única solución x=0.
Respuesta: A) $\{0\}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El costo de producción se modela por $C(x) = 200 + 25x$. ¿Cuántas unidades $x$ se deben producir para alcanzar un costo de \$700?
Se resuelve 200+25x=700, 25x=500, x=20.
Respuesta: A) $20$ unidades
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Si la altura de un proyectil se modela por $h(t)=-5t^2+20t$ y se pregunta en qué instantes la altura es 0, se debe resolver la ecuación $h(t)=0$.
Buscar los instantes con una altura dada (0 en este caso) es exactamente calcular la preimagen de ese valor.
Respuesta: Verdadero
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Un estanque de agua se vacía según $V(t) = 900 - 60t$ litros. ¿En qué minuto el estanque queda completamente vacío?
Se resuelve 900-60t=0, 60t=900, t=15.
Respuesta: A) Minuto $15$