Determinación de preimagen a partir de una imagen dada

Resumen inicial

Determinar una preimagen consiste en igualar la fórmula de la función al valor de imagen dado y resolver la ecuación resultante para $x$.

Explicación en palabras simples

Determinar una preimagen consiste en igualar la fórmula de la función al valor de imagen dado y resolver la ecuación resultante para $x$

Si te dan el resultado final $y_0$ (la imagen) y te piden ¿de qué número $x$ proviene? (la preimagen):
1. Tomas la fórmula de la función y la igualas al número dado: $f(x) = y_0$.
2. Despejas la incógnita $x$ usando las reglas del álgebra.

Por ejemplo, si $f(x) = 2x - 3$ y te piden la preimagen de $11$:
$$2x - 3 = 11 \implies 2x = 14 \implies x = 7$$

La preimagen de $11$ es $7$.

Explicación formal

Dada una función $f: \text{Dom}(f) \to \mathbb{R}$ y un valor $y_0 \in \text{Rec}(f)$, el conjunto de preimágenes de $y_0$ es el conjunto solución de la ecuación:
$$f(x) = y_0$$

Comportamiento según el tipo de función:
- Funciones lineales/afines ($f(x) = mx + n$ con $m \neq 0$): Poseen exactamente una preimagen única para cada $y_0 \in \mathbb{R}$ ($x = \frac{y_0 - n}{m}$).
- Funciones cuadráticas ($f(x) = ax^2 + bx + c$): Pueden tener $2$, $1$ o ninguna preimagen real según el discriminante $\Delta$ de la ecuación $ax^2 + bx + (c - y_0) = 0$.
- Funciones constantes ($f(x) = k$): Si $y_0 = k$, todo el dominio son preimágenes; si $y_0 \neq k$, no existe ninguna preimagen.

Definiciones clave

Preimagen: Valor de la variable independiente $x$ que satisface la igualdad $f(x) = y_0$.
Ecuación funcional: Expresión algebraica que se resuelve para determinar el valor de entrada original.

Propiedades y relaciones importantes

Inyectividad: Si cada imagen tiene a lo más una preimagen, la función es inyectiva.
Lectura gráfica: Las preimágenes de $y_0$ son las abscisas donde la recta horizontal $y = y_0$ corta a la gráfica.

Ejemplo guiado

Ejemplo Determinar una preimagen consiste en igualar la fórmula de la función al valor de imagen dado y resolver la ecuación resultante para $x$

Dada la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 1$, determina todas las preimágenes del valor $31$.

Paso 1: Plantear la ecuación igualando la regla al valor dado: $2x^2 - 1 = 31$.
Paso 2: Sumar 1 a ambos miembros: $2x^2 = 32$.
Paso 3: Dividir por 2: $x^2 = 16$.
Paso 4: Extraer la raíz cuadrada considerando ambas soluciones reales: $x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$.
Paso 5: Concluir que el valor $31$ tiene dos preimágenes: $x = 4$ y $x = -4$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el valor de la imagen $y_0$ proporcionado en el problema.
Paso 2: Igualar la expresión algebraica de la función a dicho valor: $f(x) = y_0$.
Paso 3: Despejar algebraicamente la variable $x$ aplicando operaciones inversas.
Paso 4: Verificar que las soluciones encontradas pertenezcan al dominio de definición de la función.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Evaluar la función en el número dado calculando $f(y_0)$ en lugar de resolver la ecuación $f(x) = y_0$.
Cómo corregirlo: Recordar que si te dan la imagen, te están dando la salida $y$; debes buscar la entrada $x$ resolviendo la ecuación.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No verificar si el resultado pertenece al dominio en funciones racionales o con radicales."

"Olvidar la raíz negativa en ecuaciones cuadráticas."

"Una imagen puede poseer múltiples preimágenes si la función no es inyectiva."

"Sustituir el valor de la imagen en x en vez de resolver la ecuación."

"Calcular la preimagen de un valor y consiste en resolver la ecuación f(x) = y para encontrar los valores de x correspondientes."

Al terminar debes poder

Resumen Determinar una preimagen consiste en igualar la fórmula de la función al valor de imagen dado y resolver la ecuación resultante para $x$

Determinar y calcular preimágenes de funciones algebraicas a partir de valores de salida.

Igualando la regla funcional a la imagen dada y despejando algebraicamente la variable independiente.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para hallar la preimagen de $y_0$ en una función $f$, se debe:
La preimagen se define como el conjunto de soluciones de esa ecuación.

Respuesta: B) Resolver la ecuación $f(x)=y_0$.
La preimagen de un valor puede tener más de una solución.
Si $y_0$ no pertenece al recorrido de $f$, ¿qué ocurre al resolver $f(x)=y_0$?
Si el valor nunca es alcanzado como imagen, la ecuación correspondiente no tiene solución.

Respuesta: B) La ecuación no tiene solución real.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Hallar la preimagen es el proceso inverso a evaluar una función.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si $f(x) = 4x - 7$, determina la preimagen de $9$.
Se resuelve 4x-7=9, 4x=16, x=4.

Respuesta: A) $\{4\}$
Si $f(x) = x^2$, la preimagen de $49$ es $\{7,-7\}$.
Si $f(x) = x^2 - 5$, determina la preimagen de $-5$.
Se resuelve x^2-5=-5, es decir x^2=0, con única solución x=0.

Respuesta: A) $\{0\}$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El costo de producción se modela por $C(x) = 200 + 25x$. ¿Cuántas unidades $x$ se deben producir para alcanzar un costo de \$700?
Se resuelve 200+25x=700, 25x=500, x=20.

Respuesta: A) $20$ unidades
Si la altura de un proyectil se modela por $h(t)=-5t^2+20t$ y se pregunta en qué instantes la altura es 0, se debe resolver la ecuación $h(t)=0$.
Un estanque de agua se vacía según $V(t) = 900 - 60t$ litros. ¿En qué minuto el estanque queda completamente vacío?
Se resuelve 900-60t=0, 60t=900, t=15.

Respuesta: A) Minuto $15$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación