Verificación de unicidad de imagen para cada preimagen
Aplicar la condición de unicidad de imagen para determinar si una correspondencia dada es una función.
Introducción
La prueba definitiva para saber si algo es una función se reduce a una sola pregunta por cada elemento del dominio: ¿tiene una sola salida, o más de una?
Explicación
Definición formal
Una correspondencia $R \subseteq A \times B$ cumple la condición de unicidad si para todo $x \in A$ y para todo par $y_1, y_2 \in B$ tales que $(x,y_1) \in R$ y $(x,y_2) \in R$, se sigue que $y_1 = y_2$. Esta condición, junto con la de existencia, es una de las dos exigencias que definen a una función.
Desarrollo didáctico
Para verificar unicidad en una lista de pares ordenados, agrupa los pares por su primera componente y revisa si alguna primera componente se repite con una segunda componente distinta.
En un gráfico, la unicidad se verifica con el criterio de la línea vertical: si alguna recta vertical corta la curva en más de un punto, esa curva viola la unicidad y no representa una función.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Lista todos los pares ordenados o revisa el gráfico de la relación.
- Paso 2: Agrupa los pares (o puntos) según su primera componente (valor de $x$).
- Paso 3: Verifica si algún valor de $x$ aparece asociado a más de un valor distinto de $y$.
- Paso 4: Si ocurre, la relación no cumple unicidad y no es función; si no ocurre, la unicidad se cumple.
Ejemplos
1 Verifica la unicidad en $\{(1,3), (2,5), (2,7)\}$.
- El valor $x=2$ aparece dos veces, asociado a $5$ y a $7$.
- Se viola la unicidad de imagen.
2 Un gráfico muestra una circunferencia completa. ¿Cumple el criterio de la línea vertical?
- Una línea vertical que pase por el centro corta a la circunferencia en dos puntos.
- No cumple el criterio; la circunferencia no representa una función.
3 ¿Puede un mismo valor de $x$ tener dos imágenes distintas en una función?
- Eso violaría directamente la condición de unicidad exigida a toda función.
4 ¿Dos valores distintos de $x$ pueden compartir la misma imagen $y$?
- La unicidad exige una sola imagen por cada $x$, pero no impide que distintos $x$ compartan la misma imagen.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la unicidad de imagen con la inyectividad (que exige lo contrario: que distintos $x$ no compartan imagen)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el criterio de la línea vertical usando una línea horizontal por error."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir que una relación no es función solo porque dos pares distintos comparten la misma segunda componente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar revisar todos los valores repetidos de $x$ en una lista extensa de pares ordenados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **condición de unicidad de imagen** exige que, para cada elemento $x$ del dominio, exista a lo más un valor $y$ tal que $(x,y)$ pertenezca a la correspondencia; si algún $x$ se asocia con dos o más valores distintos de $y$, la correspondencia no es una función.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La condición de unicidad de imagen exige que:
La unicidad se exige sobre las imágenes de cada elemento del dominio, no sobre las preimágenes.
Respuesta: B) Cada elemento del dominio tenga a lo más una imagen.
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Si un valor de $x$ aparece asociado a dos valores distintos de $y$, se viola la unicidad de imagen.
Esa es exactamente la definición de la violación de unicidad.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué herramienta gráfica permite verificar la unicidad de imagen?
Si una recta vertical corta la curva en más de un punto, se viola la unicidad.
Respuesta: B) El criterio de la línea vertical.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dos valores distintos de $x$ pueden compartir la misma imagen sin violar la unicidad.
La unicidad exige una sola imagen por cada x, pero no prohíbe que distintos x compartan imagen.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál conjunto de pares viola la unicidad de imagen?
El valor x=1 tiene dos imágenes distintas (2 y 5), violando la unicidad.
Respuesta: B) $\{(1,2),(1,5),(3,4)\}$
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Una circunferencia completa graficada en el plano cartesiano cumple el criterio de la línea vertical.
Una recta vertical que pase por el centro corta la circunferencia en dos puntos, violando la unicidad.
Respuesta: Falso
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Al aplicar el criterio de la línea vertical a la gráfica de $x = y^2$, ¿qué se concluye?
Para x=4, tanto y=2 como y=-2 satisfacen x=y^2, así que una recta vertical en x=4 corta la curva en dos puntos.
Respuesta: B) Que no es función, porque para $x>0$ hay dos valores de $y$ asociados.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si un termómetro defectuoso muestra dos temperaturas distintas para el mismo instante, la correspondencia tiempo-temperatura deja de ser función en ese instante.
Un mismo valor del dominio (instante) con dos imágenes distintas (temperaturas) rompe la unicidad exigida a las funciones.
Respuesta: Verdadero
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Un sistema de matrícula asigna a cada estudiante un único curso. Si un estudiante apareciera matriculado simultáneamente en dos cursos distintos, ¿qué condición de función se violaría?
El mismo estudiante (dominio) tendría dos imágenes distintas (cursos), lo cual viola directamente la unicidad exigida a una función.
Respuesta: B) La condición de unicidad de imagen.
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En un gráfico de altura de un proyectil versus tiempo, una recta vertical siempre corta la curva en un solo punto. ¿Qué garantiza esto sobre la relación altura-tiempo?
El cumplimiento del criterio de la línea vertical confirma que cada instante tiene una única altura asociada, es decir, que la altura es función del tiempo.
Respuesta: A) Que la altura es función del tiempo.