Verificación de unicidad de imagen para cada preimagen
Resumen inicial
La verificación de unicidad comprueba que a cada valor de entrada le corresponda como máximo una única imagen.
Explicación en palabras simples
Para saber si una relación o gráfica representa una función, aplicamos la prueba de la recta vertical:
Si puedes trazar cualquier línea vertical en el gráfico y esta corta a la curva en más de un punto, la relación NO es una función.
Esto se debe a que una misma entrada $x$ tendría dos o más salidas $y$ distintas, violando el principio de unicidad.
Explicación formal
Una relación $R \subseteq A \times B$ satisface la condición de unicidad de imagen si y solo si:
$$\forall x \in A, \ \forall y_1, y_2 \in B, \ \big((x, y_1) \in R \ \land \ (x, y_2) \in R\big) \implies y_1 = y_2$$
Criterio geométrico (Prueba de la recta vertical):
Una curva en el plano cartesiano es la gráfica de una función $y = f(x)$ si y solo si ninguna recta vertical $x = c$ intersecta a la curva en más de un punto.
La alternativa correcta es 'Si una recta vertical corta a la gráfica en más de un punto, no es función.'. La recta vertical detecta si un mismo x tiene múltiples valores de y.
Definiciones clave
- Unicidad de imagen: Condición por la cual cada preimagen tiene asociada a lo más una imagen.
- Prueba de la recta vertical: Método visual para descartar curvas que no representan funciones de $x$.
Propiedades y relaciones importantes
- Circunferencias y elipses: La ecuación $x^2 + y^2 = r^2$ no es una función de $x$ porque las rectas verticales cortan en 2 puntos.
- Parábolas horizontales: $x = y^2$ no es función de $x$ por la misma razón.
Ejemplo guiado
Determina si la relación definida por la ecuación $x^2 + y^2 = 25$ representa a $y$ como función de $x$.
- Paso 1: Despejar la variable dependiente $y$: $y^2 = 25 - x^2$.
- Paso 2: Extraer raíz cuadrada: $y = \pm \sqrt{25 - x^2}$.
- Paso 3: Probar con un valor concreto del dominio, por ejemplo $x = 0$: $y = \pm \sqrt{25} = \pm 5$.
- Paso 4: Para $x = 0$ existen dos imágenes distintas ($5$ y $-5$).
- Paso 5: Concluir que la relación NO es una función de $x$.
La alternativa correcta es 'Porque el valor x = 3 tiene dos imágenes distintas (1 y 5).'. Falla la unicidad.
Procedimiento
- Paso 1: Si se da un conjunto de pares ordenados, revisar si alguna primera componente $x$ se repite con diferente $y$.
- Paso 2: Si se da una gráfica cartesiana, trazar mentalmente rectas verticales a lo largo de todo el dominio.
- Paso 3: Si se da una ecuación, despejar $y$ y verificar si aparecen signos dobles $\pm$.
- Paso 4: Declarar si la relación cumple o no la unicidad funcional.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Confundir la prueba de la recta vertical (que verifica si es función) con la de la recta horizontal (que verifica si es inyectiva).
- Cómo corregirlo: La recta vertical comprueba si cada $x$ tiene un solo $y$ (función). La recta horizontal comprueba si cada $y$ proviene de un solo $x$ (inyectividad).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: En $\{(1, 5), (2, 5), (3, 5)\}$, todas las primeras componentes son distintas ($1, 2, 3$).
- Paso 2: Cumple la unicidad perfectamente.
- Paso 1: Para $x = 4$, $y = 2$ e $y = -2$.
- Paso 2: Hay dos imágenes distintas, luego no es función.
- Paso 1: Al no ser vertical, para cada $x$ existe un único valor $y = mx + n$.
- Paso 1: La recta vertical $x = 3$ contiene pares $(3, 1), (3, 2), (3, 3), \dots$
- Paso 2: La preimagen $3$ tiene infinitas imágenes; no es función.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Verificar y validar la condición de unicidad de imagen en relaciones algebraicas y gráficas.
Aplicando el criterio de la recta vertical sobre curvas cartesianas y comprobando que no existan preimágenes repetidas con distintas imágenes en pares ordenados.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La condición de unicidad de imagen exige que:
La unicidad se exige sobre las imágenes de cada elemento del dominio, no sobre las preimágenes.
Respuesta: B) Cada elemento del dominio tenga a lo más una imagen.
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Si un valor de $x$ aparece asociado a dos valores distintos de $y$, se viola la unicidad de imagen.
Esa es exactamente la definición de la violación de unicidad.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué herramienta gráfica permite verificar la unicidad de imagen?
Si una recta vertical corta la curva en más de un punto, se viola la unicidad.
Respuesta: B) El criterio de la línea vertical.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dos valores distintos de $x$ pueden compartir la misma imagen sin violar la unicidad.
La unicidad exige una sola imagen por cada x, pero no prohíbe que distintos x compartan imagen.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál conjunto de pares viola la unicidad de imagen?
El valor x=1 tiene dos imágenes distintas (2 y 5), violando la unicidad.
Respuesta: B) $\{(1,2),(1,5),(3,4)\}$
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Una circunferencia completa graficada en el plano cartesiano cumple el criterio de la línea vertical.
Una recta vertical que pase por el centro corta la circunferencia en dos puntos, violando la unicidad.
Respuesta: Falso
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Al aplicar el criterio de la línea vertical a la gráfica de $x = y^2$, ¿qué se concluye?
Para x=4, tanto y=2 como y=-2 satisfacen x=y^2, así que una recta vertical en x=4 corta la curva en dos puntos.
Respuesta: B) Que no es función, porque para $x>0$ hay dos valores de $y$ asociados.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si un termómetro defectuoso muestra dos temperaturas distintas para el mismo instante, la correspondencia tiempo-temperatura deja de ser función en ese instante.
Un mismo valor del dominio (instante) con dos imágenes distintas (temperaturas) rompe la unicidad exigida a las funciones.
Respuesta: Verdadero
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Un sistema de matrícula asigna a cada estudiante un único curso. Si un estudiante apareciera matriculado simultáneamente en dos cursos distintos, ¿qué condición de función se violaría?
El mismo estudiante (dominio) tendría dos imágenes distintas (cursos), lo cual viola directamente la unicidad exigida a una función.
Respuesta: B) La condición de unicidad de imagen.
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En un gráfico de altura de un proyectil versus tiempo, una recta vertical siempre corta la curva en un solo punto. ¿Qué garantiza esto sobre la relación altura-tiempo?
El cumplimiento del criterio de la línea vertical confirma que cada instante tiene una única altura asociada, es decir, que la altura es función del tiempo.
Respuesta: A) Que la altura es función del tiempo.