Interpretación de la notación funcional
Interpretar correctamente la notación $f(x)$ y su significado como imagen de $x$ bajo $f$.
Introducción
La escritura $f(x)$ no significa "$f$ multiplicado por $x$". Es un nombre completo para "el valor que la función $f$ produce cuando recibe a $x$".
Explicación
Definición formal
Dada una función $f\colon A \to B$ definida por una regla, la notación $f(x)$ denota el único elemento $y \in B$ tal que $(x,y) \in f$. La expresión $y = f(x)$ establece que $y$ es la imagen de $x$ bajo la función $f$.
Desarrollo didáctico
Piensa en $f$ como el nombre de una máquina y en $(x)$ como el ingrediente que le entregas. $f(x)$ es lo que la máquina entrega de vuelta.
Si $f(x) = 2x+1$, entonces $f(3)$ significa "sustituye $x$ por $3$ en la regla": $f(3) = 2(3)+1 = 7$. El paréntesis no indica multiplicación; indica "evaluado en".
Distintas letras pueden nombrar funciones distintas ($g(x)$, $h(t)$), y la variable dentro del paréntesis puede tener cualquier nombre.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el nombre de la función (por ejemplo $f$) y su regla de correspondencia.
- Paso 2: Identifica el argumento entre paréntesis que debes sustituir.
- Paso 3: Reemplaza cada aparición de la variable en la regla por el argumento dado.
- Paso 4: Realiza las operaciones para obtener el valor numérico o algebraico resultante.
Ejemplos
1 Si $f(x) = 3x - 5$, calcula $f(4)$.
- Sustituimos $x$ por $4$ en $3x-5$.
- $f(4) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7$.
2 Si $g(x) = x^2 + 1$, calcula $g(a)$.
- Se sustituye $x$ por la letra $a$, tratándola como cualquier otro valor.
- $g(a) = a^2 + 1$.
3 ¿La expresión $f(x)$ significa "$f$ multiplicado por $x$"?
- $f(x)$ es notación de evaluación, no de multiplicación; nombra la imagen de $x$ bajo $f$.
4 ¿$f(2)$ representa un elemento del dominio o del codominio?
- $f(2)$ es el resultado de evaluar la función en $x=2$, es decir, la imagen correspondiente en el codominio.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Interpretar $f(x)$ como el producto de $f$ por $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el nombre de la función ($f$) con el nombre de la variable ($x$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al evaluar $f(a+1)$, sustituir solo parcialmente y olvidar reemplazar cada ocurrencia de la variable."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que cambiar el nombre de la variable independiente (de $x$ a $t$) cambia la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir $f(2)$ (evaluar en $2$) con $2f(x)$ (multiplicar la función por $2$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La notación $f(x)$ se lee "$f$ de $x$" y representa la imagen que la función $f$ asigna al elemento $x$ del dominio; $f$ nombra a la función y $x$ es el argumento sustituido en su regla.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La expresión $f(x)$ representa:
f(x) es notación de evaluación: nombra el resultado de aplicar la regla f al argumento x.
Respuesta: B) La imagen que la función $f$ asigna al valor $x$.
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En $g(t) = t^2$, la letra $t$ podría reemplazarse por $x$ sin cambiar la función.
El nombre de la variable independiente es arbitrario; lo que define a la función es su regla de correspondencia.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x) = 4x$, ¿qué representa $2f(x)$ frente a $f(2x)$?
2f(x) = 2(4x) = 8x, mientras que f(2x) = 4(2x) = 8x; en este caso particular coinciden, pero conceptualmente representan operaciones distintas (para otras funciones no coinciden).
Respuesta: B) Son expresiones distintas: una duplica la salida, la otra evalúa en el doble de la entrada.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$f(3)$ es un elemento del dominio de $f$.
f(3) es la imagen obtenida al evaluar en x=3, por lo tanto pertenece al codominio, no al dominio.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x) = 2x^2 - 3$, ¿cuál es el valor de $f(-2)$?
f(-2) = 2(-2)^2 - 3 = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5.
Respuesta: A) $5$
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Si $h(x) = x + 5$, entonces $h(a+1) = a + 6$.
h(a+1) = (a+1) + 5 = a + 6.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x) = x^2 + x$, ¿cuál es el valor de $f(a) - f(1)$ cuando $a=3$?
f(3) = 9+3 = 12; f(1) = 1+1 = 2; f(3)-f(1) = 12-2 = 10.
Respuesta: A) $10$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El costo de fabricar $x$ unidades de un producto se modela por $C(x) = 500 + 20x$. ¿Qué representa $C(50)$?
C(50) evalúa la función en x=50, entregando el costo total asociado a fabricar esa cantidad de unidades.
Respuesta: A) El costo de fabricar 50 unidades.
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Si $P(t)$ modela la población de una ciudad en el año $t$, ¿qué información entrega la ecuación $P(2030) = 500000$?
La igualdad indica que la imagen de t=2030 bajo P es 500000, es decir, la población proyectada para ese año.
Respuesta: A) Que en el año 2030 la población fue 500000 habitantes.
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Si $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ modela el volumen de una esfera de radio $r$, entonces $V(2)$ representa el volumen de una esfera de radio 2.
V(2) evalúa la fórmula en r=2, entregando el volumen correspondiente a ese radio.
Respuesta: Verdadero