Identificación del recorrido de una función
Determinar el recorrido (o rango) de una función como el conjunto de todas las imágenes efectivamente alcanzadas.
Introducción
Si el codominio es "todo lo posible", el recorrido es "todo lo que realmente ocurre". Es el subconjunto del codominio formado únicamente por los valores que sí son imagen de algo.
Explicación
Definición formal
Dada $f\colon A \to B$, el recorrido se define como $\text{Rec}(f) = \{y \in B \colon \exists\, x \in A,\ f(x) = y\}$. Por definición, $\text{Rec}(f) \subseteq B$, y determinarlo requiere analizar qué valores puede tomar realmente la expresión $f(x)$ al variar $x$ en el dominio.
Desarrollo didáctico
Para funciones simples, el recorrido suele obtenerse analizando el comportamiento algebraico o gráfico de la función. Una parábola $f(x)=x^2$ nunca entrega valores negativos, así que su recorrido es $[0,+\infty[$, sin importar que el codominio declarado sea $\mathbb{R}$.
Gráficamente, el recorrido corresponde a la proyección de la gráfica de la función sobre el eje vertical (eje $y$): son todas las alturas que la curva realmente alcanza.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Analiza la expresión algebraica o el gráfico de la función.
- Paso 2: Determina qué valores de $y$ pueden efectivamente obtenerse al variar $x$ dentro del dominio.
- Paso 3: Si trabajas con un gráfico, proyecta la curva sobre el eje $y$ para obtener el recorrido.
- Paso 4: Expresa el recorrido como intervalo o conjunto de valores.
Ejemplos
1 Determina el recorrido de $f(x) = x^2$.
- Todo número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual a cero.
- No existe ningún $x$ real para el cual $x^2$ sea negativo.
- Recorrido: $[0, +\infty[$.
2 Si el gráfico de una función muestra que la curva nunca sube de $y=4$ ni baja de $y=-1$, ¿cuál es su recorrido?
- El recorrido corresponde a la proyección vertical completa de la curva.
- Recorrido: $[-1, 4]$.
3 ¿El recorrido siempre es igual al codominio declarado?
- El recorrido es solo el subconjunto del codominio efectivamente alcanzado; puede ser un subconjunto propio.
4 ¿Un valor que nunca es imagen de ningún $x$ del dominio pertenece al recorrido?
- Por definición, el recorrido solo contiene valores que sí son imagen de al menos un elemento del dominio.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el recorrido con el codominio, entregando el conjunto de llegada completo en vez del subconjunto alcanzado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular el dominio en lugar del recorrido al leer un gráfico."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al proyectar un gráfico, proyectar sobre el eje horizontal en vez del vertical."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que toda función cuadrática tiene recorrido $\mathbb{R}$ sin analizar su comportamiento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **recorrido** (o rango) de una función $f$, denotado $\text{Rec}(f)$, es el conjunto de todos los valores $y$ tales que $y = f(x)$ para algún $x$ del dominio; es un subconjunto del codominio.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El recorrido de $f(x) = x^2$ incluye números negativos.
Ningún real al cuadrado es negativo, por lo que el recorrido es [0,+infinito[.
Respuesta: Falso
-
¿Cómo se obtiene el recorrido a partir de un gráfico?
El recorrido corresponde a las alturas (valores de y) que la curva efectivamente alcanza.
Respuesta: B) Proyectando la curva sobre el eje vertical.
-
El recorrido de una función es:
El recorrido son los valores de y que sí son imagen de algún x del dominio.
Respuesta: B) El conjunto de valores efectivamente alcanzados como imagen.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido siempre es igual al codominio declarado.
Solo coinciden cuando la función es sobreyectiva; en general el recorrido puede ser un subconjunto propio.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el recorrido de $f(x) = -x^2$.
Como x^2 >= 0 siempre, -x^2 <= 0 siempre, alcanzando todos los valores no positivos.
Respuesta: B) $]-\infty, 0]$
-
El recorrido de una función lineal no constante $f(x)=mx+n$ (con $m \neq 0$) es todo $\mathbb{R}$.
Al variar x sobre todo R, mx+n toma todos los valores reales cuando m es distinto de cero.
Respuesta: Verdadero
-
Si el gráfico de una función muestra que la curva nunca baja de $y=-2$ y crece sin límite superior, ¿cuál es su recorrido?
La proyección vertical de la curva parte en -2 (incluido) y se extiende indefinidamente hacia arriba.
Respuesta: A) $[-2, +\infty[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si una función tiene recorrido $\{1,2,3\}$, entonces su codominio debe ser exactamente $\{1,2,3\}$.
El codominio puede ser cualquier conjunto que contenga al recorrido; no está obligado a coincidir exactamente con él.
Respuesta: Falso
-
La altura de una pelota lanzada verticalmente se modela por $h(t) = -5t^2 + 20t$, con $t$ en segundos. Considerando que la pelota nunca baja del suelo, ¿qué representa el recorrido de $h$ en este contexto?
El recorrido, en este contexto físico, corresponde al conjunto de alturas efectivamente alcanzadas por la pelota entre el lanzamiento y la caída.
Respuesta: A) Todas las alturas posibles que la pelota alcanza durante su vuelo.
-
Una empresa modela sus ganancias mensuales con $G(x)$, donde $x$ es la cantidad vendida. Si se observa que $G(x)$ nunca supera los \$2.000.000, ¿qué información entrega esto sobre el recorrido de $G$?
El límite observado en los valores de G(x) (las imágenes) es información directa sobre una cota del recorrido de la función.
Respuesta: A) Que el recorrido está acotado superiormente por \$2.000.000.