Identificación del recorrido de una función
Resumen inicial
El recorrido de una función es el conjunto de todos los valores de salida reales que efectivamente toma la función.
Explicación en palabras simples
El recorrido (o rango/imagen) son todas las respuestas que la función realmente puede generar.
Por ejemplo, si tienes $f(x) = x^2$, al elevar cualquier número real al cuadrado el resultado jamás será negativo.
Por lo tanto, su recorrido empieza en $0$ y llega hasta el infinito: $[0, +\infty[$.
Visualmente en una gráfica, el recorrido es la sombra o proyección de la curva sobre el eje vertical $Y$.
Explicación formal
El recorrido de una función $f: A \to B$, denotado por $\text{Rec}(f)$ o $\text{Im}(f)$, es el conjunto:
$$\text{Rec}(f) = \{y \in B \mid \exists x \in \text{Dom}(f), \ y = f(x)\}$$
Método algebraico para determinar el recorrido:
1. Escribir la ecuación de la función como $y = f(x)$.
2. Despejar algebraicamente la variable $x$ en términos de $y$ ($x = g(y)$).
3. Analizar las restricciones que debe cumplir $y$ para que $x$ exista en los números reales $\mathbb{R}$ (denominadores no nulos, radicandos pares no negativos).
La alternativa correcta es '[5, +inf['. Como $x^2 \geq 0$, al sumar 5 tenemos $x^2 + 5 \geq 5$, luego el valor mínimo es 5.
Definiciones clave
- Recorrido ($ ext{Rec}(f)$): Conjunto de todas las imágenes efectivas de la función.
- Despeje de $x$ en función de $y$: Técnica analítica para hallar las condiciones de existencia sobre la variable dependiente.
Propiedades y relaciones importantes
- Proyección vertical: En el plano cartesiano, el recorrido corresponde al intervalo ocupado por la gráfica sobre el eje $Y$.
- Valor mínimo/máximo: En funciones cuadráticas, el vértice determina el extremo del recorrido.
Ejemplo guiado
Determina el recorrido de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.
- Paso 1: Escribir $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$.
- Paso 2: Multiplicar por el denominador: $y(x - 3) = 2x + 1 \implies yx - 3y = 2x + 1$.
- Paso 3: Agrupar términos con $x$: $yx - 2x = 3y + 1 \implies x(y - 2) = 3y + 1$.
- Paso 4: Despejar $x$: $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$.
- Paso 5: Identificar la restricción sobre $y$: el denominador $y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2$.
- Paso 6: Concluir el recorrido: $\text{Rec}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
La alternativa correcta es 'Todos los números reales R'. Las funciones afines no constantes con dominio $\mathbb{R}$ tienen como recorrido todo $\mathbb{R}$.
Procedimiento
- Paso 1: Igualar la función a la variable $y$: $y = f(x)$.
- Paso 2: Despejar la variable $x$ en términos de $y$.
- Paso 3: Analizar qué valores de $y$ hacen que $x$ exista en los números reales.
- Paso 4: Expresar el conjunto de valores admisibles de $y$ como el recorrido $\text{Rec}(f)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Analizar las restricciones de $x$ en lugar de las restricciones de $y$.
- Cómo corregirlo: Las restricciones de $x$ dan el dominio. Para obtener el recorrido, se debe despejar $x$ y analizar las restricciones que surgen para la variable $y$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Como $(x - 1)^2 \geq 0$, el valor mínimo del cuadrado es $0$.
- Paso 2: Al restar $4$, el valor mínimo de $f(x)$ es $0 - 4 = -4$.
- Paso 3: $\text{Rec}(f) = [-4, +\infty[$.
- Paso 1: El valor absoluto cumple $|x + 3| \geq 0$.
- Paso 2: Sumando $2$, obtenemos $|x + 3| + 2 \geq 2$.
- Paso 3: $\text{Rec}(g) = [2, +\infty[$.
- Paso 1: La función siempre devuelve $-8$ para cualquier valor de entrada.
- Paso 2: El conjunto de imágenes efectivas consta de un único elemento: $\text{Rec}(f) = \{-8\}$.
- Paso 1: El recorrido corresponde a los valores en el eje Y: desde el mínimo $y = -1$ hasta el máximo $y = 5$.
- Paso 2: $\text{Rec}(f) = [-1, 5]$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular y determinar el recorrido de diversas funciones algebraicas y gráficas.
Despejando analíticamente la variable independiente $x$ en función de $y$ o identificando cotas mínimas y máximas en la gráfica.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El recorrido de $f(x) = x^2$ incluye números negativos.
Ningún real al cuadrado es negativo, por lo que el recorrido es [0,+infinito[.
Respuesta: Falso
-
¿Cómo se obtiene el recorrido a partir de un gráfico?
El recorrido corresponde a las alturas (valores de y) que la curva efectivamente alcanza.
Respuesta: B) Proyectando la curva sobre el eje vertical.
-
El recorrido de una función es:
El recorrido son los valores de y que sí son imagen de algún x del dominio.
Respuesta: B) El conjunto de valores efectivamente alcanzados como imagen.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El recorrido siempre es igual al codominio declarado.
Solo coinciden cuando la función es sobreyectiva; en general el recorrido puede ser un subconjunto propio.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el recorrido de $f(x) = -x^2$.
Como x^2 >= 0 siempre, -x^2 <= 0 siempre, alcanzando todos los valores no positivos.
Respuesta: B) $]-\infty, 0]$
-
El recorrido de una función lineal no constante $f(x)=mx+n$ (con $m \neq 0$) es todo $\mathbb{R}$.
Al variar x sobre todo R, mx+n toma todos los valores reales cuando m es distinto de cero.
Respuesta: Verdadero
-
Si el gráfico de una función muestra que la curva nunca baja de $y=-2$ y crece sin límite superior, ¿cuál es su recorrido?
La proyección vertical de la curva parte en -2 (incluido) y se extiende indefinidamente hacia arriba.
Respuesta: A) $[-2, +\infty[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si una función tiene recorrido $\{1,2,3\}$, entonces su codominio debe ser exactamente $\{1,2,3\}$.
El codominio puede ser cualquier conjunto que contenga al recorrido; no está obligado a coincidir exactamente con él.
Respuesta: Falso
-
La altura de una pelota lanzada verticalmente se modela por $h(t) = -5t^2 + 20t$, con $t$ en segundos. Considerando que la pelota nunca baja del suelo, ¿qué representa el recorrido de $h$ en este contexto?
El recorrido, en este contexto físico, corresponde al conjunto de alturas efectivamente alcanzadas por la pelota entre el lanzamiento y la caída.
Respuesta: A) Todas las alturas posibles que la pelota alcanza durante su vuelo.
-
Una empresa modela sus ganancias mensuales con $G(x)$, donde $x$ es la cantidad vendida. Si se observa que $G(x)$ nunca supera los \$2.000.000, ¿qué información entrega esto sobre el recorrido de $G$?
El límite observado en los valores de G(x) (las imágenes) es información directa sobre una cota del recorrido de la función.
Respuesta: A) Que el recorrido está acotado superiormente por \$2.000.000.