Identificación del dominio de una función
Resumen inicial
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores reales de entrada para los cuales la función está matemáticamente definida.
Explicación en palabras simples
El dominio representa todos los números $x$ que puedes introducir en la función sin que se produzcan operaciones matemáticas inválidas o prohibidas.
En los números reales $\mathbb{R}$, las dos restricciones más habituales son:
1. División por cero: El denominador nunca puede ser $0$.
2. Raíces cuadradas (o de índice par) de números negativos: La cantidad dentro de la raíz debe ser mayor o igual a $0$.
Si una función no tiene ninguna restricción, su dominio son todos los números reales ($\mathbb{R}$).
Explicación formal
Sea $f: A \to B$ una función real de variable real. El dominio de $f$, denotado por $\text{Dom}(f)$, es el conjunto:
$$\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in \mathbb{R}\}$$
Criterios de restricción de dominio:
- Fracciones algebraicas: Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, entonces $\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$.
- Radicales de índice par: Si $f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$, entonces $\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) \ge 0\}$.
- Polinomios: Para cualquier función polinomial $P(x)$, $\text{Dom}(P) = \mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'Todos los reales excepto -7 (R \ {-7})'. El denominador se anula en $x = -7$, por lo que debe excluirse del dominio.
Definiciones clave
- Dominio ($ ext{Dom}(f)$): Conjunto de todas las preimágenes admisibles en los reales.
- Restricción de dominio: Condición algebraica que excluye ciertos números reales para evitar indeterminaciones.
Propiedades y relaciones importantes
- Lectura en el plano: En el gráfico cartesiano, el dominio corresponde a la proyección de la curva sobre el eje horizontal $X$.
- Intersección de restricciones: Si una función combina varias operaciones restringidas, su dominio es la intersección de todas las condiciones individuales.
Ejemplo guiado
Determina el dominio de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$.
- Paso 1: Identificar la restricción: por ser una fracción, el denominador no puede anularse.
- Paso 2: Plantear la condición de no nulidad: $x - 4 \neq 0$.
- Paso 3: Resolver la desigualdad: $x \neq 4$.
- Paso 4: Expresar el dominio en notación de conjuntos o intervalos: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{4\} = ]-\infty, 4[ \cup ]4, +\infty[$.
La alternativa correcta es '[6, +inf['. La cantidad subradical debe ser no negativa: $x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6$.
Procedimiento
- Paso 1: Examinar la expresión algebraica en busca de denominadores o raíces de índice par.
- Paso 2: Si hay denominadores, igualarlos a cero y excluir esas raíces de $\mathbb{R}$.
- Paso 3: Si hay raíces pares, plantear la inecuación $\text{radicando} \ge 0$ y resolver el intervalo.
- Paso 4: Intersectar las condiciones obtenidas y redactar el dominio final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Excluir valores que anulan el numerador en vez del denominador.
- Cómo corregirlo: El numerador puede ser cero sin ningún inconveniente (daría resultado $0$); la única operación no permitida es que el denominador sea cero.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $f(x)$ es una función cuadrática polinomial.
- Paso 2: No presenta denominadores con variables ni raíces.
- Paso 3: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 1: Factorizar el denominador: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \neq 0$.
- Paso 2: Los valores prohibidos son $x = 3$ y $x = -3$.
- Paso 3: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.
- Paso 1: Por estar dentro de una raíz cuadrada debe ser $\ge 0$, pero por estar en el denominador no puede ser $0$.
- Paso 2: Condición estricta: $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
- Paso 3: $\text{Dom}(h) = ]2, +\infty[$.
- Paso 1: Círculo cerrado en $-3$ indica corchete hacia adentro: $[-3$.
- Paso 2: Círculo abierto en $5$ indica corchete hacia afuera: $5[$.
- Paso 3: $\text{Dom}(f) = [-3, 5[$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Identificar y calcular analíticamente el dominio de una función real.
Detectando restricciones algebraicas por división por cero y raíces pares para escribir el conjunto solución en notación de intervalos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El dominio de una función es:
El dominio son los valores admisibles de la variable independiente, no las imágenes ni el conjunto de llegada.
Respuesta: B) El conjunto de valores para los cuales la función está definida.
-
El dominio de $f(x) = \frac{1}{x}$ incluye a $x=0$.
x=0 anula el denominador, dejando la expresión indefinida; se excluye del dominio.
Respuesta: Falso
-
¿Cuál operación NO restringe el dominio de una función?
Sumas y restas nunca generan indefiniciones; las divisiones y raíces de índice par sí lo hacen.
Respuesta: C) Sumar o restar términos con la variable.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El dominio de todo polinomio es el conjunto de los números reales.
Los polinomios no involucran divisiones ni raíces de índice par, así que no tienen restricciones.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Determina el dominio de $f(x) = \frac{3}{x-5}$.
El denominador x-5 no puede ser cero, por lo que x=5 se excluye del dominio.
Respuesta: A) $\mathbb{R} - \{5\}$
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El dominio de $f(x) = \sqrt{x+7}$ es $[-7, +\infty[$.
Se exige x+7 >= 0, es decir x >= -7.
Respuesta: Verdadero
-
Determina el dominio de $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-1}}$.
El radicando debe ser mayor que cero (estrictamente, porque además está en el denominador), así que x-1 > 0, x > 1.
Respuesta: A) $]1, +\infty[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El tiempo $t$ (en horas) que demora un grifo en llenar un estanque de $V$ litros a razón de $r$ litros por hora se modela por $t(r) = \frac{V}{r}$. ¿Qué valor debe excluirse del dominio de $t$?
Si el caudal r fuera 0, el estanque nunca se llenaría y la división quedaría indefinida; por eso r=0 se excluye del dominio.
Respuesta: A) $r = 0$
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La altura de un objeto en caída libre se modela por $h(t) = 100 - 5t^2$. Considerando el contexto físico, ¿cuál es el dominio adecuado para $t$?
Aunque la fórmula esté definida para todo real, el contexto físico exige tiempo no negativo y altura no negativa; el dominio matemático de la fórmula debe restringirse según el contexto.
Respuesta: B) Solo los valores de $t \geq 0$ para los cuales $h(t) \geq 0$.
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En la función $f(x) = \frac{x+1}{x^2-9}$, los valores $x=3$ y $x=-3$ deben excluirse del dominio.
x^2-9 = (x-3)(x+3) se anula en x=3 y x=-3, indefiniendo la expresión en ambos puntos.
Respuesta: Verdadero