Identificación del dominio de una función
Identificar el dominio de una función como el conjunto de todos los valores admisibles para la variable independiente.
Introducción
No todos los números pueden entrar en una función sin causar problemas (como dividir por cero). El dominio es la lista de entradas permitidas.
Explicación
Definición formal
El dominio de una función $f\colon A \to B$, denotado $\text{Dom}(f)$, es el subconjunto de $A$ formado por todos los valores $x$ para los cuales existe $f(x) \in B$. Cuando $f$ está dada por una fórmula sin restricción explícita de conjunto de partida, $\text{Dom}(f)$ es el mayor subconjunto de $\mathbb{R}$ donde la fórmula produce un valor real definido.
Desarrollo didáctico
Para hallar el dominio de una fórmula, busca las operaciones que "rompen" la definición: divisiones (el denominador no puede ser cero) y raíces de índice par (el radicando no puede ser negativo).
Si $f(x) = \frac{1}{x-3}$, el valor $x=3$ anula el denominador, así que $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{3\}$.
Si $f(x) = \sqrt{x-2}$, se exige $x-2 \geq 0$, es decir $\text{Dom}(f) = [2, +\infty[$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Observa la fórmula de la función en busca de divisiones o raíces de índice par.
- Paso 2: Si hay una división, iguala el denominador a cero y excluye esos valores del dominio.
- Paso 3: Si hay una raíz de índice par, exige que el radicando sea mayor o igual a cero y resuelve la inecuación.
- Paso 4: Si no hay restricciones, el dominio es todo $\mathbb{R}$.
Ejemplos
1 Determina el dominio de $f(x) = \frac{5}{x+2}$.
- {'El denominador no puede ser cero': '$x + 2 \\neq 0 \\Rightarrow x \\neq -2$.'}
- Dominio: $\mathbb{R} - \{-2\}$.
2 Determina el dominio de $f(x) = \sqrt{5-x}$.
- {'El radicando debe ser no negativo': '$5 - x \\geq 0 \\Rightarrow x \\leq 5$.'}
- Dominio: $]-\infty, 5]$.
3 ¿El dominio de $f(x) = x^2 + 3x - 1$ es todo $\mathbb{R}$?
- Es un polinomio; no tiene divisiones ni raíces, por lo que no hay valores prohibidos.
4 ¿$x=3$ pertenece al dominio de $f(x) = \frac{2}{x-3}$?
- En $x=3$ el denominador se anula, dejando la expresión indefinida.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restringir el dominio cuando hay una variable en el denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Exigir que el radicando sea estrictamente positivo en vez de mayor o igual a cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el dominio con el recorrido de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que el dominio de todo polinomio tiene restricciones, sin verificar que no las tiene."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No combinar todas las restricciones cuando hay más de una operación conflictiva en la misma fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **dominio** de una función $f$ es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales $f(x)$ está definida, es decir, el conjunto de partida sobre el que la función efectivamente asigna imágenes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El dominio de una función es:
El dominio son los valores admisibles de la variable independiente, no las imágenes ni el conjunto de llegada.
Respuesta: B) El conjunto de valores para los cuales la función está definida.
-
El dominio de $f(x) = \frac{1}{x}$ incluye a $x=0$.
x=0 anula el denominador, dejando la expresión indefinida; se excluye del dominio.
Respuesta: Falso
-
¿Cuál operación NO restringe el dominio de una función?
Sumas y restas nunca generan indefiniciones; las divisiones y raíces de índice par sí lo hacen.
Respuesta: C) Sumar o restar términos con la variable.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El dominio de todo polinomio es el conjunto de los números reales.
Los polinomios no involucran divisiones ni raíces de índice par, así que no tienen restricciones.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Determina el dominio de $f(x) = \frac{3}{x-5}$.
El denominador x-5 no puede ser cero, por lo que x=5 se excluye del dominio.
Respuesta: A) $\mathbb{R} - \{5\}$
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El dominio de $f(x) = \sqrt{x+7}$ es $[-7, +\infty[$.
Se exige x+7 >= 0, es decir x >= -7.
Respuesta: Verdadero
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Determina el dominio de $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-1}}$.
El radicando debe ser mayor que cero (estrictamente, porque además está en el denominador), así que x-1 > 0, x > 1.
Respuesta: A) $]1, +\infty[$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El tiempo $t$ (en horas) que demora un grifo en llenar un estanque de $V$ litros a razón de $r$ litros por hora se modela por $t(r) = \frac{V}{r}$. ¿Qué valor debe excluirse del dominio de $t$?
Si el caudal r fuera 0, el estanque nunca se llenaría y la división quedaría indefinida; por eso r=0 se excluye del dominio.
Respuesta: A) $r = 0$
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La altura de un objeto en caída libre se modela por $h(t) = 100 - 5t^2$. Considerando el contexto físico, ¿cuál es el dominio adecuado para $t$?
Aunque la fórmula esté definida para todo real, el contexto físico exige tiempo no negativo y altura no negativa; el dominio matemático de la fórmula debe restringirse según el contexto.
Respuesta: B) Solo los valores de $t \geq 0$ para los cuales $h(t) \geq 0$.
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En la función $f(x) = \frac{x+1}{x^2-9}$, los valores $x=3$ y $x=-3$ deben excluirse del dominio.
x^2-9 = (x-3)(x+3) se anula en x=3 y x=-3, indefiniendo la expresión en ambos puntos.
Respuesta: Verdadero