Identificación del codominio de una función
Resumen inicial
El codominio de una función es el conjunto de llegada declarado donde potencialmente caen todas sus imágenes.
Explicación en palabras simples
Cuando defines una función $f: A \to B$, el conjunto $A$ es de donde salen los números (dominio) y el conjunto $B$ es a donde llegan (codominio).
El codominio es el conjunto de llegada completo.
Es fundamental no confundirlo con el recorrido: el recorrido son solo las salidas que realmente se alcanzan, mientras que el codominio es el conjunto total declarado como destino.
Explicación formal
Dada una función $f: A \to B$:
- El conjunto $B$ se denomina formalmente codominio o conjunto de llegada de $f$, denotado $\text{Codom}(f) = B$.
- El recorrido $\text{Rec}(f)$ siempre es un subconjunto del codominio:
$$\text{Rec}(f) \subseteq \text{Codom}(f)$$
- Si $\text{Rec}(f) = \text{Codom}(f)$, la función se clasifica como sobreyectiva (o epiyectiva).
La alternativa correcta es 'El conjunto de los números racionales Q'. En $g: A \to B$, el codominio es el conjunto de llegada $B$, que en este caso es $\mathbb{Q}$.
Definiciones clave
- Codominio ($ ext{Codom}(f)$): Conjunto de llegada formalmente establecido en la definición de la función.
- Conjunto de llegada vs Imagen: El codominio es el espacio destino global; las imágenes son los elementos de ese espacio efectivamente alcanzados.
Propiedades y relaciones importantes
- Declaración explícita: El codominio viene dado en la definición de la función ($f: A \to B$).
- Inclusión: Todo elemento del recorrido pertenece al codominio, pero pueden sobrar elementos en el codominio sin preimagen.
Ejemplo guiado
Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2$, identifica su dominio, su codominio y explica por qué el número $-5$ pertenece al codominio pero no al recorrido.
- Paso 1: Leer la declaración $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
- Paso 2: El primer conjunto es el dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 3: El segundo conjunto es el codominio: $\text{Codom}(f) = \mathbb{R}$.
- Paso 4: Dado que $x^2 \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, las salidas solo toman valores no negativos. Por tanto, $-5 \in \text{Codom}(f)$, pero $-5 \notin \text{Rec}(f)$.
La alternativa correcta es 'El recorrido es un subconjunto del codominio (Rec(f) ⊆ Codom(f)).'.
Procedimiento
- Paso 1: Localizar la notación estructural $f: A \to B$.
- Paso 2: Identificar el conjunto situado a la derecha de la flecha ($B$) como el codominio.
- Paso 3: Si no se especifica de forma explícita y se trabaja en funciones reales, el codominio por defecto es $\mathbb{R}$.
- Paso 4: Comparar si el problema pide el codominio (conjunto destino $B$) o el recorrido (imágenes efectivas).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Creer que el codominio debe calcularse despejando $x$.
- Cómo corregirlo: El cálculo algebraico de existencia despejando $x$ determina el recorrido. El codominio es simplemente el conjunto destino declarado en la definición de la función.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: En la notación $h: A \to B$, el codominio es $B$.
- Paso 2: Aquí $B = [0, +\infty[$, por lo que el codominio es $[0, +\infty[$.
- Paso 1: El codominio declarado es $\mathbb{R}$.
- Paso 2: Como $-3 \in \mathbb{R}$, pertenece al codominio (aunque no pertenezca al recorrido).
- Paso 1: El conjunto de llegada es $\{A, B, C\}$.
- Paso 2: Aunque $C$ no se use, forma parte del codominio.
- Paso 1: En el análisis de funciones reales de variable real, el codominio estándar por defecto es $\mathbb{R}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Identificar y diferenciar el codominio de una función respecto a su dominio y recorrido.
Extrayendo el conjunto de llegada a partir de la definición estructural $f: A \to B$ y reconociendo su relación de inclusión con el recorrido.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El codominio de una función $f: A \to B$ es:
El codominio es el conjunto de llegada fijado en la definición, sin importar si todos sus elementos son alcanzados.
Respuesta: B) El conjunto $B$ declarado como conjunto de llegada.
-
El recorrido siempre está contenido en el codominio.
Por definición, toda imagen efectiva pertenece al conjunto de llegada declarado.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x)=x^2$, ¿los números negativos pertenecen al codominio?
El codominio se declara como conjunto de llegada completo, independiente de qué valores sean realmente alcanzados.
Respuesta: A) Sí, porque el codominio es todo $\mathbb{R}$ aunque nunca sean imagen.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Determinar el codominio de una función requiere calcular todas sus imágenes.
El codominio se lee directamente de la notación f: A -> B; calcular las imágenes da el recorrido, no el codominio.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si no se declara explícitamente el codominio de una función dada por fórmula, suele asumirse $\mathbb{R}$.
Es la convención habitual cuando no se especifica un conjunto de llegada distinto.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, ¿cuál es el codominio de $f$?
El codominio es el segundo conjunto declarado en la notación f: A -> B, en este caso los naturales.
Respuesta: B) $\mathbb{N}$
-
Si $g: \mathbb{R} \to [0, +\infty[$ con $g(x) = |x|$, ¿cuál es el codominio y coincide con el recorrido?
El codominio declarado es [0,+infinito[; como el valor absoluto alcanza todos los no negativos, el recorrido coincide con el codominio (la función es sobreyectiva).
Respuesta: A) Codominio $[0,+\infty[$, y sí coincide con el recorrido.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si el codominio declarado de una función es $\mathbb{R}$ y su recorrido resulta ser $[0,+\infty[$, la función no es sobreyectiva.
La sobreyectividad exige que recorrido y codominio coincidan; aquí el recorrido es un subconjunto propio del codominio.
Respuesta: Verdadero
-
Al definir una función de temperatura $T: [0,24] \to \mathbb{R}$, ¿por qué se declara $\mathbb{R}$ como codominio en vez de un intervalo más ajustado?
Declarar un codominio amplio como R evita tener que ajustar la definición si el rango real de temperaturas varía; el recorrido efectivo puede ser un subconjunto más acotado.
Respuesta: B) Porque puede resultar más práctico no acotar de antemano el rango de valores posibles.
-
Un sistema declara que la función 'nota final' asigna a cada estudiante un valor en el codominio $[1,0;\ 7,0]$. ¿Qué significa esto?
El codominio fija el rango posible de llegada; no garantiza que cada valor del rango sea efectivamente alcanzado por algún estudiante.
Respuesta: B) Que las notas asignadas nunca podrán salir de ese rango, aunque no todos los valores se usen.