Identificación de una relación que no es función
Resumen inicial
Identificar una relación que no es función consiste en detectar fallas de existencia o de unicidad en la asignación de elementos.
Explicación en palabras simples
Una relación entre dos conjuntos deja de ser una función cuando ocurre cualquiera de estos dos problemas:
- Falta de unicidad (Bifurcación): Un elemento del conjunto de partida tiene dos o más flechas que apuntan a salidas distintas.
- Falta de existencia (Elemento huérfano): Un elemento del conjunto de partida se queda sin ninguna flecha, es decir, no tiene ninguna imagen asignada.
Si detectas cualquiera de estos dos casos, la relación NO es una función.
Explicación formal
Sea $R \subseteq A \times B$ una relación binaria del conjunto $A$ en el conjunto $B$. La relación $R$ no es una función de $A$ en $B$ si se cumple al menos una de las siguientes proposiciones:
- Incumplimiento de existencia: $\exists x \in A \mid \forall y \in B, \ (x, y) \notin R$
- Incumplimiento de unicidad: $\exists x \in A, \ \exists y_1, y_2 \in B \mid (x, y_1) \in R \ \land \ (x, y_2) \in R \ \land \ y_1 \neq y_2$
Representaciones comunes de no-funciones:
- Diagramas de Venn/Sagitales: Elementos de partida con múltiples flechas o sin flecha.
- Gráficas en el plano: Curvas cerradas (círculos, elipses), lazos o curvas con retrocesos horizontales.
La alternativa correcta es 'Que sobren elementos en A sin imagen o que un elemento de A tenga más de una imagen.'.
Definiciones clave
- Relación no funcional: Relación binaria que viola la existencia de imagen en todo el dominio o la unicidad de asignación.
- Elemento huérfano: Elemento del conjunto de partida que carece de imagen asignada.
Propiedades y relaciones importantes
- Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
- Subconjunto de $A \times B$: Cualquier conjunto de pares ordenados es una relación, pero solo los que cumplen unicidad y existencia total son funciones.
Ejemplo guiado
Sean $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{a, b, c\}$. Analiza si las siguientes relaciones de $A$ en $B$ son funciones:
1) $R_1 = \{(1, a), (2, b)\}$
2) $R_2 = \{(1, a), (2, b), (2, c), (3, a)\}$
- Paso 1: Analizar $R_1$: El elemento $3 \in A$ no aparece como primera componente (no tiene imagen). Falla la condición de existencia. $R_1$ NO es función de $A$ en $B$.
- Paso 2: Analizar $R_2$: El elemento $2 \in A$ está asociado a dos imágenes distintas: $(2, b)$ y $(2, c)$. Falla la unicidad. $R_2$ NO es función.
- Paso 3: Concluir que ninguna de las dos relaciones es una función de $A$ en $B$.
La alternativa correcta es 'El 10 tiene dos imágenes distintas (1 y 2).'.
Procedimiento
- Paso 1: Verificar que cada elemento del conjunto de partida $A$ tenga asignada al menos una imagen.
- Paso 2: Verificar que ningún elemento del conjunto de partida tenga dos o más imágenes distintas.
- Paso 3: Si alguna de las dos condiciones falla, clasificar la relación como NO función e indicar la causa exacta.
- Paso 4: Si ambas se cumplen, confirmar que es una función válida.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Descalificar una relación como función porque sobran elementos en el conjunto de llegada $B$.
- Cómo corregirlo: En el conjunto de llegada $B$ pueden sobrar elementos sin recibir flechas sin que la función pierda validez. Donde no pueden sobrar elementos es en el conjunto de partida $A$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: El elemento $r \in A$ no tiene imagen.
- Paso 2: Falla la condición de existencia en el conjunto de partida, luego no es función.
- Paso 1: El número $1$ aparece con $y = 2$ y con $y = 5$.
- Paso 2: Viola la condición de unicidad.
- Paso 1: Al trazar una recta vertical por el interior de la elipse, corta en dos puntos (arriba y abajo).
- Paso 2: No cumple la prueba de la recta vertical, no es función.
- Paso 1: Cada elemento de $A$ tiene una sola imagen ($9$).
- Paso 2: Es una función constante perfectamente válida.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Identificar y justificar cuándo una relación matemática no califica como función.
Detectando elementos del dominio sin imagen o preimágenes con múltiples imágenes en diagramas, pares ordenados y curvas en el plano.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Una relación deja de ser función cuando:
Basta violar existencia o unicidad para que la correspondencia deje de ser función.
Respuesta: B) Algún elemento del dominio no tiene imagen, o tiene más de una.
-
Basta un solo contraejemplo para demostrar que una relación no es función.
Un único elemento que viole existencia o unicidad es suficiente para descartar que sea función.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de las siguientes gráficas seguramente NO representa una función?
Existen rectas verticales que cortan la circunferencia en dos puntos, violando la unicidad de imagen.
Respuesta: C) Una circunferencia completa.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Toda ecuación con dos variables define una función.
Ecuaciones como x^2+y^2=1 (circunferencia) no cumplen unicidad de imagen para todo x del dominio.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
La relación $\{(1,2),(1,6),(3,4)\}$ es una función.
El elemento 1 tiene dos imágenes distintas (2 y 6), violando la unicidad.
Respuesta: Falso
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¿Por qué la ecuación $x = y^2$ no define a $y$ como función de $x$?
Para x=9, tanto y=3 como y=-3 cumplen x=y^2, violando la unicidad de imagen para y en función de x.
Respuesta: A) Porque para $x>0$ existen dos valores de $y$ que la satisfacen.
-
En $A=\{1,2,3\}$, la relación $\{(1,4),(2,5)\}$, ¿por qué no es función de $A$ en $B$?
El elemento 3 de A no aparece como primera componente en ningún par, violando la existencia.
Respuesta: A) Porque el elemento 3 no tiene imagen asignada.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La relación que asigna a cada número entero sus divisores positivos no es una función, porque la mayoría de los números tienen más de un divisor.
Un número entero con más de un divisor tendría múltiples 'imágenes' simultáneas, violando la unicidad exigida a una función.
Respuesta: Verdadero
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Una encuesta registra, para cada persona encuestada, todos los deportes que practica (pudiendo ser varios o ninguno). ¿Por qué esta correspondencia persona-deporte NO es una función?
Una persona sin deportes practicados rompe la existencia, y una persona con más de un deporte rompe la unicidad; cualquiera de las dos situaciones basta para que no sea función.
Respuesta: A) Porque puede violar tanto existencia (personas sin deporte) como unicidad (personas con varios deportes).
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Un banco registra, para cada monto de depósito, todas las cuentas que en algún momento depositaron exactamente ese monto. ¿Es esta correspondencia una función de montos a cuentas?
Si varias cuentas comparten el mismo monto depositado, ese monto (dominio) tendría asociada más de una cuenta (imagen), violando la unicidad.
Respuesta: A) No, porque un mismo monto puede haber sido depositado por varias cuentas distintas.