Identificación de una relación que no es función
Reconocer correspondencias que, por violar existencia o unicidad, son relaciones pero no funciones.
Introducción
No toda flecha entre dos conjuntos merece llamarse función. Cuando alguna regla básica se rompe, solo queda una relación general.
Explicación
Definición formal
Una relación $R \subseteq A \times B$ no es una función de $A$ en $B$ si viola al menos una de las dos condiciones que definen a las funciones: existe algún $x \in A$ tal que no hay $y \in B$ con $(x,y) \in R$ (falla de existencia), o existe algún $x \in A$ con dos pares $(x,y_1), (x,y_2) \in R$ tales que $y_1 \neq y_2$ (falla de unicidad).
Desarrollo didáctico
Para detectar una relación que no es función, basta con encontrar un solo contraejemplo: un elemento del dominio sin imagen, o un elemento con dos imágenes distintas.
Gráficamente, si alguna recta vertical no toca la curva en ningún punto (falla de existencia) o la toca en más de uno (falla de unicidad), la curva representa una relación, pero no una función.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Revisa si todo elemento del conjunto de partida tiene al menos una imagen asignada.
- Paso 2: Revisa si algún elemento del conjunto de partida tiene más de una imagen asignada.
- Paso 3: Si alguna de las dos revisiones falla, la correspondencia es una relación, pero no una función.
Ejemplos
1 En $A=\{1,2,3\}$, la relación $\{(1,4), (2,5)\}$, ¿es función de $A$ en $B$?
- El elemento $3 \in A$ no tiene ninguna imagen asignada en la relación.
- Se viola la condición de existencia; no es una función de $A$ en $B$.
2 La relación $\{(1,2), (1,6), (3,4)\}$, ¿es una función?
- El elemento $1$ tiene asignadas dos imágenes distintas, $2$ y $6$.
- Se viola la condición de unicidad; no es una función.
3 ¿Una circunferencia completa en el plano cartesiano representa una función?
- Existen valores de $x$ (el diámetro horizontal) donde una recta vertical corta la circunferencia en dos puntos, violando la unicidad.
4 ¿Basta con encontrar un solo elemento del dominio con dos imágenes para descartar que sea función?
- Un único contraejemplo de falla de unicidad (o de existencia) es suficiente para descartar que la relación sea función.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Concluir que una relación es función solo por revisar unos pocos elementos, sin verificar todos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No distinguir entre falla de existencia y falla de unicidad al justificar por qué algo no es función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar el criterio de la línea vertical usando una línea horizontal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que toda relación entre números reales definida por una ecuación es automáticamente una función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una correspondencia entre dos conjuntos es una **relación que no es función** cuando existe al menos un elemento del dominio sin imagen asignada (falla de existencia) o con más de una imagen asignada (falla de unicidad).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Una relación deja de ser función cuando:
Basta violar existencia o unicidad para que la correspondencia deje de ser función.
Respuesta: B) Algún elemento del dominio no tiene imagen, o tiene más de una.
-
Basta un solo contraejemplo para demostrar que una relación no es función.
Un único elemento que viole existencia o unicidad es suficiente para descartar que sea función.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de las siguientes gráficas seguramente NO representa una función?
Existen rectas verticales que cortan la circunferencia en dos puntos, violando la unicidad de imagen.
Respuesta: C) Una circunferencia completa.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Toda ecuación con dos variables define una función.
Ecuaciones como x^2+y^2=1 (circunferencia) no cumplen unicidad de imagen para todo x del dominio.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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La relación $\{(1,2),(1,6),(3,4)\}$ es una función.
El elemento 1 tiene dos imágenes distintas (2 y 6), violando la unicidad.
Respuesta: Falso
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¿Por qué la ecuación $x = y^2$ no define a $y$ como función de $x$?
Para x=9, tanto y=3 como y=-3 cumplen x=y^2, violando la unicidad de imagen para y en función de x.
Respuesta: A) Porque para $x>0$ existen dos valores de $y$ que la satisfacen.
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En $A=\{1,2,3\}$, la relación $\{(1,4),(2,5)\}$, ¿por qué no es función de $A$ en $B$?
El elemento 3 de A no aparece como primera componente en ningún par, violando la existencia.
Respuesta: A) Porque el elemento 3 no tiene imagen asignada.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La relación que asigna a cada número entero sus divisores positivos no es una función, porque la mayoría de los números tienen más de un divisor.
Un número entero con más de un divisor tendría múltiples 'imágenes' simultáneas, violando la unicidad exigida a una función.
Respuesta: Verdadero
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Una encuesta registra, para cada persona encuestada, todos los deportes que practica (pudiendo ser varios o ninguno). ¿Por qué esta correspondencia persona-deporte NO es una función?
Una persona sin deportes practicados rompe la existencia, y una persona con más de un deporte rompe la unicidad; cualquiera de las dos situaciones basta para que no sea función.
Respuesta: A) Porque puede violar tanto existencia (personas sin deporte) como unicidad (personas con varios deportes).
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Un banco registra, para cada monto de depósito, todas las cuentas que en algún momento depositaron exactamente ese monto. ¿Es esta correspondencia una función de montos a cuentas?
Si varias cuentas comparten el mismo monto depositado, ese monto (dominio) tendría asociada más de una cuenta (imagen), violando la unicidad.
Respuesta: A) No, porque un mismo monto puede haber sido depositado por varias cuentas distintas.