Concepto de preimagen de una función
Comprender la preimagen de un valor como el conjunto de elementos del dominio que producen esa imagen.
Introducción
Si la imagen es "lo que sale", la preimagen es "lo que entró para producir ese resultado". A diferencia de la imagen, un valor puede tener varias preimágenes.
Explicación
Definición formal
Para $f\colon A \to B$ y $y \in B$, la preimagen de $y$ se define como $f^{-1}(\{y\}) = \{x \in A \colon f(x) = y\}$. A diferencia de la imagen de un elemento (que es única por definición de función), la preimagen de un valor puede contener cero, uno o varios elementos.
Desarrollo didáctico
Buscar la preimagen de $y_0$ equivale a resolver la ecuación $f(x) = y_0$ para la variable $x$.
Si $f(x) = x^2$ y buscas la preimagen de $9$, resuelves $x^2 = 9$, obteniendo $x = 3$ y $x = -3$: ambos valores son preimágenes de $9$. En cambio, la preimagen de $-9$ es el conjunto vacío, porque ningún real al cuadrado da un número negativo.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe la ecuación $f(x) = y_0$, donde $y_0$ es el valor cuya preimagen buscas.
- Paso 2: Resuelve la ecuación para despejar $x$.
- Paso 3: Verifica que cada solución obtenida pertenezca al dominio de la función.
- Paso 4: El conjunto de soluciones válidas es la preimagen de $y_0$.
Ejemplos
1 Si $f(x) = x^2$, determina la preimagen de $16$.
- Se resuelve la ecuación $x^2 = 16$.
- Las soluciones son $x=4$ y $x=-4$.
- Preimagen de $16$: $\{4, -4\}$.
2 Si $f(x) = x^2$, determina la preimagen de $-4$.
- Se resuelve $x^2 = -4$, que no tiene solución en los números reales.
- Preimagen de $-4$: conjunto vacío, $\varnothing$.
3 ¿Un valor del codominio siempre tiene exactamente una preimagen?
- La preimagen de un valor puede tener cero, una o varias soluciones, a diferencia de la imagen de un elemento del dominio, que sí es única.
4 ¿Calcular la preimagen de $y_0$ equivale a resolver $f(x)=y_0$?
- Por definición, la preimagen son todos los $x$ que satisfacen esa ecuación.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir imagen (siempre única) con preimagen (puede tener varios valores o ninguno)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar descartar soluciones de la ecuación $f(x)=y_0$ que no pertenezcan al dominio de $f$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que toda ecuación $f(x)=y_0$ tiene al menos una solución real."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular $f(y_0)$ en lugar de resolver $f(x)=y_0$ al buscar una preimagen."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dada una función $f\colon A \to B$ y un valor $y \in B$, la **preimagen** de $y$ es el conjunto de todos los elementos $x \in A$ tales que $f(x) = y$, denotado $f^{-1}(\{y\})$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La preimagen de un valor $y_0$ bajo una función $f$ es:
La preimagen se obtiene resolviendo la ecuación f(x)=y0 para x, y puede tener cero, una o varias soluciones.
Respuesta: B) El conjunto de todos los $x$ tales que $f(x) = y_0$.
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Una preimagen puede tener más de un valor asociado.
A diferencia de la imagen (siempre única), la preimagen de un valor puede contener varios elementos del dominio.
Respuesta: Verdadero
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Buscar la preimagen de $y_0$ equivale a:
Por definición, la preimagen son las soluciones x de esa ecuación.
Respuesta: B) Resolver la ecuación $f(x) = y_0$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La preimagen de un valor que no pertenece al recorrido de la función es el conjunto vacío.
Si el valor nunca es alcanzado como imagen, la ecuación f(x)=y0 no tiene solución.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x) = 3x - 1$, determina la preimagen de $8$.
Se resuelve 3x-1=8, obteniendo 3x=9, x=3.
Respuesta: A) $\{3\}$
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Si $f(x) = x^2$, la preimagen de $25$ es $\{5, -5\}$.
Se resuelve x^2=25, obteniendo x=5 y x=-5.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x) = x^2 + 1$, determina la preimagen de $1$.
Se resuelve x^2+1=1, es decir x^2=0, cuya única solución es x=0.
Respuesta: A) $\{0\}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si un valor $y_0$ del codominio tiene preimagen vacía, entonces $y_0$ no pertenece al recorrido de la función.
Que la preimagen sea vacía significa que ningún x produce esa imagen, así que y0 no es alcanzado, no pertenece al recorrido.
Respuesta: Verdadero
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Un termómetro registra la temperatura $T(h)$ según la hora $h$ del día. Si se sabe que $T(h)=18$ para $h=9$ y también para $h=17$, ¿qué se puede afirmar sobre la preimagen de $18$?
Ambas horas producen la misma imagen 18, por lo que ambas pertenecen a la preimagen de ese valor; esto no afecta que T siga siendo función, pues la unicidad se exige sobre las horas, no sobre las temperaturas.
Respuesta: A) La preimagen de 18 contiene al menos los valores 9 y 17.
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El costo total de producción se modela por $C(x) = 200 + 15x$. Si el gerente busca la cantidad $x$ que genera un costo de \$500, ¿qué operación matemática debe realizar?
Buscar qué cantidad x produce un costo dado es exactamente el problema de hallar la preimagen de ese valor.
Respuesta: B) Calcular la preimagen de 500, resolviendo $C(x)=500$.