Concepto de preimagen de una función
Resumen inicial
La preimagen de un valor $y$ es cualquier elemento $x$ del dominio que al evaluarse en la función produce dicho valor $y$.
Explicación en palabras simples
Si la función es una máquina que transforma entradas en salidas:
- La salida es la imagen.
- La entrada original que produjo esa salida es la preimagen.
Para hallar la preimagen de un número conocido $y_0$, no evaluamos la función en $y_0$, sino que resolvemos la ecuación $f(x) = y_0$ para despejar el valor de $x$.
Explicación formal
Sea $f: A \to B$ y sea $b \in B$. Se dice que $a \in A$ es una preimagen de $b$ bajo $f$ si y solo si:
$$f(a) = b$$
Propiedades de las preimágenes:
- El conjunto de todas las preimágenes de un valor $b$ se denota $f^{-1}(\{b\}) = \{x \in A \mid f(x) = b\}$.
- Un elemento del codominio puede tener exactamente una preimagen (función inyectiva), múltiples preimágenes (ej: $f(x) = x^2$ para $y = 9$ tiene preimágenes $3$ y $-3$), o ninguna preimagen si $b \notin \text{Rec}(f)$.
La alternativa correcta es '4'. Se resuelve $5x - 3 = 17 \implies 5x = 20 \implies x = 4$.
Definiciones clave
- Preimagen: Elemento del dominio que origina una imagen determinada.
- Ecuación de preimagen: Igualdad $f(x) = b$ cuya resolución permite encontrar los valores de $x$.
Propiedades y relaciones importantes
- Ubicación: Las preimágenes pertenecen siempre al dominio (eje $X$).
- Multiplicidad: Una imagen puede tener varias preimágenes, pero cada preimagen solo puede tener una imagen.
Ejemplo guiado
Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$, determina las preimágenes de $12$.
- Paso 1: Plantear la ecuación $f(x) = 12$.
- Paso 2: Sustituir la fórmula de la función: $x^2 - 4 = 12$.
- Paso 3: Sumar 4 a ambos lados: $x^2 = 16$.
- Paso 4: Extraer raíz cuadrada recordando considerar ambas soluciones: $x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$.
- Paso 5: Concluir que $12$ tiene dos preimágenes: $4$ y $-4$.
La alternativa correcta es 'Ninguna, porque ningún número real al cuadrado da un resultado negativo.'. La ecuación $x^2 = -9$ no tiene solución en $\mathbb{R}$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el valor de la imagen $y_0$ dada en el enunciado.
- Paso 2: Igualar la regla de asignación a dicho valor: $f(x) = y_0$.
- Paso 3: Resolver la ecuación resultante despejando la incógnita $x$.
- Paso 4: Verificar que las soluciones encontradas pertenezcan al dominio de la función.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Calcular $f(y_0)$ en vez de resolver $f(x) = y_0$.
- Cómo corregirlo: Si piden 'la preimagen de $10$', el $10$ es el resultado ($y$), por lo que debes resolver $f(x) = 10$, no sustituir $x$ por $10$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Plantear $2x + 7 = -1$.
- Paso 2: Despejar $x$: $2x = -8 \implies x = -4$.
- Paso 1: Plantear $\sqrt{x + 9} = 5$.
- Paso 2: Elevar al cuadrado: $x + 9 = 25 \implies x = 16$.
- Paso 1: Resolver $x^2 - 25 = 0 \implies x^2 = 25$.
- Paso 2: Las preimágenes son $x = 5$ y $x = -5$.
- Paso 1: Plantear $|x| + 3 = 1 \implies |x| = -2$.
- Paso 2: El valor absoluto no puede ser negativo, por lo que no existe preimagen real.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Comprender y calcular preimágenes de funciones algebraicas.
Planteando y resolviendo la ecuación $f(x) = y$ para determinar los valores de entrada correspondientes en el dominio.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La preimagen de un valor $y_0$ bajo una función $f$ es:
La preimagen se obtiene resolviendo la ecuación f(x)=y0 para x, y puede tener cero, una o varias soluciones.
Respuesta: B) El conjunto de todos los $x$ tales que $f(x) = y_0$.
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Una preimagen puede tener más de un valor asociado.
A diferencia de la imagen (siempre única), la preimagen de un valor puede contener varios elementos del dominio.
Respuesta: Verdadero
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Buscar la preimagen de $y_0$ equivale a:
Por definición, la preimagen son las soluciones x de esa ecuación.
Respuesta: B) Resolver la ecuación $f(x) = y_0$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La preimagen de un valor que no pertenece al recorrido de la función es el conjunto vacío.
Si el valor nunca es alcanzado como imagen, la ecuación f(x)=y0 no tiene solución.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x) = 3x - 1$, determina la preimagen de $8$.
Se resuelve 3x-1=8, obteniendo 3x=9, x=3.
Respuesta: A) $\{3\}$
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Si $f(x) = x^2$, la preimagen de $25$ es $\{5, -5\}$.
Se resuelve x^2=25, obteniendo x=5 y x=-5.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f(x) = x^2 + 1$, determina la preimagen de $1$.
Se resuelve x^2+1=1, es decir x^2=0, cuya única solución es x=0.
Respuesta: A) $\{0\}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si un valor $y_0$ del codominio tiene preimagen vacía, entonces $y_0$ no pertenece al recorrido de la función.
Que la preimagen sea vacía significa que ningún x produce esa imagen, así que y0 no es alcanzado, no pertenece al recorrido.
Respuesta: Verdadero
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Un termómetro registra la temperatura $T(h)$ según la hora $h$ del día. Si se sabe que $T(h)=18$ para $h=9$ y también para $h=17$, ¿qué se puede afirmar sobre la preimagen de $18$?
Ambas horas producen la misma imagen 18, por lo que ambas pertenecen a la preimagen de ese valor; esto no afecta que T siga siendo función, pues la unicidad se exige sobre las horas, no sobre las temperaturas.
Respuesta: A) La preimagen de 18 contiene al menos los valores 9 y 17.
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El costo total de producción se modela por $C(x) = 200 + 15x$. Si el gerente busca la cantidad $x$ que genera un costo de \$500, ¿qué operación matemática debe realizar?
Buscar qué cantidad x produce un costo dado es exactamente el problema de hallar la preimagen de ese valor.
Respuesta: B) Calcular la preimagen de 500, resolviendo $C(x)=500$.