Concepto de imagen de una función
Resumen inicial
La imagen de un elemento $x$ del dominio es el valor único $y = f(x)$ que la función le asigna en el codominio.
Explicación en palabras simples
La imagen es el resultado directo que entrega la función cuando le introduces un número de entrada específico.
Por ejemplo, si la función es $f(x) = 2x + 1$ y quieres saber la imagen de $3$, simplemente calculas:
$$f(3) = 2(3) + 1 = 7$$
Decimos que $7$ es la imagen de $3$.
Explicación formal
Dada una función $f: A \to B$ y un elemento $a \in A$, la imagen de $a$ bajo $f$ es el único elemento $b \in B$ tal que $(a, b) \in f$, denotado por:
$$b = f(a)$$
Propiedades fundamentales:
- Unicidad: Por definición de función, cada preimagen $a \in \text{Dom}(f)$ posee exactamente una imagen.
- Conjunto Imagen: El conjunto de todas las imágenes de los elementos de un subconjunto $S \subseteq A$ se denota $f(S) = \{f(x) \mid x \in S\}$.
La alternativa correcta es '-9'. Al evaluar: $f(-2) = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$.
Definiciones clave
- Imagen ($f(a)$): Salida única asignada a la entrada $a$.
- Evaluación directa: Sustitución de la variable independiente por un valor numérico.
Propiedades y relaciones importantes
- Punto en la curva: Si $b$ es la imagen de $a$, el punto $(a, b)$ forma parte de la gráfica cartesiana.
- Eje Y: Las imágenes se proyectan y leen sobre el eje de las ordenadas.
Ejemplo guiado
Dada la función $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, calcula la imagen de $-2$.
- Paso 1: Identificar la preimagen dada: $x = -2$.
- Paso 2: Sustituir $x = -2$ en la fórmula: $f(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) + 4$.
- Paso 3: Resolver potencias y signos: $3(4) + 4 + 4 = 12 + 8 = 20$.
- Paso 4: Concluir que la imagen de $-2$ es $20$.
La alternativa correcta es '4'. Al sustituir $x = 0$: $g(0) = 4 - 3(0) = 4$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la preimagen $x_0$ indicada.
- Paso 2: Reemplazar $x$ por $x_0$ en la expresión algebraica de la función.
- Paso 3: Realizar las operaciones respetando la prioridad de paréntesis, potencias, productos y sumas.
- Paso 4: Escribir el resultado final $y = f(x_0)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Elevar al cuadrado números negativos sin usar paréntesis, por ejemplo escribir $-2^2 = -4$ en vez de $(-2)^2 = 4$.
- Cómo corregirlo: Al sustituir números negativos, encerrarlos siempre entre paréntesis: $(-2)^2 = 4$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Evaluar $f(5) = 4(5) - 6$.
- Paso 2: $20 - 6 = 14$.
- Paso 1: Sustituir $x = 3$: $g(3) = \frac{3 + 5}{3 - 1}$.
- Paso 2: Calcular cociente: $\frac{8}{2} = 4$.
- Paso 1: Evaluar el interior: $2(-4) + 3 = -8 + 3 = -5$.
- Paso 2: Aplicar valor absoluto: $|-5| = 5$.
- Paso 1: Evaluar en $0$: $f(0) = -(0)^2 + 7(0) - 9 = -9$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular e interpretar imágenes de funciones numéricas y algebraicas.
Evaluando directamente la variable independiente en la fórmula funcional y resolviendo la aritmética paso a paso.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La imagen de un elemento $x$ del dominio bajo una función $f$ es:
La definición de función garantiza que cada x tiene exactamente una imagen.
Respuesta: B) El único valor $y=f(x)$ asignado por la función.
-
Un elemento del dominio puede tener dos imágenes distintas simultáneamente.
Eso violaría la condición de unicidad exigida a toda función.
Respuesta: Falso
-
¿Qué operación permite calcular la imagen de un valor $x_0$?
Evaluar f(x0) es sustituir directamente en la fórmula.
Respuesta: B) Sustituir $x_0$ en la regla de la función.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La imagen de $x$ bajo $f$ es lo mismo que $f(x)$.
Es la notación estándar para nombrar la imagen de x bajo f.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, determina la imagen de $x=3$.
f(3) = (3+2)/(3-1) = 5/2.
Respuesta: A) $\frac{5}{2}$
-
Si $f(x) = 2x + 5$, determina la imagen de $x=3$.
f(3) = 2(3)+5 = 6+5 = 11.
Respuesta: A) $11$
-
Si $f(x) = x^2 - 4$, la imagen de $x=-3$ es $5$.
f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9-4 = 5.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El precio de un boleto de tren depende de la distancia $d$ recorrida según $P(d) = 300 + 50d$. ¿Qué representa $P(10)$?
P(10) es la imagen de d=10 bajo P, es decir, el precio correspondiente a esa distancia.
Respuesta: B) El precio del boleto para 10 kilómetros de distancia.
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Si dos clientes distintos pagan el mismo precio por un servicio que depende de la cantidad consumida, sus consumos generaron la misma imagen bajo la función de precio.
Que dos entradas distintas compartan la misma imagen es perfectamente compatible con la definición de función.
Respuesta: Verdadero
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Un estanque se vacía según $V(t) = 800 - 40t$ litros, con $t$ en minutos. ¿Qué representa la imagen $V(5)$ en este contexto?
V(5) = 800-40(5) = 600, la cantidad de litros restantes al minuto 5, es decir, la imagen de t=5.
Respuesta: A) Los litros que quedan en el estanque a los 5 minutos.