Evaluación numérica de una función compuesta
Evaluar una composición de funciones en un valor numérico específico, aplicando las funciones en el orden correcto.
Introducción
Antes de buscar la fórmula general de una composición, conviene practicar con números concretos: el proceso es exactamente el mismo, solo que más corto.
Explicación
Definición formal
Para evaluar $(f \circ g)(a)$, se calcula $b = g(a)$ y luego se calcula $f(b)$; el resultado final es $(f \circ g)(a) = f(g(a))$. Cada paso es una evaluación numérica ordinaria de una función.
Desarrollo didáctico
El truco es hacerlo en dos pasos separados y nunca simultáneos: primero termina completamente de calcular $g(a)$, y solo después sustituye ese número en $f$.
Si $f(x)=x^2+1$ y $g(x)=x-4$, para calcular $(f\circ g)(6)$: primero $g(6)=6-4=2$; luego $f(2)=2^2+1=5$. Por tanto $(f\circ g)(6)=5$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula $g(a)$, sustituyendo el valor numérico dado.
- Paso 2: Toma ese resultado numérico como el nuevo valor a evaluar en $f$.
- Paso 3: Calcula $f$ de ese resultado para obtener la respuesta final.
Ejemplos
1 Si $f(x)=3x$ y $g(x)=x+2$, calcula $(f\circ g)(5)$.
- $g(5)=5+2=7$.
- $f(7)=3(7)=21$.
- $(f\circ g)(5)=21$.
2 Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=2x-1$, calcula $(f\circ g)(3)$.
- $g(3)=2(3)-1=5$.
- $f(5)=5^2=25$.
- $(f\circ g)(3)=25$.
3 ¿Para evaluar $(f\circ g)(a)$ se calcula primero $f(a)$?
- Se calcula primero $g(a)$, la función interna, y luego se evalúa $f$ en ese resultado.
4 ¿$(f\circ g)(a)$ y $(g\circ f)(a)$ dan siempre el mismo resultado numérico?
- En general el orden de composición afecta el resultado numérico obtenido.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Evaluar $f$ primero en vez de $g$, invirtiendo el orden de composición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sustituir el valor original $a$ directamente en $f$, ignorando el paso intermedio de $g$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores aritméticos en el paso intermedio, arrastrando el error al resultado final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir $(f\circ g)(a)$ con $f(a)\cdot g(a)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Evaluar $(f \circ g)(a)$ para un valor numérico $a$ consiste en calcular primero $g(a)$, y luego evaluar $f$ en ese resultado numérico.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para evaluar $(f\circ g)(a)$ numéricamente, primero se calcula:
Se calcula primero g(a), y luego se evalúa f en ese resultado.
Respuesta: A) $g(a)$
-
$(f\circ g)(a)$ y $(g\circ f)(a)$ dan siempre el mismo resultado numérico.
En general el orden de composición afecta el resultado.
Respuesta: Falso
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¿Cuántos pasos de evaluación numérica requiere calcular $(f\circ g)(a)$?
Primero se evalúa g(a), y luego f en ese resultado.
Respuesta: A) Dos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$(f\circ g)(a)$ es lo mismo que $f(a)\cdot g(a)$.
Son operaciones distintas.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x)=x+10$ y $g(x)=2x$, calcula $(f\circ g)(4)$.
g(4)=8; f(8)=8+10=18.
Respuesta: A) $18$
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Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+1$, entonces $(f\circ g)(2)=9$.
g(2)=3; f(3)=9.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x)=2x-1$ y $g(x)=x^2$, calcula $(g\circ f)(3)$.
f(3)=2(3)-1=5; g(5)=25.
Respuesta: A) $25$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un descuento del 20% se modela por $g(x)=0{,}8x$, y luego un impuesto del 19% se modela por $f(x)=1{,}19x$. Si un producto cuesta \$10.000, calcula el precio final aplicando descuento y luego impuesto: $(f\circ g)(10000)$.
g(10000)=8000; f(8000)=1,19*8000=9520.
Respuesta: A) \$9.520
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Una conversión de moneda aplica primero una comisión $g(x)=0{,}97x$ y luego una tasa de cambio $f(x)=900x$. Si se cambian \$100 dólares, calcula el resultado final en pesos: $(f\circ g)(100)$.
g(100)=97; f(97)=900*97=87300.
Respuesta: A) \$87.300
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Al evaluar una composición numéricamente, un error en el cálculo del paso intermedio se propaga al resultado final.
El segundo cálculo depende directamente del resultado correcto del primero.
Respuesta: Verdadero