Evaluación numérica de una función compuesta

Resumen inicial

La evaluación numérica de una función compuesta consiste en calcular primero la imagen bajo la función interna $u = g(x_0)$ y luego evaluar ese número en la función externa $f(u)$.

Explicación en palabras simples

La evaluación numérica de una función compuesta consiste en calcular primero la imagen bajo la función interna $u = g(x_0)$ y luego evaluar ese número en la función externa $f(u)$

Para calcular el valor numérico de $(f \circ g)(k)$ en dos pasos fáciles:
1. Paso 1: Tomas el número $k$ y lo reemplazas en la función interna $g$ $\implies$ obtienes un número resultado $u = g(k)$.
2. Paso 2: Tomas ese número $u$ y lo reemplazas en la función externa $f$ $\implies$ calculas $f(u)$.

¡Listo! No necesitas hacer álgebra complicada con las fórmulas generales.

Explicación formal

Dadas dos funciones $f$ y $g$ y un valor $x_0 \in \text{Dom}(f \circ g)$, la evaluación numérica sigue el algoritmo de dos etapas:
1. Etapa 1 (Evaluación interna): Calcular el escalar intermedio $u_0 = g(x_0)$.
2. Etapa 2 (Evaluación externa): Calcular el valor final $y_0 = f(u_0)$.

$$(f \circ g)(x_0) = f(g(x_0)) = f(u_0) = y_0$$

Evaluación mediante tablas o gráficos:
- Ubicar $x_0$ en la entrada de $g$ para leer la salida $u_0$.
- Ubicar $u_0$ en el eje de entrada de $f$ para leer la salida final $y_0$.

Definiciones clave

Evaluación en dos etapas: Procedimiento aritmético secuencial que evita la sustitución simbólica previa.
Valor intermedio: Imagen generada por la función interna que sirve de argumento a la externa.

Propiedades y relaciones importantes

Eficiencia computacional: Evaluar números directamente reduce el riesgo de errores algebraicos.
Prueba de existencia: Si $x_0 \notin \text{Dom}(g)$ o $g(x_0) \notin \text{Dom}(f)$, la evaluación no existe.

Ejemplo guiado

Ejemplo La evaluación numérica de una función compuesta consiste en calcular primero la imagen bajo la función interna $u = g(x_0)$ y luego evaluar ese número en la función externa $f(u)$

Sean $f(x) = 2x^2 - 3$ y $g(x) = 3x - 1$. Calcula el valor numérico de $(f \circ g)(2)$ y de $(g \circ f)(2)$.

Paso 1: Para $(f \circ g)(2) = f(g(2))$: - Evaluar la interna: $g(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$. - Evaluar la externa con el resultado: $f(5) = 2(5)^2 - 3 = 2(25) - 3 = 50 - 3 = 47$.
Paso 2: Para $(g \circ f)(2) = g(f(2))$: - Evaluar la interna: $f(2) = 2(2)^2 - 3 = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5$. - Evaluar la externa con el resultado: $g(5) = 3(5) - 1 = 15 - 1 = 14$.
Paso 3: Constatar que $(f \circ g)(2) = 47 \neq 14 = (g \circ f)(2)$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la preimagen numérica $x_0$ dada en el problema.
Paso 2: Evaluar $x_0$ en la función interna $g$, resolviendo todas las operaciones aritméticas para obtener $u_0$.
Paso 3: Sustituir el valor $u_0$ en la función externa $f$.
Paso 4: Calcular el valor final $f(u_0)$ respetando la jerarquía de las operaciones.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Calcular $f(x_0)$ y $g(x_0)$ por separado y multiplicar ambos resultados.
Cómo corregirlo: La composición no es multiplicación; el resultado de $g(x_0)$ debe introducirse como entrada de $f$ ($f(g(x_0))$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Invertir el orden evaluando primero la externa."

"Para evaluar numéricamente (f o g)(x0) se calcula primero g(x0) y luego se evalúa f en ese valor."

"En general, (f o g)(x0) y (g o f)(x0) entregan valores numéricos diferentes."

"Cometer errores de signos en la segunda evaluación."

"Multiplicar los valores numéricos f(x) * g(x)."

Al terminar debes poder

Resumen La evaluación numérica de una función compuesta consiste en calcular primero la imagen bajo la función interna $u = g(x_0)$ y luego evaluar ese número en la función externa $f(u)$

Evaluar numéricamente funciones compuestas en preimágenes particulares.

Aplicando el algoritmo en dos etapas de adentro hacia afuera: calculando u = g(x0) y posteriormente f(u).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para evaluar $(f\circ g)(a)$ numéricamente, primero se calcula:
Se calcula primero g(a), y luego se evalúa f en ese resultado.

Respuesta: A) $g(a)$
$(f\circ g)(a)$ y $(g\circ f)(a)$ dan siempre el mismo resultado numérico.
¿Cuántos pasos de evaluación numérica requiere calcular $(f\circ g)(a)$?
Primero se evalúa g(a), y luego f en ese resultado.

Respuesta: A) Dos.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$(f\circ g)(a)$ es lo mismo que $f(a)\cdot g(a)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si $f(x)=x+10$ y $g(x)=2x$, calcula $(f\circ g)(4)$.
g(4)=8; f(8)=8+10=18.

Respuesta: A) $18$
Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+1$, entonces $(f\circ g)(2)=9$.
Si $f(x)=2x-1$ y $g(x)=x^2$, calcula $(g\circ f)(3)$.
f(3)=2(3)-1=5; g(5)=25.

Respuesta: A) $25$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Un descuento del 20% se modela por $g(x)=0{,}8x$, y luego un impuesto del 19% se modela por $f(x)=1{,}19x$. Si un producto cuesta \$10.000, calcula el precio final aplicando descuento y luego impuesto: $(f\circ g)(10000)$.
g(10000)=8000; f(8000)=1,19*8000=9520.

Respuesta: A) \$9.520
Una conversión de moneda aplica primero una comisión $g(x)=0{,}97x$ y luego una tasa de cambio $f(x)=900x$. Si se cambian \$100 dólares, calcula el resultado final en pesos: $(f\circ g)(100)$.
g(100)=97; f(97)=900*97=87300.

Respuesta: A) \$87.300
Al evaluar una composición numéricamente, un error en el cálculo del paso intermedio se propaga al resultado final.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación