Determinación del dominio resultante en una composición de funciones
Resumen inicial
El dominio de la función compuesta $(f \circ g)$ es el conjunto de preimágenes $x \in \text{Dom}(g)$ tales que sus imágenes pertenecen al dominio de la función externa: $\text{Dom}(f \circ g) = \{x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) \in \text{Dom}(f)\}$.
Explicación en palabras simples
Para que un número $x$ pueda entrar en la máquina compuesta $(f \circ g)(x)$, debe superar dos aduanas obligatorias:
1. Aduana 1 (Función interna): El número $x$ debe ser un valor permitido para $g$ ($x \in \text{Dom}(g)$).
2. Aduana 2 (Función externa): El resultado intermedio que produce $g$ debe ser un valor permitido para $f$ ($g(x) \in \text{Dom}(f)$).
El dominio resultante son únicamente los números $x$ que superan con éxito ambas aduanas.
Explicación formal
El dominio de la función compuesta $f \circ g$ se define de forma conjuntista estricta como:
$$\text{Dom}(f \circ g) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in \text{Dom}(g) \ \land \ g(x) \in \text{Dom}(f)\} = \text{Dom}(g) \cap g^{-1}(\text{Dom}(f))$$
Algoritmo riguroso de determinación:
1. Hallar el dominio de la función interna $\text{Dom}(g)$.
2. Determinar la condición de existencia de la función externa: $u \in \text{Dom}(f)$.
3. Resolver la inecuación/ecuación $g(x) \in \text{Dom}(f)$ para la variable $x$.
4. Intersectar el conjunto solución con $\text{Dom}(g)$.
La alternativa correcta es 'Dom(f ∘ g) = {x ∈ Dom(g) | g(x) ∈ Dom(f)}'. Requiere que $x$ esté en $\text{Dom}(g)$ y su imagen en $\text{Dom}(f)$.
Definiciones clave
- Dominio compuesto $\text{Dom}(f \circ g)$: Conjunto de partida efectivo donde la cadena funcional completa está bien definida.
- Condición de compatibilidad: Exigencia de que el recorrido de $g$ no quede fuera del dominio de $f$.
Propiedades y relaciones importantes
- Subconjunto del dominio interno: $\text{Dom}(f \circ g) \subseteq \text{Dom}(g)$.
- Peligro de la fórmula simplificada: El dominio NO se determina sobre la fórmula ya simplificada, sino sobre la definición compuesta original.
Ejemplo guiado
Sean $f(u) = \sqrt{u}$ y $g(x) = 3x - 12$. Determina el dominio de $(f \circ g)(x)$.
- Paso 1: Dominio de la función interna: $g(x) = 3x - 12$ es polinómica, luego $\text{Dom}(g) = \mathbb{R}$.
- Paso 2: Condición de la función externa: $f(u) = \sqrt{u}$ exige que su argumento sea no negativo ($u \ge 0$).
- Paso 3: Imponer la condición sobre la interna: $g(x) \ge 0 \implies 3x - 12 \ge 0$.
- Paso 4: Resolver la inecuación: $3x \ge 12 \implies x \ge 4$.
- Paso 5: Intersectar con $\text{Dom}(g)$: $[4, +\infty[ \cap \mathbb{R} = [4, +\infty[$.
- Paso 6: Concluir que $\text{Dom}(f \circ g) = [4, +\infty[$.
La alternativa correcta es 'Todos los reales excepto el 7 (R \ {7}).'. Exige $g(x) \neq 0 \implies x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar y anotar $\text{Dom}(g)$ (restricciones de la función interna).
- Paso 2: Identificar la condición de existencia de la función externa $\text{Dom}(f)$.
- Paso 3: Plantear y resolver la condición $g(x) \in \text{Dom}(f)$.
- Paso 4: Intersectar el conjunto solución obtenido en el Paso 3 con $\text{Dom}(g)$ para dar el dominio final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Simplificar primero la fórmula algebraica y calcular el dominio sobre la expresión final.
- Cómo corregirlo: Las restricciones se deben evaluar antes de simplificar, ya que las operaciones algebraicas pueden ocultar divisiones por cero o raíces inválidas.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $g(x) \ge 0 \implies 15 - 5x \ge 0 \implies 5x \le 15 \implies x \le 3$.
- Paso 1: $g(x) \neq 2 \implies 3x + 8 \neq 2 \implies 3x \neq -6 \implies x \neq -2$.
- Paso 1: Ambas funciones son afines sin restricciones, luego el dominio es $\mathbb{R}$.
- Paso 1: $g(x)$ excluye $x = 0$.
- Paso 2: $f(g(x))$ exige $g(x) \neq 3 \implies \frac{1}{x} \neq 3 \implies x \neq \frac{1}{3}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Determinar con exactitud el dominio resultante en composiciones de funciones.
Intersectando el dominio de la función interna con la solución de la condición g(x) ∈ Dom(f).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El dominio de $(f\circ g)$ exige que:
Ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente.
Respuesta: A) $x$ pertenezca al dominio de $g$ y $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.
-
El dominio de $(f\circ g)$ es siempre igual al dominio de $g$.
Puede ser un subconjunto más restringido, según las exigencias de f.
Respuesta: Falso
-
¿Qué se debe verificar además del dominio de $g$?
Es la condición adicional que define el dominio de la composición.
Respuesta: A) Que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Basta con calcular solo el dominio de $g$ para determinar el dominio de la composición.
También se debe verificar la restricción impuesta por f.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $g(x)=x-1$ y $f(x)=\frac{1}{x}$, determina el dominio de $(f\circ g)(x)$.
Se exige g(x)!=0, es decir x-1!=0, x!=1.
Respuesta: A) $\mathbb{R}-\{1\}$
-
Si $g(x)=x+3$ y $f(x)=\sqrt{x}$, el dominio de $(f\circ g)(x)$ es $[-3,+\infty[$.
Se exige x+3>=0, x>=-3.
Respuesta: Verdadero
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Si $g(x)=x^2$ y $f(x)=\frac{1}{x-4}$, determina el dominio de $(f\circ g)(x)$.
Se exige g(x)!=4, es decir x^2!=4, entonces x!=2 y x!=-2.
Respuesta: A) $\mathbb{R}-\{2,-2\}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
El dominio de una composición puede ser más pequeño que el dominio de la función interna considerada por separado.
Las restricciones adicionales de la función externa pueden reducir el dominio efectivo de la composición.
Respuesta: Verdadero
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Un proceso químico compone la concentración $g(x)$ con la velocidad de reacción $f$, que solo está definida cuando la concentración es positiva. Si $g(x)=x-5$, ¿cuál es el dominio de la composición?
Se exige g(x)>0, es decir x-5>0, x>5.
Respuesta: A) $]5,+\infty[$
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Un modelo compone la altura sobre el nivel del mar $g(x)$ con la presión atmosférica $f$, que solo está definida para alturas no negativas. ¿Qué restricción hereda la composición?
La restricción de la función externa f se traduce en una condición adicional sobre g(x) que debe incorporarse al dominio de la composición.
Respuesta: A) Que $g(x)\geq0$, sin importar el dominio original de $g$.