Determinación del dominio resultante en una composición de funciones
Determinar el dominio de una función compuesta $(f\circ g)$ considerando las restricciones de ambas funciones involucradas.
Introducción
El dominio de una composición no es tan simple como el de cada función por separado: hay que asegurarse de que el resultado intermedio "encaje" en la siguiente función.
Explicación
Definición formal
Formalmente, $\text{Dom}(f\circ g) = \{x \in \text{Dom}(g) : g(x) \in \text{Dom}(f)\}$. Esta definición exige cumplir dos condiciones simultáneas: que $x$ sea válido para $g$, y que el resultado $g(x)$ sea a su vez válido como entrada de $f$.
Desarrollo didáctico
El error más común es calcular solo el dominio de $g$, olvidando verificar si su resultado cae dentro del dominio permitido de $f$.
Si $g(x)=x-5$ (dominio $\mathbb{R}$) y $f(x)=\sqrt{x}$ (dominio $[0,+\infty[$): para que $(f\circ g)(x)=\sqrt{x-5}$ esté definida, se necesita $x-5\geq0$, es decir $x\geq5$. Aunque $g$ acepta todo $\mathbb{R}$, la composición exige la restricción adicional impuesta por $f$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Determina el dominio de la función interna $g$.
- Paso 2: Determina el dominio de la función externa $f$.
- Paso 3: Exige que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$, planteando la restricción correspondiente.
- Paso 4: Intersecta esa restricción con el dominio original de $g$ para obtener el dominio final de la composición.
Ejemplos
1 Si $g(x)=x+2$ y $f(x)=\frac{1}{x}$, determina el dominio de $(f\circ g)(x)$.
- $(f\circ g)(x) = \frac{1}{x+2}$.
- Se exige que $x+2 \neq 0$, es decir $x \neq -2$.
- Dominio: $\mathbb{R}-\{-2\}$.
2 Si $g(x)=x^2-9$ y $f(x)=\sqrt{x}$, determina el dominio de $(f\circ g)(x)$.
- Se exige que $g(x)\geq0$, es decir $x^2-9\geq0$.
- Resolviendo, $x\leq-3$ o $x\geq3$.
- Dominio: $]-\infty,-3] \cup [3,+\infty[$.
3 ¿El dominio de $(f\circ g)$ es siempre igual al dominio de $g$?
- Puede ser un subconjunto más restringido, según las exigencias adicionales de $f$.
4 ¿Se debe verificar que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$?
- Esa verificación es esencial para que la composición esté correctamente definida.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular solo el dominio de la función interna, ignorando las restricciones de la externa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No intersectar correctamente ambas restricciones al determinar el dominio final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el dominio de $(f\circ g)$ con el dominio de $(g\circ f)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar simplificar la fórmula de la composición antes de identificar sus restricciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El dominio de $(f\circ g)$ es el conjunto de valores $x$ del dominio de $g$ tales que $g(x)$ pertenece además al dominio de $f$; es decir, $\text{Dom}(f\circ g) = \{x \in \text{Dom}(g) \colon g(x) \in \text{Dom}(f)\}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El dominio de $(f\circ g)$ exige que:
Ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente.
Respuesta: A) $x$ pertenezca al dominio de $g$ y $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.
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El dominio de $(f\circ g)$ es siempre igual al dominio de $g$.
Puede ser un subconjunto más restringido, según las exigencias de f.
Respuesta: Falso
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¿Qué se debe verificar además del dominio de $g$?
Es la condición adicional que define el dominio de la composición.
Respuesta: A) Que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Basta con calcular solo el dominio de $g$ para determinar el dominio de la composición.
También se debe verificar la restricción impuesta por f.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $g(x)=x-1$ y $f(x)=\frac{1}{x}$, determina el dominio de $(f\circ g)(x)$.
Se exige g(x)!=0, es decir x-1!=0, x!=1.
Respuesta: A) $\mathbb{R}-\{1\}$
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Si $g(x)=x+3$ y $f(x)=\sqrt{x}$, el dominio de $(f\circ g)(x)$ es $[-3,+\infty[$.
Se exige x+3>=0, x>=-3.
Respuesta: Verdadero
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Si $g(x)=x^2$ y $f(x)=\frac{1}{x-4}$, determina el dominio de $(f\circ g)(x)$.
Se exige g(x)!=4, es decir x^2!=4, entonces x!=2 y x!=-2.
Respuesta: A) $\mathbb{R}-\{2,-2\}$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El dominio de una composición puede ser más pequeño que el dominio de la función interna considerada por separado.
Las restricciones adicionales de la función externa pueden reducir el dominio efectivo de la composición.
Respuesta: Verdadero
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Un proceso químico compone la concentración $g(x)$ con la velocidad de reacción $f$, que solo está definida cuando la concentración es positiva. Si $g(x)=x-5$, ¿cuál es el dominio de la composición?
Se exige g(x)>0, es decir x-5>0, x>5.
Respuesta: A) $]5,+\infty[$
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Un modelo compone la altura sobre el nivel del mar $g(x)$ con la presión atmosférica $f$, que solo está definida para alturas no negativas. ¿Qué restricción hereda la composición?
La restricción de la función externa f se traduce en una condición adicional sobre g(x) que debe incorporarse al dominio de la composición.
Respuesta: A) Que $g(x)\geq0$, sin importar el dominio original de $g$.