Concepto de composición de funciones
Comprender la composición de funciones como el proceso de aplicar una función sobre el resultado de otra.
Introducción
Imagina dos máquinas conectadas en línea: la salida de la primera se convierte directamente en la entrada de la segunda. Eso es exactamente componer funciones.
Explicación
Definición formal
Dadas $g: A \to B$ y $f: B \to C$, la composición $f \circ g: A \to C$ se define por $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ para todo $x \in A$. Para que la composición esté bien definida, el recorrido de $g$ debe estar contenido en el dominio de $f$.
Desarrollo didáctico
El orden importa: en $f \circ g$, se aplica primero $g$ (la función más cercana a $x$) y después $f$ (la función exterior).
Si $g(x)=x+3$ y $f(x)=x^2$, entonces $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)^2$: primero se suma 3, luego se eleva al cuadrado el resultado.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica cuál función se aplica primero (la interna, $g$) y cuál después (la externa, $f$).
- Paso 2: Sustituye la expresión completa de $g(x)$ en cada aparición de la variable de $f$.
- Paso 3: Simplifica la expresión resultante.
Ejemplos
1 Si $f(x)=2x$ y $g(x)=x+5$, calcula $(f \circ g)(x)$.
- Se sustituye $g(x)=x+5$ dentro de $f$.
- $(f \circ g)(x) = f(x+5) = 2(x+5) = 2x+10$.
2 Si $f(x)=x^2-1$ y $g(x)=3x$, calcula $(f \circ g)(x)$.
- Se sustituye $g(x)=3x$ dentro de $f$.
- $(f \circ g)(x) = f(3x) = (3x)^2-1 = 9x^2-1$.
3 ¿$(f \circ g)(x)$ significa aplicar primero $f$ y luego $g$?
- Se aplica primero $g$ (la función interna) y luego $f$ sobre ese resultado.
4 ¿La composición $(f \circ g)(x)$ es lo mismo que $f(x) \cdot g(x)$?
- La composición sustituye una función dentro de otra; el producto simplemente multiplica sus valores.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Invertir el orden de aplicación, calculando $g(f(x))$ cuando se pide $(f \circ g)(x)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la composición con el producto de las dos funciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No sustituir la expresión completa de la función interna, sustituyendo solo parte de ella."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar simplificar completamente la expresión resultante tras la sustitución."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **composición** de dos funciones $f$ y $g$, denotada $(f \circ g)(x)$, consiste en aplicar primero $g$ a $x$ y luego aplicar $f$ al resultado obtenido, es decir, $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La composición $(f\circ g)(x)$ se define como:
Se aplica primero g y luego f sobre el resultado.
Respuesta: A) $f(g(x))$
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En $(f\circ g)(x)$, la función $g$ se aplica primero.
g es la función interna, aplicada antes que f.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué se necesita para que la composición $(f\circ g)$ esté bien definida?
Esa condición garantiza que los resultados de g sean evaluables en f.
Respuesta: A) Que el recorrido de $g$ esté contenido en el dominio de $f$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$(f\circ g)(x)$ es lo mismo que $f(x)\cdot g(x)$.
La composición sustituye una función dentro de otra; no es un producto.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x)=x+1$ y $g(x)=2x$, calcula $(f\circ g)(x)$.
f(g(x))=f(2x)=2x+1.
Respuesta: A) $2x+1$
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Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=x-1$, entonces $(f\circ g)(x)=(x-1)^2$.
f(g(x))=f(x-1)=(x-1)^2.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x)=3x-2$ y $g(x)=x+4$, calcula $(g\circ f)(x)$.
g(f(x))=g(3x-2)=(3x-2)+4=3x+2.
Respuesta: A) $3x+2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una fábrica calcula primero el número de piezas defectuosas $g(x)$ según la producción $x$, y luego el costo de reparación $f$ según esas piezas defectuosas. ¿Qué expresión modela el costo total en función de la producción?
Se aplica primero g (piezas defectuosas según producción) y luego f (costo según esas piezas), correspondiente a f compuesto con g.
Respuesta: A) $(f\circ g)(x)$
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Un sistema de conversión pasa de dólares a euros con $g(x)$ y luego de euros a pesos con $f(x)$. ¿Qué función modela la conversión directa de dólares a pesos?
Se aplica primero g (dólares a euros) y luego f (euros a pesos) sobre el resultado.
Respuesta: A) $(f\circ g)(x)$
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Si el impuesto se calcula sobre el precio con descuento ya aplicado, la fórmula final del precio con impuesto es una composición de la función de descuento con la función de impuesto.
Se aplica primero el descuento y luego el impuesto sobre ese resultado, una composición encadenada.
Respuesta: Verdadero