Cálculo algebraico de una función compuesta
Calcular la fórmula algebraica general de la composición de dos funciones dadas por expresiones.
Introducción
En vez de evaluar número por número, esta vez el objetivo es obtener una fórmula completa que sirva para cualquier valor de $x$ de una sola vez.
Explicación
Definición formal
Dadas $f(x)$ y $g(x)$ como expresiones algebraicas, $(f\circ g)(x) = f(g(x))$ se obtiene reemplazando formalmente cada ocurrencia de la variable en la fórmula de $f$ por la expresión completa de $g(x)$, y aplicando las reglas algebraicas de simplificación sobre el resultado.
Desarrollo didáctico
Es fundamental usar paréntesis al sustituir, para no perder términos ni cometer errores de signo, especialmente cuando $g(x)$ tiene más de un término.
Si $f(x)=x^2+3x$ y $g(x)=x-1$: $(f\circ g)(x)=f(x-1)=(x-1)^2+3(x-1)=x^2-2x+1+3x-3=x^2+x-2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe la fórmula de $f(x)$ dejando espacio explícito donde aparece la variable.
- Paso 2: Sustituye cada aparición de la variable por la expresión completa de $g(x)$, usando paréntesis.
- Paso 3: Desarrolla las operaciones indicadas (potencias, productos, etc.).
- Paso 4: Reduce términos semejantes para obtener la expresión final simplificada.
Ejemplos
1 Si $f(x)=2x-5$ y $g(x)=x+4$, calcula $(f\circ g)(x)$.
- $(f\circ g)(x) = 2(x+4)-5$.
- $= 2x+8-5 = 2x+3$.
2 Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=3x-2$, calcula $(f\circ g)(x)$.
- $(f\circ g)(x) = (3x-2)^2$.
- $= 9x^2-12x+4$.
3 ¿Al sustituir $g(x)$ en $f(x)$ es necesario usar paréntesis?
- Sin paréntesis, se pueden cometer errores de signo o de aplicación incorrecta de exponentes.
4 ¿$(f\circ g)(x)$ y $(g\circ f)(x)$ dan siempre la misma expresión algebraica?
- En general son expresiones distintas, ya que la composición no es conmutativa.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Omitir paréntesis al sustituir $g(x)$ dentro de una potencia de $f$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sustituir solo parcialmente la expresión de $g(x)$ en $f(x)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el orden de composición al desarrollar la sustitución."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores algebraicos al expandir binomios al cuadrado durante la simplificación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Calcular algebraicamente $(f\circ g)(x)$ consiste en sustituir la expresión completa de $g(x)$ en cada aparición de la variable de $f(x)$, y luego simplificar la expresión resultante.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para calcular $(f\circ g)(x)$ algebraicamente, se debe:
Ese es el método algebraico general.
Respuesta: A) Sustituir $g(x)$ en cada aparición de la variable de $f$.
-
Es necesario usar paréntesis al sustituir $g(x)$ dentro de $f(x)$.
Evita errores de signo y de aplicación de exponentes.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué paso sigue después de sustituir $g(x)$ en $f(x)$?
Se debe desarrollar y simplificar la expresión resultante.
Respuesta: A) Simplificar y reducir términos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$(f\circ g)(x)$ y $(g\circ f)(x)$ dan siempre la misma expresión algebraica.
Generalmente son expresiones distintas.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x)=5x+1$ y $g(x)=x-2$, calcula $(f\circ g)(x)$.
f(g(x))=5(x-2)+1=5x-10+1=5x-9.
Respuesta: A) $5x-9$
-
Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+2$, entonces $(f\circ g)(x)=x^2+4x+4$.
f(g(x))=(x+2)^2=x^2+4x+4.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x)=2x^2-1$ y $g(x)=x+1$, calcula $(f\circ g)(x)$.
f(g(x))=2(x+1)^2-1=2(x^2+2x+1)-1=2x^2+4x+2-1=2x^2+4x+1.
Respuesta: A) $2x^2+4x+1$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El área de un círculo en función del radio es $A(r)=\pi r^2$, y el radio en función del tiempo (que crece) es $r(t)=2t$. ¿Cuál es la fórmula del área en función del tiempo?
A(r(t))=pi(2t)^2=pi4t^2=4pi*t^2.
Respuesta: A) $A(r(t))=4\pi t^2$
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Al calcular una composición algebraica con una función interna que tiene varios términos, se debe sustituir la expresión completa, no solo el primer término.
Sustituir parcialmente produce un resultado incorrecto.
Respuesta: Verdadero
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El costo de producción según unidades es $C(x)=50x+200$, y las unidades según horas trabajadas son $x(h)=10h$. ¿Cuál es la fórmula del costo en función de las horas?
C(x(h))=50(10h)+200=500h+200.
Respuesta: A) $C(x(h))=500h+200$