Cálculo algebraico de una función compuesta

Resumen inicial

El cálculo algebraico de una función compuesta $(f \circ g)(x)$ consiste en sustituir la expresión completa de $g(x)$ en cada aparición de la variable $x$ de la función $f(x)$ y simplificar.

Explicación en palabras simples

$El cálculo algebraico de una función compuesta $(f \circ g)(x)$ consiste en sustituir la expresión completa de $g(x)$ en cada aparición de la variable $x$ de la función $f(x)$ y simplificar$

Para encontrar la fórmula algebraica de $(f \circ g)(x)$:
1. Tomas la fórmula de la función de afuera $f(x)$.
2. Borras cada letra $x$ que veas en $f$ y abres un paréntesis gigante: $( \dots )$.
3. Metes la fórmula entera de $g(x)$ dentro de esos paréntesis.
4. Haces el álgebra (multiplicas, quitas paréntesis y juntas términos semejantes).

Por ejemplo, si $f(x) = 3x + 2$ y $g(x) = 4x - 1$:
$f(g(x)) = 3(4x - 1) + 2 = 12x - 3 + 2 = 12x - 1$.

Explicación formal

Dadas las reglas algebraicas $f(x)$ y $g(x)$, la regla analítica de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ se obtiene mediante la operación formal de sustitución simbólica:
$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x)\Big|_{x = g(x)}$$

Composición de polinomios:
- Si $f(x) = ax + b$ y $g(x) = cx + d$ (funciones afines):
$$(f \circ g)(x) = a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b)$$
La composición de dos funciones afines es siempre otra función afín con pendiente $m_{\text{comp}} = a \cdot c$ y coeficiente de posición $n_{\text{comp}} = ad + b$.

Definiciones clave

Sustitución simbólica: Reemplazo de la variable independiente por una expresión algebraica completa.
Grado del polinomio compuesto: $\text{gr}(f \circ g) = \text{gr}(f) \cdot \text{gr}(g)$.

Propiedades y relaciones importantes

Composición de lineales: La composición de funciones lineales puras es lineal ($a(cx) = (ac)x$).
Preservación polinómica: La composición de polinomios es siempre un polinomio.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El cálculo algebraico de una función compuesta $(f \circ g)(x)$ consiste en sustituir la expresión completa de $g(x)$ en cada aparición de la variable $x$ de la función $f(x)$ y simplificar$

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 1$ y $g(x) = 2x + 3$, calcula la fórmula simplificada de $(f \circ g)(x)$.

Paso 1: Plantear la sustitución: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (g(x))^2 - 4(g(x)) + 1$.
Paso 2: Insertar la expresión de $g(x)$: $(2x + 3)^2 - 4(2x + 3) + 1$.
Paso 3: Desarrollar el cuadrado de binomio: $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Paso 4: Distribuir el producto: $-4(2x + 3) = -8x - 12$.
Paso 5: Agrupar todos los términos: $4x^2 + 12x + 9 - 8x - 12 + 1$.
Paso 6: Reducir términos semejantes: $4x^2 + 4x - 2$.

Procedimiento

Paso 1: Escribir la estructura de la función externa $f$ usando paréntesis en lugar de la variable $x$.
Paso 2: Insertar la expresión completa de la función interna $g(x)$ dentro de cada paréntesis.
Paso 3: Desarrollar las potencias, productos y propiedades distributivas.
Paso 4: Reducir términos semejantes y ordenar el polinomio resultante.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar colocar paréntesis al sustituir $g(x)$, por ejemplo escribir $2 \cdot 3x - 4 + 5$ en vez de $2(3x - 4) + 5$.
Cómo corregirlo: Usa siempre paréntesis obligatorios para encerrar la expresión de la función interna al sustituirla.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"No aplicar la propiedad distributiva a todo el binomio interno."

"Sustituir f en g cuando se pide f o g."

"Desarrollar incorrectamente cuadrados de binomio."

"La composición de dos funciones afines es siempre otra función afín."

"El cálculo algebraico de (f o g)(x) se realiza reemplazando x por g(x) en la fórmula de f."

Al terminar debes poder

$Resumen El cálculo algebraico de una función compuesta $(f \circ g)(x)$ consiste en sustituir la expresión completa de $g(x)$ en cada aparición de la variable $x$ de la función $f(x)$ y simplificar$

Calcular y simplificar la expresión algebraica de funciones compuestas.

Sustituyendo simbólicamente la función interna en la externa y reduciendo los términos algebraicos resultantes.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Para calcular $(f\circ g)(x)$ algebraicamente, se debe:
Ese es el método algebraico general.

Respuesta: A) Sustituir $g(x)$ en cada aparición de la variable de $f$.
Es necesario usar paréntesis al sustituir $g(x)$ dentro de $f(x)$.
¿Qué paso sigue después de sustituir $g(x)$ en $f(x)$?
Se debe desarrollar y simplificar la expresión resultante.

Respuesta: A) Simplificar y reducir términos.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$(f\circ g)(x)$ y $(g\circ f)(x)$ dan siempre la misma expresión algebraica.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si $f(x)=5x+1$ y $g(x)=x-2$, calcula $(f\circ g)(x)$.
f(g(x))=5(x-2)+1=5x-10+1=5x-9.

Respuesta: A) $5x-9$
Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+2$, entonces $(f\circ g)(x)=x^2+4x+4$.
Si $f(x)=2x^2-1$ y $g(x)=x+1$, calcula $(f\circ g)(x)$.
f(g(x))=2(x+1)^2-1=2(x^2+2x+1)-1=2x^2+4x+2-1=2x^2+4x+1.

Respuesta: A) $2x^2+4x+1$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El área de un círculo en función del radio es $A(r)=\pi r^2$, y el radio en función del tiempo (que crece) es $r(t)=2t$. ¿Cuál es la fórmula del área en función del tiempo?
A(r(t))=pi(2t)^2=pi4t^2=4pi*t^2.

Respuesta: A) $A(r(t))=4\pi t^2$
Al calcular una composición algebraica con una función interna que tiene varios términos, se debe sustituir la expresión completa, no solo el primer término.
El costo de producción según unidades es $C(x)=50x+200$, y las unidades según horas trabajadas son $x(h)=10h$. ¿Cuál es la fórmula del costo en función de las horas?
C(x(h))=50(10h)+200=500h+200.

Respuesta: A) $C(x(h))=500h+200$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación