Análisis de restricción de dominio de la función interna
Identificar y aplicar la restricción de dominio propia de la función interna dentro de una composición.
Introducción
La primera regla que nunca se puede saltar en una composición es respetar las restricciones propias de la función que actúa primero.
Explicación
Definición formal
Para que $(f\circ g)(x)$ tenga sentido, se requiere primero que $x \in \text{Dom}(g)$; esta es una condición necesaria (aunque no suficiente por sí sola) para que la composición esté definida en $x$.
Desarrollo didáctico
Si la función interna $g$ ya tiene restricciones propias (como una raíz o una fracción), esas restricciones se heredan automáticamente a la composición completa, sin importar qué tan simple sea la función externa $f$.
Si $g(x)=\sqrt{x-4}$ (dominio $[4,+\infty[$) y $f(x)=x+10$ (sin restricciones): la composición $(f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}+10$ hereda la restricción $x\geq4$ directamente de $g$, aunque $f$ no imponga ninguna restricción propia.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las restricciones propias de la función interna $g$ (divisiones, raíces de índice par, etc.).
- Paso 2: Esas restricciones deben cumplirse siempre, sin importar la función externa $f$.
- Paso 3: Inclúyelas como parte del dominio final de la composición.
Ejemplos
1 Si $g(x)=\sqrt{x+6}$ y $f(x)=2x$, ¿qué restricción del dominio de $g$ se hereda a $(f\circ g)(x)$?
- El dominio de $g$ exige $x+6\geq0$, es decir $x\geq-6$.
- Esta restricción se hereda directamente a la composición.
2 Si $g(x)=\frac{1}{x-3}$ y $f(x)=x^2$, ¿qué restricción del dominio de $g$ se hereda a $(f\circ g)(x)$?
- El dominio de $g$ exige $x\neq3$.
- Esta restricción se hereda a la composición, independiente de que $f$ no tenga restricciones.
3 ¿Las restricciones de la función interna siempre se heredan a la composición?
- Son una condición necesaria para que $x$ sea siquiera evaluable en $g$, el primer paso de la composición.
4 ¿Puede una función externa sin restricciones eliminar las restricciones heredadas de la interna?
- Las restricciones de la función interna siempre deben respetarse, independientemente de las propiedades de la función externa.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Ignorar las restricciones propias de la función interna al determinar el dominio de la composición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que si la función externa no tiene restricciones, la composición tampoco las tiene."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir las restricciones de la función interna con las de la externa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar intersectar esta restricción con las que eventualmente imponga la función externa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al construir el dominio de $(f\circ g)(x)$, la primera restricción a considerar es la del **dominio propio de la función interna** $g$, ya que $x$ debe ser un valor válido para $g$ antes de cualquier otra consideración.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La primera restricción a considerar en el dominio de $(f\circ g)$ es:
Sin ser válido para g, x ni siquiera puede evaluarse en el primer paso.
Respuesta: A) El dominio propio de la función interna $g$.
-
Las restricciones de la función interna siempre se heredan a la composición.
Son una condición necesaria para poder evaluar la función interna.
Respuesta: Verdadero
-
Si $g$ tiene restricciones y $f$ no tiene ninguna, ¿la composición hereda esas restricciones?
Las restricciones de la función interna se heredan sin importar las propiedades de la externa.
Respuesta: A) Sí, siempre.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Una función externa sin restricciones elimina las restricciones heredadas de la interna.
Las restricciones de la interna siempre deben respetarse.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $g(x)=\sqrt{x-2}$ y $f(x)=3x$, ¿qué restricción de $g$ se hereda a la composición?
El dominio de g exige x-2>=0.
Respuesta: A) $x\geq2$
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Si $g(x)=\frac{1}{x+5}$ y $f(x)=x+1$, la composición hereda la restricción $x\neq-5$.
El dominio de g exige x+5!=0.
Respuesta: Verdadero
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Si $g(x)=\sqrt{9-x}$ y $f(x)=x^2$, ¿qué restricción de $g$ se hereda a la composición?
El dominio de g exige 9-x>=0, es decir x<=9.
Respuesta: A) $x\leq9$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si la función interna de un modelo compuesto tiene una restricción de dominio, esa restricción debe cumplirse independientemente de qué tan simple sea la función externa.
La restricción de la interna es una condición previa e ineludible para poder evaluar la composición.
Respuesta: Verdadero
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Un modelo compone el tiempo de vuelo restante $g(t)=\sqrt{T-t}$ (con $T$ la duración total) con el consumo de combustible $f$. ¿Qué restricción hereda la composición de $g$?
El dominio de g exige que el radicando T-t sea no negativo, restricción que se hereda directamente a la composición.
Respuesta: A) Que $t\leq T$, sin importar las propiedades de $f$.
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Un modelo financiero compone el saldo disponible $g(x)=\frac{1}{x-100}$ (donde $x$ son días desde una fecha límite) con la tasa de interés $f$. ¿Qué restricción de $g$ debe respetarse en la composición?
El dominio de g exige que el denominador x-100 sea distinto de cero.
Respuesta: A) $x\neq100$