Análisis de restricción de dominio de la función interna

Resumen inicial

Toda restricción del dominio de la función interna $g$ se transfiere obligatoriamente a la función compuesta $(f \circ g)$, ya que si un valor no puede ser evaluado por $g$, el proceso compuesto no puede iniciarse.

Explicación en palabras simples

$Toda restricción del dominio de la función interna $g$ se transfiere obligatoriamente a la función compuesta $(f \circ g)$, ya que si un valor no puede ser evaluado por $g$, el proceso compuesto no puede iniciarse$

La función interna $g$ es la primera puerta de entrada de la cadena:
- Si un número $x$ está prohibido en $g$ (por ejemplo, porque divide por cero o genera una raíz negativa en $g$), queda automáticamente prohibido para toda la composición.
- No importa qué tan sencilla o bonita quede la fórmula final después de simplificar: si el número no podía entrar a $g$, tampoco puede entrar a $(f \circ g)$.

Explicación formal

Sea $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. Por definición formal de composición:
$$x \notin \text{Dom}(g) \implies g(x) \text{ no está definido} \implies f(g(x)) \text{ no existe}$$

Esto establece el principio de herencia incondicional de restricciones internas:
$$\text{Dom}(f \circ g) \subseteq \text{Dom}(g)$$

El peligro de las simplificaciones algebraicas aparentes:
- Sea $g(x) = \sqrt{x}$ (con $\text{Dom}(g) = [0, +\infty[$) y $f(u) = u^2$ (con $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$).
- La expresión algebraica parece simplificarse a $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$.
- Sin embargo, $\text{Dom}(f \circ g) = [0, +\infty[$ y no todo $\mathbb{R}$, porque los números negativos no pueden pasar por la raíz inicial.

Definiciones clave

Herencia de restricciones: Principio por el cual los valores excluidos de $g$ quedan indefectiblemente excluidos de $f \circ g$.
Simplificación condicionada: Reducción algebraica cuya validez queda acotada al dominio original pre-simplificación.

Propiedades y relaciones importantes

Puntos no removibles: Las asíntotas verticales o discontinuidades de $g$ persisten como agujeros de dominio en la composición.
Condición necesaria: $x \in \text{Dom}(g)$ es una condición necesaria (aunque no siempre suficiente) para que exista $(f \circ g)(x)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo Toda restricción del dominio de la función interna $g$ se transfiere obligatoriamente a la función compuesta $(f \circ g)$, ya que si un valor no puede ser evaluado por $g$, el proceso compuesto no puede iniciarse$

Analiza el dominio de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ para $g(x) = \frac{1}{x - 3}$ y $f(u) = 2u + 5$.

Paso 1: Analizar la función interna $g(x) = \frac{1}{x - 3}$.
Paso 2: Identificar la restricción del denominador: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Paso 3: Establecer el dominio de la interna: $\text{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
Paso 4: Analizar la función externa: $f(u) = 2u + 5$ es polinómica y no impone restricciones adicionales ($ ext{Dom}(f) = \mathbb{R}$).
Paso 5: Concluir que el dominio resultante hereda la restricción de $g$: $\text{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Procedimiento

Paso 1: Examinar la fórmula de la función interna $g(x)$ en busca de denominadores, raíces pares o logaritmos.
Paso 2: Calcular el conjunto $\text{Dom}(g)$ determinando todos los valores prohibidos de $x$.
Paso 3: Registrar que ningún valor fuera de $\text{Dom}(g)$ puede formar parte del dominio compuesto.
Paso 4: Proceder a analizar las restricciones adicionales de la función externa.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Afirmar que como $(\sqrt{x})^2 = x$ es una recta, su dominio son todos los reales $\mathbb{R}$.
Cómo corregirlo: La simplificación algebraica solo es válida dentro del dominio de la función que actúa primero ($x \ge 0$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Asumir que si f es afín, el dominio de la composición siempre es R."

"La simplificación algebraica de (f o g)(x) preserva las restricciones de dominio originales de g(x)."

"Cualquier valor excluido del dominio de la función interna queda excluido de la función compuesta."

"Olvidar que las raíces de índice par exigen radicando mayor o igual a cero."

"Ignorar las restricciones de g tras simplificar la expresión."

Al terminar debes poder

$Resumen Toda restricción del dominio de la función interna $g$ se transfiere obligatoriamente a la función compuesta $(f \circ g)$, ya que si un valor no puede ser evaluado por $g$, el proceso compuesto no puede iniciarse$

Identificar y justificar las restricciones heredadas de la función interna en una composición.

Determinando Dom(g) y aplicando el principio Dom(f ∘ g) ⊆ Dom(g) para descartar valores no permitidos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

La primera restricción a considerar en el dominio de $(f\circ g)$ es:
Sin ser válido para g, x ni siquiera puede evaluarse en el primer paso.

Respuesta: A) El dominio propio de la función interna $g$.
Las restricciones de la función interna siempre se heredan a la composición.
Si $g$ tiene restricciones y $f$ no tiene ninguna, ¿la composición hereda esas restricciones?
Las restricciones de la función interna se heredan sin importar las propiedades de la externa.

Respuesta: A) Sí, siempre.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Una función externa sin restricciones elimina las restricciones heredadas de la interna.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Si $g(x)=\sqrt{x-2}$ y $f(x)=3x$, ¿qué restricción de $g$ se hereda a la composición?
El dominio de g exige x-2>=0.

Respuesta: A) $x\geq2$
Si $g(x)=\frac{1}{x+5}$ y $f(x)=x+1$, la composición hereda la restricción $x\neq-5$.
Si $g(x)=\sqrt{9-x}$ y $f(x)=x^2$, ¿qué restricción de $g$ se hereda a la composición?
El dominio de g exige 9-x>=0, es decir x<=9.

Respuesta: A) $x\leq9$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si la función interna de un modelo compuesto tiene una restricción de dominio, esa restricción debe cumplirse independientemente de qué tan simple sea la función externa.
Un modelo compone el tiempo de vuelo restante $g(t)=\sqrt{T-t}$ (con $T$ la duración total) con el consumo de combustible $f$. ¿Qué restricción hereda la composición de $g$?
El dominio de g exige que el radicando T-t sea no negativo, restricción que se hereda directamente a la composición.

Respuesta: A) Que $t\leq T$, sin importar las propiedades de $f$.
Un modelo financiero compone el saldo disponible $g(x)=\frac{1}{x-100}$ (donde $x$ son días desde una fecha límite) con la tasa de interés $f$. ¿Qué restricción de $g$ debe respetarse en la composición?
El dominio de g exige que el denominador x-100 sea distinto de cero.

Respuesta: A) $x\neq100$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación