Análisis de restricción de dominio de la función externa sobre la imagen intermedia
Identificar la restricción adicional que la función externa impone sobre el resultado (imagen intermedia) de la función interna.
Introducción
Además de respetar las reglas de la función interna, el resultado que ella entrega debe también ser aceptable para la función externa que lo recibe a continuación.
Explicación
Definición formal
Además de exigir $x \in \text{Dom}(g)$, se debe exigir $g(x) \in \text{Dom}(f)$. Esta segunda condición se traduce en una restricción sobre $x$ que depende de la fórmula específica de $g$ y del dominio de $f$, y que suele expresarse resolviendo una inecuación o ecuación auxiliar.
Desarrollo didáctico
Esta es la restricción que más se olvida: no basta con que $x$ sea válido para $g$, el resultado de $g$ también debe ser digerible por $f$.
Si $g(x)=x-7$ y $f(x)=\sqrt{x}$ (dominio $[0,+\infty[$): se necesita que el resultado intermedio $g(x)=x-7$ sea mayor o igual a cero, es decir $x\geq7$. Esta restricción proviene exclusivamente de la función externa $f$, no de $g$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el dominio de la función externa $f$.
- Paso 2: Plantea la condición $g(x) \in \text{Dom}(f)$, sustituyendo la fórmula de $g$.
- Paso 3: Resuelve la ecuación o inecuación resultante para obtener la restricción sobre $x$.
- Paso 4: Combina esta restricción con las propias de la función interna.
Ejemplos
1 Si $g(x)=x+1$ y $f(x)=\sqrt{x}$, determina la restricción que $f$ impone sobre $g(x)$.
- Se exige que $g(x)\geq0$, es decir $x+1\geq0$.
- $x\geq-1$.
2 Si $g(x)=2x$ y $f(x)=\frac{1}{x-6}$, determina la restricción que $f$ impone sobre $g(x)$.
- Se exige que $g(x)\neq6$, es decir $2x\neq6$.
- $x\neq3$.
3 ¿La restricción de la función externa depende de la fórmula de la función interna?
- La condición se traduce sustituyendo la fórmula de $g$ en la restricción del dominio de $f$.
4 ¿Basta con conocer el dominio de $f$ como conjunto abstracto sin sustituir $g(x)$?
- Se debe sustituir la expresión de $g(x)$ en la restricción de $f$ para obtener una condición concreta sobre $x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar por completo la restricción impuesta por la función externa, considerando solo la interna."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la restricción de $f$ directamente sobre $x$ en vez de sobre $g(x)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No resolver correctamente la ecuación o inecuación auxiliar generada por la sustitución."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta restricción con la del dominio propio de $g$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La segunda restricción a considerar en $(f\circ g)(x)$ es que el **resultado intermedio $g(x)$ debe pertenecer al dominio de la función externa** $f$, generando una condición adicional sobre $x$ más allá del dominio propio de $g$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La segunda restricción a considerar en $(f\circ g)(x)$ es:
Es la condición adicional impuesta por la función externa sobre el resultado intermedio.
Respuesta: A) Que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.
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La restricción de la función externa depende de la fórmula de la función interna.
Se sustituye g(x) en la restricción de f para obtener una condición concreta sobre x.
Respuesta: Verdadero
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¿Sobre qué expresión se aplica la restricción de la función externa?
La condición del dominio de f se aplica sobre el resultado intermedio g(x).
Respuesta: A) Sobre $g(x)$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Es común olvidar por completo la restricción impuesta por la función externa.
Es uno de los errores más frecuentes al calcular el dominio de una composición.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $g(x)=x-3$ y $f(x)=\sqrt{x}$, ¿qué restricción impone $f$ sobre $g(x)$?
Se exige g(x)>=0, es decir x-3>=0, x>=3.
Respuesta: A) $x\geq3$
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Si $g(x)=4x$ y $f(x)=\frac{1}{x-8}$, la restricción impuesta por $f$ sobre $g(x)$ es $x\neq2$.
Se exige g(x)!=8, es decir 4x!=8, x!=2.
Respuesta: Verdadero
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Si $g(x)=2x-1$ y $f(x)=\sqrt{x+5}$, ¿qué restricción impone $f$ sobre $g(x)$?
Se exige g(x)+5>=0, (2x-1)+5>=0, 2x+4>=0, x>=-2.
Respuesta: A) $x\geq-2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un modelo compone la temperatura ambiental $g(t)$ con el tiempo de reacción química $f$, que solo está definido para temperaturas mayores a 0°C. Si $g(t)=t-10$, ¿qué restricción hereda la composición de $f$?
Se exige g(t)>0, es decir t-10>0, t>10, restricción impuesta por el dominio de f.
Respuesta: A) Que $t>10$.
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No basta con conocer el dominio de $f$ como conjunto abstracto; se debe sustituir $g(x)$ en esa restricción para obtener una condición concreta sobre $x$.
Ese paso de sustitución es esencial para traducir la restricción de f en una condición sobre la variable original x.
Respuesta: Verdadero
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Un modelo compone la altitud $g(x)=500-x$ (según la distancia recorrida $x$) con la presión de oxígeno $f$, definida solo para altitudes no negativas. ¿Cuál es la restricción resultante sobre $x$?
Se exige g(x)>=0, es decir 500-x>=0, x<=500.
Respuesta: A) $x\leq500$