Análisis de restricción de dominio de la función externa sobre la imagen intermedia
Resumen inicial
El análisis de restricción de la función externa exige que la imagen intermedia generada por la función interna pertenezca al dominio admisible de la función externa: $g(x) \in \text{Dom}(f)$.
Explicación en palabras simples
La función externa $f$ es la segunda aduana del proceso:
- Aunque un número $x$ pueda entrar a $g$ sin problemas, el resultado intermedio $g(x)$ que sale de allí debe ser aceptable para $f$.
- Por ejemplo, si $f(u) = \sqrt{u}$ (solo acepta números no negativos) y $g(x) = x - 10$, entonces obligatoriamente necesitamos que el resultado $x - 10$ sea mayor o igual a cero ($x - 10 \ge 0 \implies x \ge 10$).
Explicación formal
Dadas $g: \text{Dom}(g) \to \mathbb{R}$ y $f: \text{Dom}(f) \to \mathbb{R}$, la condición de existencia de la etapa externa impone:
$$u = g(x) \in \text{Dom}(f)$$
Metodología de resolución por tipos de restricción externa:
1. Restricción de radical par en $f$ ($f(u) = \sqrt{u}$):
$$\text{Dom}(f) = [0, +\infty[ \implies g(x) \ge 0$$
2. Restricción de denominador en $f$ ($f(u) = \frac{1}{u - k}$):
$$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{k\} \implies g(x) \neq k$$
3. Restricción de argumento logarítmico en $f$ ($f(u) = \ln(u)$):
$$\text{Dom}(f) = ]0, +\infty[ \implies g(x) > 0$$
La alternativa correcta es '12 - 4x >= 0'. Se exige que la imagen intermedia $g(x)$ sea no negativa.
Definiciones clave
- Condición de acople: Requisito algebraico $g(x) \in \text{Dom}(f)$ que conecta las dos funciones.
- Restricción inducida sobre $x$: Acotación o exclusión sobre la variable de entrada original generada por las exigencias de $f$.
Propiedades y relaciones importantes
- Intersección final: El dominio definitivo se obtiene intersectando la condición inducida con $\text{Dom}(g)$.
- Dominio vacío: Si la imagen de $g$ no tiene intersección con el dominio de $f$ ($\text{Rec}(g) \cap \text{Dom}(f) = \emptyset$), la composición no existe ($\text{Dom} = \emptyset$).
Ejemplo guiado
Determina el dominio de $(f \circ g)(x)$ para $f(u) = \frac{1}{\sqrt{u}}$ y $g(x) = 2x - 8$.
- Paso 1: Analizar la función interna: $g(x) = 2x - 8$ es afín, $\text{Dom}(g) = \mathbb{R}$.
- Paso 2: Analizar la función externa: $f(u) = \frac{1}{\sqrt{u}}$ exige argumento estrictamente positivo ($u > 0$).
- Paso 3: Plantear la condición de acople sobre $g(x)$: $g(x) > 0 \implies 2x - 8 > 0$.
- Paso 4: Resolver la inecuación: $2x > 8 \implies x > 4$.
- Paso 5: Intersectar con el dominio interno: $]4, +\infty[ \cap \mathbb{R} = ]4, +\infty[$.
- Paso 6: Concluir que $\text{Dom}(f \circ g) = ]4, +\infty[$.
La alternativa correcta es 'x = 2 y x = -2'. $g(x) = 5 \implies x^2 + 1 = 5 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Procedimiento
- Paso 1: Determinar las condiciones de existencia de la función externa $f$ identificando su dominio $\text{Dom}(f)$.
- Paso 2: Plantear la condición sustituyendo la expresión de $g(x)$ en el lugar de la variable de $f$ ($g(x) \in \text{Dom}(f)$).
- Paso 3: Resolver la inecuación o ecuación resultante para la variable $x$.
- Paso 4: Intersectar la solución con el dominio de la función interna $\text{Dom}(g)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Exigir $x \in \text{Dom}(f)$ en lugar de $g(x) \in \text{Dom}(f)$.
- Cómo corregirlo: La función externa $f$ recibe como entrada la salida de $g$ ($g(x)$), por lo que la restricción debe aplicarse sobre la expresión completa $g(x)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $x^2 - 9 \ge 0 \implies (x - 3)(x + 3) \ge 0 \implies ]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[$.
- Paso 1: $g(x) \neq -6 \implies 2x \neq -6 \implies x \neq -3$.
- Paso 1: $g(x) > 0 \implies 10 - x > 0 \implies x < 10 \implies ]-\infty, 10[$.
- Paso 1: $-x^2 - 4 \le -4 < 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, nunca es $\ge 0$, luego $\text{Dom} = \emptyset$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Formular y resolver las restricciones inducidas por la función externa sobre la imagen intermedia.
Planteando la condición de acople g(x) ∈ Dom(f), resolviendo la inecuación/ecuación resultante e intersectando con Dom(g).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La segunda restricción a considerar en $(f\circ g)(x)$ es:
Es la condición adicional impuesta por la función externa sobre el resultado intermedio.
Respuesta: A) Que $g(x)$ pertenezca al dominio de $f$.
-
La restricción de la función externa depende de la fórmula de la función interna.
Se sustituye g(x) en la restricción de f para obtener una condición concreta sobre x.
Respuesta: Verdadero
-
¿Sobre qué expresión se aplica la restricción de la función externa?
La condición del dominio de f se aplica sobre el resultado intermedio g(x).
Respuesta: A) Sobre $g(x)$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Es común olvidar por completo la restricción impuesta por la función externa.
Es uno de los errores más frecuentes al calcular el dominio de una composición.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $g(x)=x-3$ y $f(x)=\sqrt{x}$, ¿qué restricción impone $f$ sobre $g(x)$?
Se exige g(x)>=0, es decir x-3>=0, x>=3.
Respuesta: A) $x\geq3$
-
Si $g(x)=4x$ y $f(x)=\frac{1}{x-8}$, la restricción impuesta por $f$ sobre $g(x)$ es $x\neq2$.
Se exige g(x)!=8, es decir 4x!=8, x!=2.
Respuesta: Verdadero
-
Si $g(x)=2x-1$ y $f(x)=\sqrt{x+5}$, ¿qué restricción impone $f$ sobre $g(x)$?
Se exige g(x)+5>=0, (2x-1)+5>=0, 2x+4>=0, x>=-2.
Respuesta: A) $x\geq-2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un modelo compone la temperatura ambiental $g(t)$ con el tiempo de reacción química $f$, que solo está definido para temperaturas mayores a 0°C. Si $g(t)=t-10$, ¿qué restricción hereda la composición de $f$?
Se exige g(t)>0, es decir t-10>0, t>10, restricción impuesta por el dominio de f.
Respuesta: A) Que $t>10$.
-
No basta con conocer el dominio de $f$ como conjunto abstracto; se debe sustituir $g(x)$ en esa restricción para obtener una condición concreta sobre $x$.
Ese paso de sustitución es esencial para traducir la restricción de f en una condición sobre la variable original x.
Respuesta: Verdadero
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Un modelo compone la altitud $g(x)=500-x$ (según la distancia recorrida $x$) con la presión de oxígeno $f$, definida solo para altitudes no negativas. ¿Cuál es la restricción resultante sobre $x$?
Se exige g(x)>=0, es decir 500-x>=0, x<=500.
Respuesta: A) $x\leq500$