Resolución de ecuaciones exponenciales usando logaritmos
Resolver ecuaciones donde aparecen simultáneamente expresiones exponenciales y logarítmicas, usando su relación inversa.
Introducción
Algunos problemas combinan ambos tipos de expresión en la misma ecuación; resolverlos requiere decidir si conviene aplicar un logaritmo o una potencia a ambos lados.
Explicación
Definición formal
Si una ecuación tiene la incógnita atrapada dentro de un exponente, se aplica $\log_b(\cdot)$ a ambos lados para liberarla, usando $\log_b(b^x)=x$. Si la incógnita está dentro de un logaritmo, se aplica la función exponencial de igual base a ambos lados, usando $b^{\log_b(x)}=x$.
Desarrollo didáctico
Para resolver $3^{2x}=81$, se aplica $\log_3$ a ambos lados: $\log_3(3^{2x})=\log_3(81)$, lo que da $2x=4$, y luego $x=2$. Para resolver $\log_5(x)=3^{0}$, primero se simplifica el lado derecho, $3^0=1$, y luego se convierte a forma exponencial: $x=5^1=5$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica si la incógnita está dentro de un exponente o dentro de un logaritmo.
- Paso 2: Si está en un exponente, aplica el logaritmo de igual base a ambos lados de la ecuación.
- Paso 3: Si está en un logaritmo, aplica la función exponencial de igual base a ambos lados.
- Paso 4: Simplifica usando las propiedades $\log_b(b^x)=x$ o $b^{\log_b(x)}=x$ según corresponda.
- Paso 5: Verifica que la solución cumpla las restricciones de dominio de la expresión original.
Ejemplos
1 Resuelve $2^{3x}=64$.
- {'Se aplica $\\log_2$ a ambos lados': '$\\log_2(2^{3x})=\\log_2(64)$.'}
- Se simplifica: $3x=6$, así que $x=2$.
2 Resuelve $\log_4(x)=2^1$.
- Se simplifica el lado derecho: $2^1=2$.
- Se convierte a forma exponencial: $x=4^2=16$.
3 ¿Conviene resolver $5^{x+1}=125$ igualando exponentes en vez de aplicar logaritmos?
- Como $125=5^3$, se iguala $x+1=3$, obteniendo $x=2$, sin necesidad de logaritmos.
4 ¿Debe verificarse siempre que la solución obtenida cumpla las restricciones de dominio de logaritmos involucrados?
- Cualquier argumento logarítmico en la ecuación original debe quedar positivo con la solución encontrada.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar logaritmos con distinta base a ambos lados de la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar el dominio de los logaritmos involucrados en la solución final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar logaritmos cuando igualar bases directamente sería más simple y directo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuándo aplicar logaritmo (incógnita en exponente) y cuándo aplicar potencia (incógnita en argumento)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver ecuaciones que combinan exponenciales y logaritmos, se aplica una función (logaritmo o exponencial) a **ambos lados de la ecuación**, aprovechando que son operaciones inversas entre sí.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si la incógnita está en un exponente, ¿qué operación conviene aplicar a ambos lados?
El logaritmo libera la incógnita atrapada en el exponente.
Respuesta: A) Un logaritmo de base adecuada
-
Si la incógnita está dentro de un logaritmo, conviene aplicar la función exponencial de igual base.
La exponencial deshace el logaritmo y libera la incógnita del argumento.
Respuesta: Verdadero
-
Al resolver $3^{2x}=27$, ¿cuál es la estrategia más simple?
Como el resultado es una potencia exacta de la base, no se necesita logaritmo.
Respuesta: A) Igualar bases, ya que $27=3^3$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$5^{x}=125$ tiene solución $x=3$.
Como $125=5^3$, se iguala directamente $x=3$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Resuelve $2^{x}=32$.
Como $32=2^5$, se iguala $x=5$.
Respuesta: A) $x=5$
-
Resuelve $\log_2(x)=2^2$.
Se simplifica $2^2=4$ y luego se convierte: $x=2^4=16$.
Respuesta: A) $x=2^4=16$
-
Al resolver ecuaciones combinadas, siempre debe verificarse el dominio de los logaritmos involucrados en la solución final.
Es un paso obligatorio para descartar soluciones inválidas.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Resuelve $4^{x-1}=64$.
Como $64=4^3$, se iguala $x-1=3$, obteniendo $x=4$.
Respuesta: A) $x=4$
-
$\log_3(x)=4^{0}$ tiene como solución $x=1$.
Se simplifica el lado derecho: $4^0=1$, así que $\log_3(x)=1$, y convirtiendo a forma exponencial se obtiene $x=3^1=3$, no $x=1$.
Respuesta: Falso
-
Resuelve $2^{\log_2(x)}=10$.
Se aplica directamente $b^{\log_b(x)}=x$, dando $x=10$.
Respuesta: A) $x=10$