Reconocimiento de la función logarítmica como inversa de la función exponencial

Resumen inicial

El reconocimiento de la función logarítmica como inversa de la función exponencial establece que $f(x) = b^x \Longleftrightarrow f^{-1}(x) = \log_b(x)$ con $b > 0, b \neq 1$, intercambiando exactamente los conjuntos dominio y recorrido: $\operatorname{Dom}(f) = \operatorname{Rec}(f^{-1}) = \mathbb{R}$ y $\operatorname{Rec}(f) = \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R}^+$.

Explicación en palabras simples

$El reconocimiento de la función logarítmica como inversa de la función exponencial establece que $f(x) = b^x \Longleftrightarrow f^{-1}(x) = \log_b(x)$ con $b > 0, b \neq 1$, intercambiando exactamente los conjuntos dominio y recorrido: $\operatorname{Dom}(f) = \operatorname{Rec}(f^{-1}) = \mathbb{R}$ y $\operatorname{Rec}(f) = \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R}^+$$

La función exponencial y la función logarítmica son inversas exactas, como subir y bajar una escalera:

La función exponencial $f(x) = b^x$:
Toma cualquier número real en el exponente ($x \in \mathbb{R}$).
Devuelve siempre un número estrictamente positivo ($y > 0$).
La función logarítmica $f^{-1}(x) = \log_b(x)$:
Toma solo números positivos ($x > 0$).
Devuelve el exponente original ($y \in \mathbb{R}$).
Pares ordenados que se dan vuelta: Si $(3, 8)$ está en $y = 2^x$, entonces $(8, 3)$ está en $y = \log_2(x)$.

Explicación formal

Sea $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y consideremos la aplicación exponencial $\exp_b: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ definida por $\exp_b(x) = b^x$. Dado que $\exp_b$ es continua y estrictamente monótona, es un homeomorfismo biyectivo sobre su imagen. Por el teorema de la función inversa global, existe una única aplicación inversa $\exp_b^{-1} = \log_b: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ tal que:
$$\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}^+: \quad y = b^x \Longleftrightarrow x = \log_b(y)$$

Intercambio de espacios fundamentales:
- $\operatorname{Dom}(\log_b) = \operatorname{Rec}(\exp_b) = \mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$.
- $\operatorname{Rec}(\log_b) = \operatorname{Dom}(\exp_b) = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.

Definiciones clave

Función inversa biyectiva: Operador que revierte exactamente la acción de la función original.
Dualidad de espacios: Principio por el cual el dominio de una función coincide con el recorrido de su inversa.

Propiedades y relaciones importantes

Identidad en composición: $(f \circ f^{-1})(x) = x$ para todo $x > 0$ y $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
Inversas canónicas: $y = 10^x \leftrightarrow y = \log(x)$ y $y = e^x \leftrightarrow y = \ln(x)$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo El reconocimiento de la función logarítmica como inversa de la función exponencial establece que $f(x) = b^x \Longleftrightarrow f^{-1}(x) = \log_b(x)$ con $b > 0, b \neq 1$, intercambiando exactamente los conjuntos dominio y recorrido: $\operatorname{Dom}(f) = \operatorname{Rec}(f^{-1}) = \mathbb{R}$ y $\operatorname{Rec}(f) = \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R}^+$$

Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$:
1) Determina la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$.
2) Si $f(4) = 81$, ¿cuánto vale $f^{-1}(81)$?
3) Indica el dominio y recorrido de $f^{-1}(x)$.

Paso 1: Expresión de la función inversa: - Despejar $x$ en $y = 3^x \implies x = \log_3(y)$. - Intercambiar variables: **$f^{-1}(x) = \log_3(x)$**.
Paso 2: Evaluación inversa: - Como $f(4) = 3^4 = 81$, por definición inversa **$f^{-1}(81) = \log_3(81) = 4$**.
Paso 3: Dominios y recorridos: - $\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Rec}(f) = ]0, +\infty[$. - $\operatorname{Rec}(f^{-1}) = \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar la base $b$ de la función exponencial dada $f(x) = b^x$.
Paso 2: Escribir la función inversa directamente como $f^{-1}(x) = \log_b(x)$.
Paso 3: Verificar que el dominio de la inversa sea $]0, +\infty[$ y su recorrido $\mathbb{R}$.
Paso 4: Comprobar la correspondencia de pares ordenados $(a, b^a) \leftrightarrow (b^a, a)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Confundir la función inversa $f^{-1}(x) = \log_b(x)$ con la recíproca $1 / b^x = b^{-x}$.
Cómo corregirlo: La inversa de una potencia es el LOGARITMO, mientras que $b^{-x}$ es solo una potencia con exponente negativo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir la inversa funcional f⁻¹ con la recíproca 1/f."

"La función logarítmica es la inversa biyectiva continua de la función exponencial de igual base."

"Olvidar que el dominio de la función inversa no admite valores negativos ni cero."

"El dominio de la exponencial es el recorrido del logaritmo, y el recorrido de la exponencial es el dominio del logaritmo."

"Cambiar la base numérica al plantear el logaritmo inverso."

Al terminar debes poder

$Resumen El reconocimiento de la función logarítmica como inversa de la función exponencial establece que $f(x) = b^x \Longleftrightarrow f^{-1}(x) = \log_b(x)$ con $b > 0, b \neq 1$, intercambiando exactamente los conjuntos dominio y recorrido: $\operatorname{Dom}(f) = \operatorname{Rec}(f^{-1}) = \mathbb{R}$ y $\operatorname{Rec}(f) = \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R}^+$$

Reconocer y definir la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.

Estableciendo la equivalencia f(x) = bˣ ⟺ f⁻¹(x) = log_b(x) e intercambiando dominio y recorrido.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

¿Cuál es la función inversa de $g(x)=b^x$?
La función logarítmica de igual base es siempre la inversa de la exponencial.

Respuesta: A) $f(x)=\log_b(x)$
$f(x)=\log_7(x)$ y $g(x)=7^x$ son funciones inversas.
¿Qué condición deben cumplir dos funciones para ser inversas?
Es la definición formal de par de funciones inversas.

Respuesta: A) $f(g(x))=x$ y $g(f(x))=x$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

La inversa de $g(x)=10^x$ es $f(x)=\log_{10}(x)$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Cuál es la inversa de $g(x)=6^x$?
Se conserva la base al construir la función inversa.

Respuesta: A) $\log_6(x)$
Verifica: si $g(2)=9$ con $g(x)=3^x$, ¿cuánto vale $f(9)$ con $f(x)=\log_3(x)$?
Al aplicar la inversa al resultado, se recupera el valor original $x=2$.

Respuesta: A) 2
Para verificar que dos funciones son inversas, basta con comprobar la composición en un solo sentido.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Toda función exponencial con base válida tiene una función logarítmica inversa.
¿Cuál es el error frecuente respecto a la inversa del logaritmo?
La inversa correcta es siempre una función exponencial de igual base.

Respuesta: A) Suponer que es otra función logarítmica
¿Cuál es la inversa de $f(x)=\log_{0,5}(x)$?
La inversa conserva la misma base $0{,}5$.

Respuesta: A) $g(x)=0{,}5^x$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación