Reconocimiento de la función logarítmica como inversa de la función exponencial
Reconocer que $f(x)=\log_b(x)$ y $g(x)=b^x$ son funciones inversas entre sí.
Introducción
Dos funciones son inversas cuando una deshace exactamente lo que hace la otra. La función logarítmica y la exponencial cumplen precisamente esa relación.
Explicación
Definición formal
Dos funciones $f$ y $g$ son inversas si $f(g(x))=x$ para todo $x$ del dominio de $g$, y $g(f(x))=x$ para todo $x$ del dominio de $f$. Para $g(x)=b^x$ y $f(x)=\log_b(x)$, ambas composiciones se cumplen, lo que confirma que son funciones inversas.
Desarrollo didáctico
Si $g(2)=b^2$, aplicar $f$ a ese resultado debe devolver $2$: $f(b^2)=\log_b(b^2)=2$. De la misma manera, si $f(x)=\log_b(x)$ da un resultado $y$, aplicar $g$ a $y$ devuelve el $x$ original: $g(y)=b^y=x$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la función exponencial $g(x)=b^x$ y su base $b$.
- Paso 2: Reconoce que su inversa es $f(x)=\log_b(x)$, con la misma base $b$.
- Paso 3: Verifica la relación aplicando una función sobre el resultado de la otra.
Ejemplos
1 ¿Cuál es la función inversa de $g(x)=5^x$?
- Se identifica la base $b=5$.
- La función inversa es $f(x)=\log_5(x)$.
2 Verifica que $f(x)=\log_2(x)$ y $g(x)=2^x$ son inversas evaluando en $x=3$.
- Se calcula $g(3)=2^3=8$.
- Se aplica $f$ al resultado: $f(8)=\log_2(8)=3$, recuperando el valor original.
3 ¿Toda función $f(x)=\log_b(x)$ tiene como inversa a una función exponencial con la misma base?
- Por definición, $\log_b(x)$ y $b^x$ son siempre funciones inversas entre sí.
4 ¿Puede $f(x)=\log_2(x)$ ser la inversa de $h(x)=\log_5(x)$?
- La inversa de una función logarítmica es siempre una función exponencial de igual base, no otra logarítmica.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Suponer que la inversa de $\log_b(x)$ es otra función logarítmica en vez de una exponencial."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar una base distinta para la función inversa."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir "función inversa" con "función recíproca" ($1/f(x)$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar la relación mediante composición para confirmar que efectivamente son inversas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Las funciones $g(x)=b^x$ y $f(x)=\log_b(x)$ son **inversas entre sí**: cada una "deshace" el efecto de la otra, siempre que $b>0$ y $b\neq1$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la función inversa de $g(x)=b^x$?
La función logarítmica de igual base es siempre la inversa de la exponencial.
Respuesta: A) $f(x)=\log_b(x)$
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$f(x)=\log_7(x)$ y $g(x)=7^x$ son funciones inversas.
Comparten la misma base, condición necesaria para ser inversas.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué condición deben cumplir dos funciones para ser inversas?
Es la definición formal de par de funciones inversas.
Respuesta: A) $f(g(x))=x$ y $g(f(x))=x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La inversa de $g(x)=10^x$ es $f(x)=\log_{10}(x)$.
Ambas comparten la base $10$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Cuál es la inversa de $g(x)=6^x$?
Se conserva la base al construir la función inversa.
Respuesta: A) $\log_6(x)$
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Verifica: si $g(2)=9$ con $g(x)=3^x$, ¿cuánto vale $f(9)$ con $f(x)=\log_3(x)$?
Al aplicar la inversa al resultado, se recupera el valor original $x=2$.
Respuesta: A) 2
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Para verificar que dos funciones son inversas, basta con comprobar la composición en un solo sentido.
Deben verificarse ambas composiciones, $f(g(x))=x$ y $g(f(x))=x$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Toda función exponencial con base válida tiene una función logarítmica inversa.
Se cumple para toda base $b>0$, $b\neq1$.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál es el error frecuente respecto a la inversa del logaritmo?
La inversa correcta es siempre una función exponencial de igual base.
Respuesta: A) Suponer que es otra función logarítmica
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¿Cuál es la inversa de $f(x)=\log_{0,5}(x)$?
La inversa conserva la misma base $0{,}5$.
Respuesta: A) $g(x)=0{,}5^x$