Elección entre modelo exponencial y logarítmico según el contexto
Decidir si una situación contextual se describe mejor con un modelo exponencial o con uno logarítmico, según qué variable depende de cuál.
Introducción
Exponencial y logarítmica describen la misma relación entre dos variables, pero desde puntos de vista opuestos: la elección depende de qué magnitud se quiere calcular a partir de cuál otra.
Explicación
Definición formal
Dada la relación $y=b^x$ entre dos variables, si el problema pide calcular $y$ conocido $x$, corresponde un modelo exponencial directo. Si el problema pide calcular $x$ conocido $y$, corresponde despejar usando la función inversa, es decir, un modelo logarítmico $x=\log_b(y)$.
Desarrollo didáctico
Si un capital crece según $C(t)=1000\cdot1{,}05^t$ y se pregunta "¿cuánto dinero habrá en $5$ años?", se usa directamente el modelo exponencial evaluando $t=5$. Pero si se pregunta "¿en cuántos años el capital llegará a $2000$?", conviene despejar $t$ usando logaritmos: $t=\log_{1{,}05}(2)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica cuál variable es la incógnita del problema: el resultado final o el tiempo/parámetro.
- Paso 2: Si se pide el resultado final conociendo el tiempo, evalúa el modelo exponencial directamente.
- Paso 3: Si se pide el tiempo o parámetro conociendo el resultado final, despeja usando logaritmos.
Ejemplos
1 Una bacteria se duplica cada hora según $N(t)=50\cdot2^t$. ¿Cuántas bacterias habrá en $4$ horas?
- Se pide el resultado final conociendo el tiempo, así que se usa el modelo exponencial directamente.
- Se evalúa $N(4)=50\cdot2^4=800$.
2 Con la misma población $N(t)=50\cdot2^t$, ¿en cuántas horas la población llegará a $3200$?
- Se pide el tiempo conociendo el resultado final, así que se despeja usando logaritmos.
- Se plantea $2^t=64$, así que $t=\log_2(64)=6$ horas.
3 ¿Es necesario usar logaritmos para calcular $N(4)$ en un modelo $N(t)=50\cdot2^t$?
- Basta con evaluar la potencia directamente, sin necesidad de despejar nada.
4 ¿El modelo exponencial y el logarítmico usados en un mismo contexto describen relaciones matemáticas distintas entre las variables?
- Describen exactamente la misma relación, solo que despejada respecto a variables distintas.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar logaritmos innecesariamente cuando basta con evaluar directamente la función exponencial."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar evaluar directamente cuando en realidad se necesita despejar el exponente con un logaritmo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir cuál variable es la incógnita real del problema contextual."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar interpretar el resultado final en las unidades correctas del contexto (tiempo, cantidad, etc.)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Se usa un modelo **exponencial** cuando se calcula una cantidad final a partir del tiempo transcurrido, y un modelo **logarítmico** cuando se calcula el tiempo (u otra magnitud) necesario para alcanzar cierta cantidad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Cuando se busca el tiempo necesario para alcanzar cierta cantidad, conviene usar un modelo logarítmico.
Se despeja el exponente usando la función inversa del modelo exponencial.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué determina si un problema requiere modelo exponencial o logarítmico?
Depende de si se busca el resultado final o el tiempo/parámetro.
Respuesta: A) Cuál variable es la incógnita del problema
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¿Cuándo conviene usar un modelo exponencial directo?
Es el uso directo de la función exponencial evaluada en un punto.
Respuesta: A) Cuando se calcula el resultado final conociendo el tiempo
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para calcular cuántas bacterias habrá después de $5$ horas, se usa el modelo exponencial directamente.
Se pide el resultado final conociendo el tiempo transcurrido.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Con $N(t)=20\cdot2^t$, ¿qué modelo se usa para calcular $N(3)$?
Se evalúa la función directamente en $t=3$.
Respuesta: A) Exponencial directo
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Con $N(t)=20\cdot2^t$, ¿qué modelo se usa para calcular en qué $t$ se llega a $N(t)=160$?
Se pide el tiempo conociendo el resultado, así que se despeja con logaritmo.
Respuesta: A) Logarítmico, despejando $t$
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Ambos modelos, exponencial y logarítmico, describen la misma relación matemática entre las variables.
Solo cambia cuál variable se despeja en función de cuál otra.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Con $C(t)=800\cdot1{,}2^t$, ¿qué modelo conviene para saber en qué año el capital superará los $2000$ pesos?
Se busca el tiempo conociendo el resultado final, así que se despeja con logaritmo.
Respuesta: A) Logarítmico, despejando $t$
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¿Cuál es el error frecuente al elegir entre modelo exponencial y logarítmico?
Es un paso innecesario cuando el problema solo requiere evaluar la función en un punto dado.
Respuesta: A) Usar logaritmos cuando basta con evaluar la función directamente
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En un problema de interés compuesto, calcular el capital final tras $n$ años usa un modelo exponencial.
Se evalúa directamente la función de crecimiento en el tiempo dado.
Respuesta: Verdadero