Conversión de una ecuación logarítmica a forma exponencial
Resumen inicial
La conversión de una ecuación logarítmica a forma exponencial aplica la equivalencia $\log_b(g(x)) = c \Longleftrightarrow g(x) = b^c$, eliminando el operador trascendente para resolver ecuaciones polinómicas equivalentes.
Explicación en palabras simples
Para librarte de un logaritmo en una ecuación, solo tienes que pasarlo a su forma exponencial:
$$\log_{\mathbf{b}}(\mathbf{g(x)}) = \mathbf{c} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{g(x) = b^c}$$
- ¿Cómo se hace?
- Asegúrate de que el logaritmo esté completamente solo en un miembro.
- La base $b$ empuja hacia el otro lado y levanta a $c$ al exponente: $g(x) = b^c$.
- Resuelves la ecuación polinómica normal resultante.
- Ejemplo guiado:
$$\log_2(3x - 1) = 5 \implies 3x - 1 = 2^5 = 32 \implies 3x = 33 \implies \mathbf{x = 11}$$
Explicación formal
Sea una ecuación logarítmica aislada $\log_b(g(x)) = c$ con $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $c \in \mathbb{R}$.
Aplicando la aplicación exponencial directa $\exp_b: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ a ambos miembros de la ecuación:
$$\exp_b(\log_b(g(x))) = \exp_b(c)$$
Por la propiedad cancelativa $(\exp_b \circ \log_b)(g(x)) = g(x)$ para $g(x) > 0$:
$$g(x) = b^c$$
Garantía automática de existencia:
Como $b^c > 0$ para todo $c \in \mathbb{R}$, la igualdad $g(x) = b^c$ impone intrínsecamente que el argumento sea estrictamente positivo, asegurando la consistencia del dominio.
La alternativa correcta es '5x - 1 = 4³ (5x - 1 = 64)'. La base 4 se eleva al resultado 3 para liberar el argumento.
Definiciones clave
- Conversión exponencial de ecuaciones: Transformación de un logaritmo en potencia mediante la base homóloga.
- Eliminación del operador trascendente: Paso de una ecuación logarítmica a un modelo algebraico estándar.
Propiedades y relaciones importantes
- Aislamiento previo obligatorio: En $a \log_b(g(x)) + k = d$, se debe despejar $\log_b(g(x)) = \frac{d - k}{a}$ antes de convertir.
- Logaritmo natural y decimal: $\ln(g(x)) = c \iff g(x) = e^c$ y $\log(g(x)) = c \iff g(x) = 10^c$.
Ejemplo guiado
Convierte a forma exponencial y resuelve las siguientes ecuaciones:
1) $\log_3(2x + 5) = 4$
2) $2\ln(x - 1) = 6$
3) $\log(x^2 - 19) = 2$
- Paso 1: Para $\log_3(2x + 5) = 4$: - Pasar a exponencial: $2x + 5 = 3^4 = 81$. - Despejar: $2x = 76 \implies \mathbf{x = 38}$.
- Paso 2: Para $2\ln(x - 1) = 6$: - Aislar el logaritmo: $\ln(x - 1) = 3$. - Pasar a exponencial: $x - 1 = e^3 \implies \mathbf{x = 1 + e^3 \approx 21{,}085}$.
- Paso 3: Para $\log(x^2 - 19) = 2$: - Base 10 implícita: $x^2 - 19 = 10^2 = 100$. - Despejar: $x^2 = 119 \implies \mathbf{x = \pm \sqrt{119}}$.
La alternativa correcta es 'x = e⁰ = 1'. Cualquier base elevada a la potencia cero es igual a 1.
Procedimiento
- Paso 1: Aislar el logaritmo con coeficiente 1 en un miembro de la igualdad.
- Paso 2: Formular la potencia equivalente $g(x) = b^c$.
- Paso 3: Calcular el valor numérico de la potencia $b^c$.
- Paso 4: Resolver algebraicamente la ecuación polinómica resultante para despejar $x$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Multiplicar la base por el resultado en vez de elevarla (ej: $g(x) = b \cdot c$).
- Cómo corregirlo: La base se eleva a la potencia $c$: $g(x) = \mathbf{b^c}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $x - 6 = 2^4 = 16 \implies x = 22$.
- Paso 1: $2x = 10^3 = 1000 \implies x = 500$.
- Paso 1: $\log_5(x) = 2 \implies x = 5^2 = 25$.
- Paso 1: $x + 2 = e^1 = e \implies x = e - 2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Convertir ecuaciones logarítmicas a forma exponencial para su resolución.
Aislando el término log_b(g(x)) = c y formulando la ecuación algebraica g(x) = bᶜ.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es la forma exponencial equivalente de $\log_b(x)=y$?
Es la traducción directa de la definición de logaritmo.
Respuesta: A) $b^y=x$
-
$\log_6(x)=4$ equivale a $x=6^4$.
Se aplica la conversión directa a forma exponencial.
Respuesta: Verdadero
-
Después de convertir $\log_b(x)=y$ a $x=b^y$, ¿qué se debe verificar?
Es el paso de verificación obligatorio tras despejar.
Respuesta: A) Que la solución cumpla el dominio del logaritmo original
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\log_2(x)=5$ se convierte en $x=2^5$.
Aplicación directa de la conversión a forma exponencial.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Convierte $\log_3(x)=4$ a forma exponencial y resuelve.
Se aplica la conversión y se calcula la potencia.
Respuesta: A) $x=3^4=81$
-
Convierte $\log_2(x+3)=5$ a forma exponencial y resuelve.
Se resuelve $x+3=2^5=32$, obteniendo $x=29$.
Respuesta: A) $x+3=32$, así que $x=29$
-
Si hay términos adicionales fuera del logaritmo, deben aislarse antes de convertir a forma exponencial.
El logaritmo debe quedar solo en un lado de la ecuación antes de aplicar la conversión.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al convertir de forma logarítmica a exponencial?
Es un paso que suele omitirse, generando soluciones inválidas.
Respuesta: A) No verificar el dominio de la solución obtenida
-
$\log_5(2x-1)=2$ se convierte en $2x-1=25$.
Se aplica $2x-1=5^2=25$ correctamente.
Respuesta: Verdadero
-
Resuelve $\log_4(x)=1{,}5$ convirtiendo a forma exponencial.
Se aplica la conversión con exponente fraccionario: $4^{1,5}=4\sqrt{4}=8$.
Respuesta: A) $x=4^{1,5}=8$