Aplicación de la composición log_b(b^x) para recuperar x
Aplicar la propiedad $b^{\log_b(x)}=x$ para simplificar expresiones donde una exponencial actúa sobre un logaritmo de igual base.
Introducción
Cuando la base de una potencia coincide con la base del logaritmo que tiene en el exponente, ambas operaciones se cancelan directamente.
Explicación
Definición formal
Si $f(x)=\log_b(x)$ y $g(x)=b^x$ son funciones inversas, entonces $g(f(x))=x$ para todo $x>0$. Esto se escribe como $b^{\log_b(x)}=x$, válido para cualquier $x$ en el dominio del logaritmo.
Desarrollo didáctico
$3^{\log_3(7)}=7$: el exponente $\log_3(7)$ es exactamente el valor al que hay que elevar $3$ para obtener $7$, así que al elevarlo se recupera $7$ directamente, sin necesidad de calcular el logaritmo numéricamente.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que la base de la potencia y la base del logaritmo del exponente sean iguales.
- Paso 2: Si coinciden, el resultado es directamente el argumento del logaritmo.
- Paso 3: Si no coinciden, no se puede aplicar esta simplificación directa.
Ejemplos
1 Simplifica $5^{\log_5(12)}$.
- Se verifica que ambas bases coinciden ($5$).
- El resultado es directamente el argumento del logaritmo: $12$.
2 Simplifica $2^{\log_2(x+1)}$ para $x>-1$.
- Se verifica que ambas bases coinciden ($2$).
- El resultado es directamente el argumento: $x+1$.
3 ¿La propiedad $b^{\log_b(x)}=x$ es válida para cualquier valor de $x$ dentro del dominio del logaritmo?
- Se cumple para todo $x>0$, siempre que $b>0$ y $b\neq1$.
4 ¿Es posible aplicar $b^{\log_b(x)}=x$ directamente a $4^{\log_2(x)}$?
- Las bases no coinciden ($4$ y $2$), así que la simplificación directa no aplica sin transformar antes la expresión.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar la propiedad cuando la base de la potencia y del logaritmo no son iguales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir $b^{\log_b(x)}=x$ con $\log_b(b^x)=x$, que tiene las operaciones en orden inverso."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que $x$ debe ser positivo para que el logaritmo esté definido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar que la base cumpla $b>0$, $b\neq1$ antes de simplificar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para $b>0$, $b\neq1$ y $x>0$, se cumple $b^{\log_b(x)}=x$, porque la función exponencial deshace exactamente lo que hace la función logarítmica de igual base.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuánto vale $b^{\log_b(x)}$?
La potencia deshace exactamente el logaritmo de igual base.
Respuesta: A) $x$
-
$4^{\log_4(9)}=9$.
Se aplica directamente $b^{\log_b(x)}=x$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición se exige sobre $x$ para que $b^{\log_b(x)}=x$ tenga sentido?
Es la condición de dominio del logaritmo involucrado en el exponente.
Respuesta: A) $x>0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$2^{\log_2(15)}=15$.
Cumple exactamente la propiedad $b^{\log_b(x)}=x$.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Simplifica $7^{\log_7(3)}$.
Se aplica $b^{\log_b(x)}=x$ con $x=3$.
Respuesta: A) 3
-
Simplifica $5^{\log_5(x+2)}$ para $x>-2$.
El resultado es directamente el argumento del logaritmo.
Respuesta: A) $x+2$
-
$9^{\log_3(x)}$ puede simplificarse directamente con $b^{\log_b(x)}=x$ sin transformar antes las bases.
Las bases $9$ y $3$ no coinciden, por lo que se requiere transformar antes de simplificar.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
¿Cuál es el error frecuente al aplicar $b^{\log_b(x)}=x$?
Es el requisito indispensable para aplicar la propiedad.
Respuesta: A) Usarla con bases distintas en la potencia y el logaritmo
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$b^{\log_b(x)}=x$ es consecuencia directa de que exponencial y logarítmica son funciones inversas.
Es la composición $g(f(x))=x$ de la relación inversa.
Respuesta: Verdadero
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Simplifica $2^{\log_2(3)+\log_2(5)}$.
Se combina el exponente con la propiedad del producto ($\log_2(15)$) y luego se aplica $2^{\log_2(15)}=15$.
Respuesta: A) 15